材料力學(xué)重點(diǎn)及公式(期末復(fù)習(xí))

材料力學(xué)重點(diǎn)及公式(期末復(fù)習(xí))材料力學(xué)重點(diǎn)及公式(期末復(fù)習(xí))材料力學(xué)重點(diǎn)及公式(期末復(fù)習(xí))材料力學(xué)重點(diǎn)及公式(期末復(fù)習(xí))編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:1、材料力學(xué)的任務(wù)：強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；應(yīng)力

單位面積上的內(nèi)力。平均應(yīng)力

（1.1）全應(yīng)力

（1.2）正應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)表示。切應(yīng)力相切于截面的應(yīng)力分量，用符號(hào)表示。應(yīng)力的量綱：

線應(yīng)變

單位長(zhǎng)度上的變形量，無(wú)量綱，其物理意義是構(gòu)件上一點(diǎn)沿某一方向變形量的大小。外力偶矩傳動(dòng)軸所受的外力偶矩通常不是直接給出，而是根據(jù)軸的轉(zhuǎn)速n與傳遞的功率P來(lái)計(jì)算。當(dāng)功率P單位為千瓦（kW），轉(zhuǎn)速為n（r/min）時(shí)，外力偶矩為當(dāng)功率P單位為馬力（PS），轉(zhuǎn)速為n（r/min）時(shí)，外力偶矩為拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計(jì)算公式為

(3-1)式中為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負(fù)號(hào)規(guī)定

拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。公式（3-1）的適用條件：（1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠(yuǎn)處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時(shí)，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻；（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角時(shí)拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計(jì)算公式為全應(yīng)力

(3-2)正應(yīng)力

（3-3）切應(yīng)力

（3-4）式中為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號(hào)規(guī)定：

由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。

拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。

對(duì)脫離體內(nèi)一點(diǎn)產(chǎn)生順時(shí)針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點(diǎn)結(jié)論：（1）當(dāng)時(shí)，即橫截面上，達(dá)到最大值，即。當(dāng)=時(shí)，即縱截面上，==0。（2）當(dāng)時(shí)，即與桿軸成的斜截面上，達(dá)到最大值，即1．2

拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克定律（1）變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時(shí)，軸向伸長(zhǎng)，橫向縮短；受到軸向壓力時(shí)，軸向縮短，橫向伸長(zhǎng)。如圖3-2。圖3-2軸向變形

軸向線應(yīng)變

橫向變形

橫向線應(yīng)變

正負(fù)號(hào)規(guī)定

伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)。（2）胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即

（3-5）或用軸力及桿件的變形量表示為

(3-6)式中EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件：(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即；(b)在計(jì)算時(shí)，l長(zhǎng)度內(nèi)其N(xiāo)、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計(jì)算，求其代數(shù)和得總變形。即

(3-7)(3)泊松比

當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對(duì)值。即

(3-8)表1-1低碳鋼拉伸過(guò)程的四個(gè)階段階

段圖1-5中線段特征點(diǎn)說(shuō)

明彈性階段oab比例極限彈性極限為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力為不產(chǎn)生殘余變形的最高應(yīng)力屈服階段bc屈服極限為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時(shí)的最低應(yīng)力強(qiáng)化階段ce抗拉強(qiáng)度為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef

產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-2

主要性能指標(biāo)性能性能指標(biāo)說(shuō)明彈性性能彈性模量E當(dāng)強(qiáng)度性能屈服極限材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強(qiáng)度材料的最大承載能力塑性性能延伸率材料拉斷時(shí)的塑性變形程度截面收縮率材料的塑性變形程度強(qiáng)度計(jì)算許用應(yīng)力

材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料

[]=

；

脆性材料

[]=其中稱為安全系數(shù)，且大于1。強(qiáng)度條件：構(gòu)件工作時(shí)的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用應(yīng)力。對(duì)軸向拉伸（壓縮）桿件

（3-9）按式（1-4）可進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)、確定許克載荷等三類(lèi)強(qiáng)度計(jì)算。2.1

切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)兩個(gè)相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對(duì)產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時(shí)垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無(wú)關(guān)。2.2純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無(wú)正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。2.4

剪切胡克定律在材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即

(3-10)

式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個(gè)彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比）,其數(shù)值由實(shí)驗(yàn)決定。對(duì)各向同性材料,E、

、G有下列關(guān)系

(3-11)2.5.2切應(yīng)力計(jì)算公式橫截面上某一點(diǎn)切應(yīng)力大小為

(3-12)式中為該截面對(duì)圓心的極慣性矩，為欲求的點(diǎn)至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為

(3-13)式中稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。2.5.3切應(yīng)力公式討論（1）切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時(shí)的等圓截面直桿；對(duì)小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。（2）極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)是截面幾何特征量，計(jì)算公式見(jiàn)表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強(qiáng)。因此，設(shè)計(jì)空心軸比實(shí)心軸更為合理。表3-3實(shí)心圓（外徑為d）空心圓（外徑為D，內(nèi)徑為d）2.5.4強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，全軸中最大切應(yīng)力不得超過(guò)材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強(qiáng)度條件為

(3-14)

對(duì)等圓截面直桿

（3-15）式中為材料的許用切應(yīng)力。3.1.1中性層的曲率與彎矩的關(guān)系

(3-16)式中，是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；是橫截面對(duì)中性軸Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點(diǎn)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式

