2003-數(shù)二真題、答案及解析

2003年數(shù)學(xué)（二）評注填在題中橫線上）一、填空題（6424分.把1（1）若x0時，(1ax2)41與xsinx是等價無窮小，則a= .（2）y=f(x)xy2lnx2003年數(shù)學(xué)（二）評注填在題中橫線上）一、填空題（6424分.把1（1）若x0時，(1ax2)41與xsinx是等價無窮小，則a= .（2）y=f(x)xy2lnxy4y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是 .（3）y2xxn項的系數(shù)是.（4）ea(a0)，則該曲線上相應(yīng)于從0變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為.11111（5）設(shè)3維列向量，T是的轉(zhuǎn)置.若T11，則T= .（6）設(shè)三階方陣A,B滿足A2BABE，其中E為三階矩陣，若101A02 0B.20 1二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）設(shè){an},{bn},{cn均為非負數(shù)列，且liman0limbn1limcn,則必有nnn(A)anbnn.(B)bncnn成立.(C) 極限limancn不存在.(D)極限limbncn.[]nnnn132（2）設(shè)ann11xndx,則極限limnan等于xn03(A) 3(C) (1e1)21.3(1e1)21.3(B)(D)[]1xy()的解，則()的表達式為xx（3）已知y 是微分方程ylnxxyyy2y2x2（A） ..(B)x2x2x2y2(C) ..(D)[]y2（4）f(x)在(,f(x)有(A)(B)(C)(D)xy()的解，則()的表達式為xx（3）已知y 是微分方程ylnxxyyy2y2x2（A） ..(B)x2x2x2y2(C) ..(D)[]y2（4）f(x)在(,f(x)有(A)(B)(C)(D)..三個極小值點和一個極大值點.[]yOx4tanxx（5）I1dx,Idx,則4 2xtanx00(A) I1I21.(B) 1I1I2.(C) I2I11.(D) 1I2I1.[]（6）I：1,2,,rII1,2,,s線性表示，則)rsII必線性相關(guān).(C)當rsI必線性相關(guān).(B)當rsII必線性相關(guān).)rsI必線性相關(guān).[]（10分）ln(1ax3)xarcsinx,x0,x0,x0,設(shè)函數(shù)f(x)6,x2ax1eax,x4xsin2a為何值時，x=0f(x)的可去間斷點？（9分）x12t2,d2y(t1所確定，求12lntea為何值時，x=0f(x)的可去間斷點？（9分）x12t2,d2y(t1所確定，求12lnteu.y=y(x)由參數(shù)方程ydudx2x9u1（9分）xearctanxdx.3x2)2（12分）y=y(x)在(,y0xxyy=y(x)的反函數(shù).d2xdx(1) 試將x=x(y)所滿足的微分方程 (ysinx)( 為y=y(x)滿足的微3dy2dy分方程；(2)y(0)0y(0)3的解.2（12分）y4lnxky4xln4x的交點個數(shù).（12分）21設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點( 任一點P(x,y)處的法線與y軸的2 2PQ軸平分.y=f(x)的方程；y=sinx在[0,]上的弧長為l，試用ly=f(x)s.（10分）xyy0)y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面（如圖2.根據(jù)設(shè)計要求，當以3m3/min的速率向容器內(nèi)注入液體時，液面的面積將以m2/min的速率均勻擴大（假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無液體）.(1)tt與y)之間的關(guān)系式；(2)xy)的方程.3(注：m表示長度米，min表示時間分.)（10分）設(shè)函數(shù)f(x在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0.若極限f(2xa)存在，證明：limxa(注：m表示長度米，min表示時間分.)