二重積分的變量變換公式_第1頁
二重積分的變量變換公式_第2頁
二重積分的變量變換公式_第3頁
二重積分的變量變換公式_第4頁
二重積分的變量變換公式_第5頁
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文檔簡介

關(guān)于二重積分的變量變換公式第一頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×證

根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的

直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xoy

面上得到一個(gè)四邊形,其對應(yīng)頂點(diǎn)為則第二頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×同理得當(dāng)h,k

充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四

邊形,

故其面積近似為第三頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,

直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),

第四頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×例1

計(jì)算其中D是x=0,y=0,

x+y=1所圍區(qū)域.解則令第五頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×第六頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×例2

求拋物線y2=mx,y2=nx

和直線所圍區(qū)域D

的面積.解令第七頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×當(dāng)積分區(qū)域是圓域或圓域的一部分,

或者被積函數(shù)含有x2+y2

時(shí)，采用極坐標(biāo)變換往往能簡化二重積分的計(jì)算.此時(shí),

二、用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分第八頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×則(ii)若原點(diǎn)在D

內(nèi)，則(i)若原點(diǎn)在D

外，第九頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×(iii)若原點(diǎn)在D

的邊界上，(iv)若區(qū)域D

可表示為則第十頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×例4

求球體

被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解由對稱性可知第十一頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×例5

計(jì)算

其中解的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于坐標(biāo)計(jì)算.作極坐標(biāo)系變換，有第十二頁，共十四頁，2022年，8月28日首頁×例6

試計(jì)算橢球體解

由對稱性令則的體積V

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