(3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)處

（3-18）式中，稱為抗彎截面系數(shù)。對(duì)于的矩形截面，；對(duì)于直徑為D的圓形截面，；對(duì)于內(nèi)外徑之比為的環(huán)形截面，。若中性軸是橫截面的對(duì)稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，若不是對(duì)稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。3.2梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過(guò)材料的容許應(yīng)力，其表達(dá)式為

（3-19）對(duì)于由拉、壓強(qiáng)度不等的材料制成的上下不對(duì)稱截面梁（如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等），其強(qiáng)度條件應(yīng)表達(dá)為

（3-20a）

（3-20b）式中，分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力；分別是最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)距中性軸的距離。3.3梁的切應(yīng)力

（3-21）式中，Q是橫截面上的剪力；是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對(duì)中性軸的靜矩；是整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面寬度。3.3.1矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計(jì)算公式

（3-22）最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點(diǎn)處，。3.3.2工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的95~97%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來(lái)承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計(jì)算公式為

(3-23)近似計(jì)算腹板上的最大切應(yīng)力：

d為腹板寬度h1為上下兩翼緣內(nèi)側(cè)距3.3.3圓形截面梁橫截面上同一高度各點(diǎn)的切應(yīng)力匯交于一點(diǎn)，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為

（3-25）圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類(lèi)似。3.4切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即

(3-26)式中，是梁上的最大切應(yīng)力值；是中性軸一側(cè)面積對(duì)中性軸的靜矩；是橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b是處截面的寬度。對(duì)于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上，對(duì)于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。4.2剪切的實(shí)用計(jì)算名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的，則名義切應(yīng)力為

（3-27）剪切強(qiáng)度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力,即

（3-28）5.2擠壓的實(shí)用計(jì)算名義擠壓應(yīng)力

假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則

（3-29）式中，表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時(shí)為接觸面面積，當(dāng)擠壓面為曲面時(shí)為設(shè)計(jì)承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的

\o"投影"\t"/jixiesheji/cailiaolixuechongdianjigongshi_3/_blank"投影面積。擠壓強(qiáng)度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過(guò)材料的許用擠壓應(yīng)力

（3-30）1，變形計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，任意兩個(gè)橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。相距為l的兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為

(rad)

(4.4)若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為

(rad)

(4.5)

圖4.2

式中稱為圓軸的抗扭剛度。顯然，的正負(fù)號(hào)與扭矩正負(fù)號(hào)相同。公式（4.4）的適用條件：（1）材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即；（2）在長(zhǎng)度l內(nèi)，T、G、均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時(shí)，則應(yīng)分段計(jì)算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即

(rad)

(4.6)當(dāng)T、沿軸線連續(xù)變化時(shí),用式(4.4)計(jì)算。2，

剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件

圓軸最大的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角不得超過(guò)許可的單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角,即

(rad/m)

(4.7)式

（）

（4.8）2，撓曲線的近似微分方程及其積分

在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時(shí)，得到彎矩與曲率的關(guān)系

對(duì)于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對(duì)彎曲變形的影響，由上式可得

利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程，即

（4.9）將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為

（4.10）再積分得撓曲線方程

（4.11）式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當(dāng)梁分為若干段積分時(shí)，積分常數(shù)的確定除需利用邊界條件外，還需要利用連續(xù)條件。3，梁的剛度條件

限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過(guò)規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即

，

（4.12）3，軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得

當(dāng)桿件的橫截面面積A、軸力FN為常量時(shí)，由胡克定律，可得

（4.14）桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，用表示。線彈性范圍內(nèi)，得

（4.15）

4，圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原

將與代入上式得

（4.16）

圖4.5根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度：

（4.17）

5，梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時(shí)，由功能原理得

將與代入上式得

（4.18）

圖4.6橫力彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時(shí)，對(duì)于微段梁應(yīng)用式（4.18），積分得全梁的彎曲應(yīng)變能，即

（4.19）2．截面幾何性質(zhì)的定義式列表于下：靜矩慣性矩慣性半徑慣性積極慣性矩

3．慣性矩的平行移軸公式靜矩：平面圖形面積對(duì)某坐標(biāo)軸的一次矩，如圖Ⅰ-1所示。定義式：

，

（Ⅰ-1）量綱為長(zhǎng)度的三次方。由于均質(zhì)薄板的重心與平面圖形的形心有相同的坐標(biāo)和。則由此可得薄板重心的坐標(biāo)

為

同理有

所以形心坐標(biāo)

，

（Ⅰ-2）或

，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐標(biāo)軸通過(guò)形心軸，則圖形對(duì)該軸的靜矩等于零，即

，；

，則

；反之，若圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過(guò)圖形的形心。靜矩與所選坐標(biāo)軸有關(guān)，其值可能為正，負(fù)或零。如一個(gè)平面圖形是由幾個(gè)簡(jiǎn)單平面圖形組成，稱為組合平面圖形。設(shè)第

I

塊分圖形的面積為

，形心坐標(biāo)為

，則其靜矩和形心坐標(biāo)分別為

，

（Ⅰ-3），

（Ⅰ-4）§Ⅰ-2慣性矩和慣性半徑慣性矩：平面圖形對(duì)某坐標(biāo)軸的二次矩，如圖Ⅰ-4所示。

，

（Ⅰ-5）量綱為長(zhǎng)度的四次方，恒為正。相應(yīng)定義，

（Ⅰ-6）為圖形對(duì)

軸和對(duì)

軸的慣性半徑。組合圖形的慣性矩。設(shè)

為分圖形的慣性矩，則總圖形對(duì)同一軸慣性矩為，

（Ⅰ-