（10分）設(shè)函數(shù)f(x在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b內(nèi)可導(dǎo)，且f(x)0.若極限f(2xa)存在，證明：limxa在(a,b)f(x)>0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點，使xab2a22()；bf(x)dxa(3)在(a,b)內(nèi)存在與(2)中相異的點，使2b)(ba)2 2f(f(x)dx.aa（10分）22200A8a相似于對角陣，試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使6P1AP.（8分）已知平面上三條不同直線的方程分別為l1: 3c0，l2: 2cy3a0，l3: 0.abc0.41(1ax2)41a.1.【分析lim注xsinxx0意在計算過程中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無窮小量的等價代換進行化簡.11【詳解】當x0時，(1ax2)41~ ax2，42.1ax241(1ax2)41lim a1a=-4.于是，根據(jù)題設(shè)有l(wèi)imx21(1ax2)41a.1.【分析lim注xsinxx0意在計算過程中應(yīng)盡可能地應(yīng)用無窮小量的等價代換進行化簡.11【詳解】當x0時，(1ax2)41~ ax2，42.1ax241(1ax2)41lim a1a=-4.于是，根據(jù)題設(shè)有l(wèi)imx2xsinx4x0x0】.2..【分析(1,1)處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點斜式寫出切線方程即可.【詳解】xy2lnxy4x求導(dǎo)，得yxy24y3y，x代入上式，有)y11x1，即xy0.3..【分析】本題相當于先求y=f(x)x=0處的n階導(dǎo)數(shù)值f(n0)，則麥克勞林公f(n)(0)nx項的系數(shù)是.【詳解】因為y2xln2y2x(ln2)2，,y(x)2x(ln2)n，于是有y(n)(0)(ln2)ny (0)(ln2)x項的系數(shù)是(n)nn.中都可找到 .【評注】本題屬常規(guī)題型，在一般12()d即可.4..【分析】S【詳解】所求面積為21214a1222()dS22ae d0014a20e2a(e4a=【評注】本題考查極坐標下平面圖形的面積計算，也可化為參數(shù)方程求面積，但計算.】.55..【分析】本題的關(guān)鍵是矩陣T1，必可分解為一列乘一行的形式，而行向量一般可選第一行（或任一非零行.11111 11【詳解】由T111，知5..【分析】本題的關(guān)鍵是矩陣T1，必可分解為一列乘一行的形式，而行向量一般可選第一行（或任一非零行.11111 11【詳解】由T111，知1，于是 11 111 1a1a【評注nA1A2b b12nanP.389【2.11】和《13】.6..【分析】B，再取行列式即可.【例【詳解】A2BABE知，A2E)BAE，即(AE)(AE)BAE，(AE)BE.A+E可逆，于是有AE1，B再兩邊取行列式，得00201010012AE2,B因為所以.【評注】本題屬基本題型，綜合考查了矩陣運算與方陣的行列式，此類問題一般都應(yīng)先化簡再計算.完全類似例題見《數(shù)學(xué)大串講》P.160【11】.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）7.【分析】本題考查極限概念，極限值與數(shù)列前面有限項的大小無關(guān)，可立即排除(A),(B)；而極限limancn是0型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極n限limbncn屬1型，必為無窮大量，即不存在.n2【詳解】用舉反例法，取annbn1，1,2,，則可立即排除(A),(B),(C)，因此正確選項為(D).【評注】對于不便直接證明的問題，經(jīng)常可考慮用反例，通過排除法找到正確選項.完68..【分析.【詳解nn1nn13232nann11xndx=1xnd(1xn)x003n3)n]21}，11nn= (1xn)2nn1n1033n可見 )n8..【分析.