極坐標方程的應用優(yōu)秀教學設計

極坐標方程的應用的教學設計一、考綱解析1.坐標系（1）理解坐標系的作用.（2）了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.（3）能在極坐標系中用極坐標表示點的位置，理解在極坐標系和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標和直角坐標的互化.（4）能在極坐標系中給出簡單圖形的方程.通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義.（5）了解柱坐標系、球坐標系中表示空間中點的位置的方法，并與空間直角坐標系中表示點的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別.二、學情解析通過一輪的復習，學生初步掌握了極坐標方程，普通方程與參數(shù)方程的互化，但對于在極坐標系下解決解析幾何中數(shù)量關系及位置關系有關的問題還不夠熟練。三、學習目標解析準確把普通方程轉化為極坐標方程，能把曲線的幾何特征用極坐標或方程表示，熟練利用極坐標方程解決與交點、距離等有關的問題。四、教學過程設計（一）典例解析例1.【2015新課標2文23】在直角坐標系中,曲線（t為參數(shù),且）,其中,在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線（=1\*ROMANI）求與交點的直角坐標；（=2\*ROMANII）若與相交于點A,與相交于點B,求最大值.試題解析：解：（=1\*ROMANI）曲線的直角坐標方程為,曲線的直角坐標方程為,聯(lián)立兩方程解得或,所以與交點的直角坐標.（=2\*ROMANII）曲線極坐標方程為其中,因此點A的極坐標為,點B的極坐標為,所以,當時取得最大值,最大值為4.設計意圖：通過分析在不同坐標系下解決問題的思路，對比不同方法的難易程度，體會選擇適當坐標系或方程對解決問題的快捷性，體會什么情況下選擇極坐標系及方程對解決問題更方便。師生活動：1.學生嘗試解題，展示學生解題過程，根據(jù)解題情況分析在直角坐標系下及在極坐標系下的解題過程，若學生解決不了可先分析思路再接著做。2.再提出問題1：什么條件下用極坐標方程解題可能更方便？3.探索解題思路：判斷在什么坐標系下解決——統(tǒng)一方程（坐標）——聯(lián)立方程求解——轉化為題目要求形式。4.提出問題2：利用極坐標方程解決有關問題時要注意些什么？點與坐標不一一對應，注意ρ、（二）對點訓練1.在平面直角坐標系中，直線的方程為，在以O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線:.（1）求直線的極坐標方程；（2）若直線與曲線交于兩點，求的值.【解析】試題分析：（1）首先把圓的參數(shù)方程轉化為普通方程，進一步轉化為極坐標方程，再把直線方程轉化為極坐標方程；（2）根據(jù)（1）所得到的結果代入到極坐標方程中，利用幾何意義可得結果.試題解析：（1）∵直線C1的方程為，∴直線C1的極坐標方程．（2）設，，將代入，得：，∴，∴．設計意圖：體會選擇極坐標系及方程對解決問題更方便，熟練在極坐標系下解決問題的思路及方法。師生活動：1.學生審題，提問：請你根據(jù)已知條件初步判斷用哪種坐標方程解決會比較方便？2.學生解題，然后展示解題過程。2.【2017課標=2\*ROMANII，文22】在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為。（1）M為曲線上的動點，點P在線段OM上，且滿足,求點P的軌跡的直角坐標方程；（2）設點A的極坐標為，點B在曲線上，求面積的最大值。解法1：（1）設的極坐標為，M的極坐標為，由題設知。由得的極坐標方程。因此的直角坐標方程為。（2）設點B的極坐標為,由題設知,于是面積當時，S取得最大值。所以面積的最大值為。解法2：（1）曲線的普通標方程為x=4,設P（x,y）,M(4,yM),由已知O，P，M三點共線，所以yx=yM4,即yM=4yx所以x因此的直角坐標方程為。（2）點A的極坐標為，所以點A的直角坐標為（1，3），所以|OA|=2,直線OA的方程:y=3由（1）知的直角坐標方程為，圓心坐標（2，0），半徑為2，所以到直線OA的距離d=3,所以B到直線OA的最大值為2+3，此時SΔOAB=12×2×（2+3）=2+設計意圖：判斷并把能用距離及角來表示曲線的幾何特征量轉化為極坐標及極坐標方程表示，進而求解有關問題。師生活動：1.學生解題，展示解題過程，若學生沒有寫出極點坐標，可分析為什么失解，怎么才能防止此類問題發(fā)生；2.讓學生小結此題的解題思路。（四）課堂小結問題1：用極坐標方程解題的基本思路是什么？設計意圖：總結解題的一般思路，鞏固用極坐標方程解題的模式。師生活動：提問學生，教師歸納補充。考查問題：極坐標方程，普通方程與參數(shù)方程的互化，并由方程及其它幾何條件求解與曲線有關的數(shù)量關系問題。考查本質：極坐標方程，普通方程與參數(shù)方程的互化，選擇適當坐標系及方程解決解析幾何中與數(shù)量有關的幾何問題，體現(xiàn)了選擇適當坐標系及方程對解決問題的便利化及優(yōu)越性。命題的方向：極坐標方程，普通方程與參數(shù)方程的互化，根據(jù)一些幾何條件求出簡單的軌跡方程，利用已知的方程及幾何條件求結合三角函數(shù)求與距離、線段長、角等有關的幾何問題。（五）課后練習1．在直角坐標系中，圓和的參數(shù)方程分別是（為參數(shù)）和（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（Ⅰ）求圓和的極坐標方程；（Ⅱ）射線：與圓交于點、，與圓交于點、，求的最大值.【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ)4.【解析】試題分析：（1）圓C1的參數(shù)方程分別是（φ為參數(shù)），利用平方關系可得普通方程，展開利用互化公式可得極坐標方程．圓C2的參數(shù)方程（β為參數(shù)），利用平方關系可得普通方程，展開利用互化公式可得極坐標方程．（2）依題意得點、的極坐標分別為，，從而表示出，利用正弦函數(shù)的有界性問題迎刃而解.試題解析：（Ⅰ）圓和的普通方程分別是和.∴圓和的極坐標方程分別為，.（Ⅱ）依題意得點、的極坐標分別為，?！?，，從而，當且僅當，即時，上式取“”，取最大值4.2．在直角坐標系中，直線為參數(shù)，)與圓C:x2+y2-2x-4y+1=0相交于點，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線與圓的極坐標方程；(2)求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析（1）根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化以及直角坐標與極坐標的互化公式，即可求解直線的極坐標方程和圓的極坐標方程；（2）把，代入圓的極坐標方程中，得，進而得到，即可利用三角函數(shù)的性質求解其最大值.試題解析：（1）直線的極坐標方程為圓的極坐標方程為（2），代入，得顯然所以的最大值為3.在直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為參數(shù))，以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求圓的極坐標方程；(2)直線的極坐標方程是，射線與圓的交點