數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)：第三章 分離變量法4_第1頁
數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)：第三章 分離變量法4_第2頁
數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)：第三章 分離變量法4_第3頁
數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)：第三章 分離變量法4_第4頁
數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)：第三章 分離變量法4_第5頁
已閱讀5頁，還剩18頁未讀， 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內容提供方，若內容存在侵權，請進行舉報或認領

文檔簡介

§3.4非齊次方程的定解問題研究一根弦在兩端固定的情況下，受強迫力作用所產生的振動。此時，弦的振動是由初始狀態(tài)引起的振動和強迫力引起的振動的合成。即考慮下面定解問題

：由此得到啟發(fā),設解為其中V(x,t)表示僅由強迫力引起的弦振動的位移,它滿足而W(x,t)表示僅由初始狀態(tài)引起的弦振動,它滿足由疊加原理，若V是(5)的解，W是(6)的解，則u=V+W是原問題(1)—(3)的解。問題(6)可以直接用分離變量法來求解，因此只需要求解問題(5)：我們知道,和方程(5)相對應的齊次方程的相應特征值問題的特征函數(shù)為,

設所求的解具有如下形式其中是待定函數(shù)，下面要確定.

2)將方程中的非齊次項f(x,t)按照上述特征函數(shù)系展開:其中把(7)和(8)代入到(5)的第一式中,得到由初始條件,得于是得到常微分方程的初值問題:用拉普拉斯變換法（或參數(shù)變易法）求得上述問題的解為注：求解上述非齊次方程定解問題的方法實質是將方程的非齊次項及未知函數(shù)都按照對應齊次方程定解問題的特征函數(shù)系展開為級數(shù)，然后利用原方程與定解條件確定出展開系數(shù)。特征函數(shù)法（傅里葉級數(shù)法）例求定解問題其中思考：是否要將問題分解成兩部分？解：這個方程是非齊次的，而邊界條件和初始條件都是齊次的，故不需要分解。因此設方程的解為其中為待定函數(shù)。齊次方程所對應的特征函數(shù)系為將上式代入所給方程,有再由初始條件,得由(13)

故所求的解為練習：求定解問題的解解為例在圓環(huán)域內解定解問題解由于求解區(qū)域是圓環(huán)域,所以選用極坐標系。考慮極坐標變換上述定解問題可以轉化為:非齊次方程齊次邊界條件利用周期性條件，該問題相應的齊次方程的特征函數(shù)系為:

代入方程并整理,得

可以設原問題的解為:齊次歐拉方程比較兩端三角函數(shù)的系數(shù)，解上述兩個齊次歐拉方程，得通解再由條件知道下面求是非齊次歐拉方程。利用待定系數(shù)法可求得一個特解從而我們得到因此原問題的解為注：解非齊次方程定解問題的另兩種方法

(1)沖量定理法利用齊次化原理，將非齊次方程的定解問題轉化為齊次方程的定解問題。(2)泊松方程的特解法先找出泊松方程的一個特解，然后將泊松方程的定解問題轉化為相應拉普

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網頁內容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論