【詳解nn1nn13232nann11xndx=1xnd(1xn)x003n3)n]21}，11nn= (1xn)2nn1n1033n可見 )n]21}(1e1)21.nn1nn【評注】本題屬常規(guī)題型，綜合考查了定積分計算與求數(shù)列的極限兩個知識點，但定積分和數(shù)列極限的計算均是最基礎(chǔ)的問題，一般中均可找到其計算方法.的中間變量為u，求出(u)的表達式，x9..【分析】將y 代入微分方程，再令lnxx進而可計算出().yxy(，得x【詳解】將y 代入微分方程ylnxxylnx1(lnx)，即.ln2ln2xy21u2x令lnx=u，有(u)，故()= .應(yīng)選(A).x2y【評注】本題巧妙地將微分方程的解與求函數(shù)關(guān)系結(jié)合起來，具有一定的綜合性，但問題本身并不復(fù)雜，只要仔細計算應(yīng)該可以找到正確選項.10..【分析】與極值點個數(shù)有關(guān)，而可能的極值點應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的4個，是極大值點還是極小值可進一步由取極值的第一或第二充分條件判定.【詳解3x=0則是導(dǎo)數(shù)不存在的點.x=0x=0為極大值點，故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大值點，應(yīng)選(C).f(x的圖象，本題是其逆問題.完全類似例題在文登學(xué)校經(jīng)濟類串講班上介紹過.11..【分析】直接計算I1,I2tanx>x,x>0.tanxx1，1，從而有詳解】因為當x>0時，有tanx>x，于是xtanx744tanxxI1dx，I2dx ，44 xtanx00可見有I1I2I24，可排除(A),(C),(D)，故應(yīng)選(B).【評注I11，因為用排除法，(A),(C),(D)均不正確，剩下的(B)一定為正確選項.12..【分析】本題為一般上均有的比較兩組向量個數(shù)的定理：若向量組I：1,2,,rII1,2,srsI必線性相關(guān).I：44tanxxI1dx，I2dx ，44 xtanx00可見有I1I2I24，可排除(A),(C),(D)，故應(yīng)選(B).【評注I11，因為用排除法，(A),(C),(D)均不正確，剩下的(B)一定為正確選項.12..【分析】本題為一般上均有的比較兩組向量個數(shù)的定理：若向量組I：1,2,,rII1,2,srsI必線性相關(guān).I：1,2,,rII1,2,,s線性表示，且向量rs.可見正確選項為(D).本題也可通過舉反例用排除法找到.010【詳解1010212,,121001011線性無關(guān)，排除(A)1,,，則,線211 211000110性無關(guān)，排除(B)；1,,，線性表示，但線性無1211 21001關(guān)，排除(C).故正確選項為(D).【評注】本題將一已知定理改造成選擇題，如果考生熟知此定理應(yīng)該可直接找到理11.（10分），定..x=0連續(xù)，要求既是左連續(xù)又是右連續(xù)，即f(00)f(0)f(00).ln(1ax3)ax3【詳解】 f(00)limf(x)limlimxarcsinx03ax23ax2lim=limx0 11x01x211x23ax26a.=limx01x228x2ax1eaxf(00)limf(x)limxsinx4x0x0x2ax12xaeaxaeax4lim2a4.2=4limx22xx0x0f(00)f(00)，有6a2a24ax2ax1eaxf(00)limf(x)limxsinx4x0x0x2ax12xaeaxaeax4lim2a4.2=4limx22xx0x0f(00)f(00)，有6a2a24a1a2.a=-1limf(x)6f(0)f(x)x=0處連續(xù).x0a=-2limf(x)12f(0)x=0f(x)的可去間斷點.x0【評注】本題為基本題型，考查了極限、連續(xù)與間斷等多個知識點，其中左右極限的計算有一定難度，在計算過程中應(yīng)盡量利用無窮小量的等價代換進行簡化.,數(shù)學(xué)大串講》14【分析】本題為參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)，按參數(shù)方程求導(dǎo)的公式進行計算即可.t的取值.