變題的方法與技巧

變題的方法與技巧湖北荊門外語學校白文濤【摘要】高考試題來源于教材，又高于教材。高中數(shù)學教學中，學生的解題能力培養(yǎng)是關(guān)鍵.實際教學中，學生的解題能力不強，與多重因素有關(guān)，學生對習題情境的把握，對解題思路的判斷等，都是重要的影響因素.變題研究，可以讓形似或神似的習題成為習題組，可以讓學生在對比的過程中形成深刻認識.變題研究不能放棄傳統(tǒng)的思路，同時要重視變式思路；變題研究需要重視技術(shù)視角下的變題步驟，本文結(jié)合高考試題，挖掘教材中的典型例題。通過對典型例題的變題教學，抓住數(shù)學本質(zhì)，提高教學效率，幫助學生脫離題海?！娟P(guān)鍵詞】高中數(shù)學高考例題變題教學從每年高考數(shù)學試卷中，我們總是找出許多與教材中的例題相似或來源于教材例題的試題，這些試題考查的都是現(xiàn)行教材中最基本、最重要的數(shù)學知識和技能，所用方法也往往是普遍性、一般性方法，既體現(xiàn)高考的公平公正，也對中學數(shù)學的教學進行有效檢驗。事實上，對于高中數(shù)學而言，教材是學生學習數(shù)學的第一手資料，這不僅僅是內(nèi)容上的統(tǒng)一，而且定義、定理、公式等敘述上的規(guī)范，符號上的使用也是統(tǒng)一的。教材既具有完備的知識體系，又具有權(quán)威性，是教師進行數(shù)學教學的主要依據(jù)，也是學生學習數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要依據(jù)。教材中的例題更是經(jīng)過編者反復論證、精心設(shè)計的，具有典型的范例作用，蘊含著基本的解題思想和方法，具有很高的教學價值。所以，不管高考命題如何改變，我們都能在高考試題中找到大量的教材原題或由這些原題進行引申、變化而來的試題。因此，我們很有必要對高中數(shù)學教材中的例題進行深入研究，做好教材上的典型例題的變題教學，提高教學效率，避免因亂用復習資料而造成無謂的重復勞動。從高考命題談高中數(shù)學例題的變題教學下面以人教社A版高中數(shù)學教材為例，結(jié)合高考試題，談談高中數(shù)學的例題變題教學。圖1例1（2022年浙江理科卷第14題）如圖1，已知球O的面上四點A、B、C、D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于_________。圖1本題中，四面體的四個面都是直角三角形，這是立體幾何中的一個基本圖形，我們這里不妨稱為“直角四面體”。另外在2022年安徽理科卷第16題中也出現(xiàn)了這個四面體。（2022年安徽理科卷第16題）已知A、B、C、D在同一個球面上,若,則兩點間的球面距離是_____而這個“直角四面體”恰好是長方體的一部分，如果能在教學中引導學生深刻認識它們之間的相互關(guān)系，那么一類問題就很快找到突破口了。如2022年湖南理科卷第9題，陜西理科卷第14題?！爸苯撬拿骟w”作為典型圖形，在教材必修2中我們可以發(fā)現(xiàn)原題。圖2例2（教材必修2第69頁）如圖2，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.圖2例3（教材必修2第69頁的探究）如圖3，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD,你能發(fā)現(xiàn)哪些平面互相垂直，為什么？圖3再看例4，題中也出現(xiàn)了“直角”四面體.圖3例4（選修2-1第109頁例4）如圖4，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PO底面ABCD,PD=0C,點E是PC的中點，作EF⊥PB,交PB于點F。（1）求證：PA∥平面EDB;（2）求證：PB⊥平面EFD;圖4（3）求二面角C-PB-D的大小。圖4例5如圖5，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD,（1）有多少對線線垂直？圖5圖5（3）有多少對面面垂直。通過本例的改編，我們既復習了線線垂直、線面垂直、面面垂直的關(guān)系，又通過引導學生反思此題中的難點，即最不容易看出來的是面ADC⊥面ABC，促進學生的反思與建構(gòu)。在例5的基礎(chǔ)上，我們還可以再增加一些條件，引導學生進行進一步的思考：例6如圖6，若B在AC,AD上的射影分別是E,F，連接EF,（1）有多少對線線垂直？（2）有多少對線面垂直？圖6圖6這里利用了“垂面內(nèi)垂直交線的垂線垂直另一個平面”這個面面垂直的性質(zhì)定理，同時截得的小四面體ABEF仍是一個四個面均為直角三角形的四面體。通過對例5的變式，使得題目更加開放。通過對這個開放題的解決，不僅讓學生復習了線線垂直、線面垂直、面面垂直等基礎(chǔ)知識，而且深深體會了他們之間的密切關(guān)系，并且找到了證明這些垂直關(guān)系的關(guān)鍵----線面垂直。有了這些垂直關(guān)系的基礎(chǔ)，相關(guān)的一些量的計算也就迎刃而解了。例7在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=4,BC=3,CD=2.（1）求異面直線AD與BC所成的角；（2）求二面角B-AD-C的大小。教師可以引導學生用綜合方法、向量方法、坐標方法解決這兩個最典型的定量問題。同時，在用向量方法的解題過程中，還得到了該四面體的其他一些等量關(guān)系：其中，由這一式子，可以引導學生類比平面幾何中的勾股定理，那么這個“直角四面體”就可以看成是直角三角形在空間中的拓廣。我們還可以進一步引導學生把直角三角形中的性質(zhì)，類比到“直角”四面體ABCD中來，如“RT△ABC中，斜邊AB的中點O為△ABC的外接圓圓心”，可以類比到“直角四面體”ABCD中，AD中點O為四面體ABCD的外接球球心，因為這個“直角四面體”可以看成是長方體的一部分，把其補成完整的長方體后，其八個頂點就在這個外接球上，AD恰為外接球的直徑。以上2022年的幾個高考題就是利用了這個性質(zhì)解題。通過例7的類比拓廣，學生通過從平面圖形到空間圖形的類比推廣，思想上有了一次飛躍。而這樣的一個開放探究問題，把一些基本知識和基本技能串聯(lián)起來，形成學生的雙基網(wǎng)絡，同時又提高了學生的創(chuàng)新能力。在研究的過程中，筆者還關(guān)注一個問題，那就是變題在促進學生解題能力提高的過程中，具體是如何發(fā)揮作用的.研究發(fā)現(xiàn)，有以下三點值得重視：一是注意變題的科學性.如前所說，變題要切合學生的需要，有時能讓教師眼前一亮的習題未必是好題，因為提供給學生的時機可能不對，這一點同行們都比較清楚，不贅述.?二是注意變題的適切性.變題之后，子題與母題必須有明確的聯(lián)系點，且這個聯(lián)系點必須為學生所知道，只有這樣才能讓相似的試題成為組題，從而擴充學生的記憶容量.?三是注重學生的主體參與.這也是容易忽視的一點，變題一定不能只成為教師的事情，一定需要學生的主體參與.要改變單向的教師變、學生練的情形，要讓學生參與到變題的過程中來，他們在變題中表現(xiàn)出來的思路或者說不足，應當成為教師變題時重點考慮的內(nèi)容.同時，讓學生參與變的過程，也可以讓學生換一個視角，即從命題者的角度去看待習題.有了這樣的視角與高度，學生解題時的心理會大不相同，這對于學生把握命題者思路、尋找解題途徑而言，極有好處.?由上可見，通過對教材例題的適當變題，幫助學生建立擴散思維，有助于學生探究數(shù)學中的奧