注意e12lntdy【詳解】由 22etdx， 4t，dt 12lnt t 12lnt dtdydtdxdt2etdydxe12lnt,得t)4td2y1ddy 1 e2 1 ( ) = 所以dxdt2(12lnt)2 t 4tdx2 dtdxe=.4t2(12lnt)2x=9x12t2t>1t=2,故d2yee2.t)222dxx9t2【評注P.53【例2.9,《23】.15..【分析】被積函數(shù)含有根號1x2，典型地應(yīng)作代換：x=tant,或被積函數(shù)含有arctanx=t，即x=tant.9【詳解xtant，則xearctanxettantdx=sectdt=esintdt.2t33(1x2)(1tan2t)22又etsintdtetdcost=(etcostetcostdt)=etcostetsintetsintdt，故 etsintdt1et(sint【詳解xtant，則xearctanxettantdx=sectdt=esintdt.2t33(1x2)(1tan2t)22又etsintdtetdcost=(etcostetcostdt)=etcostetsintetsintdt，故 etsintdt1et(sintcost)C.2xearctanx1x1)C1x2arctanx3dx= e (2 2因此1x22(x1)earctanxC.=21x2【評注】本題也可用分布積分法：xearctanxxdx=arctanxde231xx2)2xearctanxearctanxdx=31x2x2)2xearctanx1arctanxde2=1xxearctan21xdx，=31x21x2x2)2移項整理得xearctanx(x1)earctanxC.dx=321x2x2)2本題的關(guān)鍵是含有反三角函數(shù)，作代換arctanxt或tant=x,完全類似例題見《數(shù)學(xué)dx dy dx16..【分析】將 轉(zhuǎn)化為 比較簡單， = ，關(guān)鍵是應(yīng)注意：1 1ydydxdydxdyd2xd dxd 1dx( )= ()2dy dydy dxy dy10y 1y(y)3 =.y2y然后再代入原方程化簡即可.dx1【詳解】(1)由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 dy，于是有ydx yyd2xd dxd 11( )= ( ) = .dy2 dydy dxy dy y2 y (y)y 1y(y)3 =.y2y然后再代入原方程化簡即可.dx1【詳解】(1)由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知 dy，于是有ydx yyd2xd dxd 11( )= ( ) = .dy2 dydy dxy dy y2 y (y)3代入原微分方程得yysinx.( *)(2)方程(*)yy0的通解為x xYC1eCe .2設(shè)方程(*)的特解為y*AcosxBsinx，代入方程(*)A0B1y*1sinxyysinx的通解是22.yYy*Ce1y(0)0y(0)3，得C1C1.故所求初值問題的解為122ye.【評注例17..【分析】問題等價于討論方程ln4k0有幾個不同的實根.本題相當于一函數(shù)作圖題，通過單調(diào)性、極值的討論即可確定實根的個數(shù)（與x軸交點的個數(shù)）.4xk，y【詳解】設(shè)).(則有4-k不難看出，x=1是(x)的駐點.O1x當0x1(x)0，即(x)單調(diào)減少；當x>1時，(x)0，即(x)單調(diào)增加，故(1)4k為函數(shù)(x)的最小值.k<44-k>0時，(x)0無實根，即兩條曲線無交點；當k=44-k=0(x)0有唯一實根，即兩條曲線只有一個交點；4-k<0時，由于lim(x)lim[lnk]；x0k<44-k>0時，(x)0無實根，即兩條曲線無交點；當k=44-k=0(x)0有唯一實根，即兩條曲線只有一個交點；4-k<0時，由于lim(x)lim[lnk]；x0x0lim(x)lim[lnk]，xx故(x)0有兩個實根，分別位于(0,1)與(1,內(nèi)，即兩條曲線有兩個交點.【評注開來，使得求導(dǎo)后不含參數(shù)，便于求駐點坐標...)PQy=f(x)的方程.b(2)將曲線y=f(x)化為參數(shù)方程，再利用弧長公式s x2y2dt進行計算即可.a【詳解】(1)y=f(x)P(x,y)處的法線方程為1Yy (Xx)，y為法線上任意一點的坐標.X=0，則xYy ，yx故Q點的坐標為(0,y ).由題設(shè)知y1yyx)0，即2ydyxdx0.y2積分得 x22y2C(C為任意常數(shù)).1 的方程為2y2x2x22y21.(2) 在[0，]上的弧長為122l1cosxdx21cos2xdx.200曲線y=f(x)的參數(shù)方程為xcost,0t .2y2sint,22112故 ssin2t cos2tdt2l1cosxdx21cos2xdx.200曲線y=f(x)的參數(shù)方程為xcost,0t .2y2sint,22112故 ssin2t cos2tdt21sin2tdt，200令t u，則22121202s1cos2u(du)1cos2udu0l24l.=22【評注】注意只在第一象限考慮曲線y=f(x)0到，而不是20到2.P.174的【例12.18】以及P.172的【解題提示二-P.74的第七題.19..【分析】液面的面積將以m2/mint時刻液面面積應(yīng)為：22tt與y)之間的關(guān)系式；又也可建立積分關(guān)系式，求導(dǎo)后轉(zhuǎn)化為微分方程求解即可.【詳解】(1)設(shè)在t時刻，液面的高度為2y)4t,從而t2y4.y，則由題設(shè)知此時液面的面積為y(2)液面的高度為y時，液體的體積為 (u)du3t3(y)12.220y求導(dǎo)，得2y)6y)y，即y)6y).解此微分方程，得yy)Ce6C為任意常數(shù)，由(0)2C=2,故所求曲線方程為13yx2e6.【評注求解。的第四題(實際考題相當于)f(x)>0.(2)要xaxa證明(3)注意利用(2)的結(jié)論證明即可.【詳解(1)limf(2xalimf(2xa)f(a)0.yx2e6.【評注求解。的第四題(實際考題相當于)f(x)>0.(2)要xaxa證明(3)注意利用(2)的結(jié)論證明即可.【詳解(1)limf(2xalimf(2xa)f(a)0.f(x)0，xaxaxa在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加，故f(x)f(a)0,x(a,b).x(2)設(shè)F(x)=x,g(x) f(t)dt(axb),則g(x)f(x)0，故F(x),g(x)滿2a足柯西中值定理的條件，于是在(a,b)內(nèi)存在點，使(x2)F(b)F(a)b2a2，g(b)g(a)baxxf(t)dt f(t)dt ( f(t)dt)aaa2()b2a2即.bf(x)dxa(3)f()f(f(0)f(f(a，在[a,上應(yīng)用拉格朗日中值定理，知在(a,內(nèi)存在一點f()f()(a，從而由(2)的結(jié)論得2b2a2，bf(x)dxa2b)(ba)2 2即有 f(f(x)dx.aa【評注(3)，關(guān)鍵是用（2）的結(jié)論：2ab2a22bf()(ba)2 2f(x)dxbaf(x)dxaf()f()(a)（(2)）f()f(a)f()(a)，14可見對f(x)在區(qū)間[a,]上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可.P.120【4.4118-19】.數(shù)學(xué)大串講》P.54【例..A的特征值，再根據(jù)特征值的重數(shù)與線a.P，則是常識問題.【詳解】矩陣A的特征多項式為2802200a6E可見對f(x)在區(qū)間[a,]上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可.P.120【4.4118-19】.數(shù)學(xué)大串講》P.54【例..A的特征值，再根據(jù)特征值的重數(shù)與線a.P，則是常識問題.【詳解】矩陣A的特征多項式為2802200a6EA(6)[(2)216]=(6)2(2)，A的特征值為12632.A相似于對角矩陣，故對應(yīng)126應(yīng)有兩個線性無關(guān)的特征向量，即3r(6EA)2，于是有r(6EA)1.4 21000 20由 6EA8a0a，40 000a=0.于是對應(yīng)于126的兩個線性無關(guān)的特征向量可取為010，2.1012當32時，424000 210002EA801，0 1x0,2x得對應(yīng)于2的特征向量2.1 2解方程組 x0,33 3 01501201P02PP1AP.0【評注】完全類似的例題見《 數(shù)學(xué)大串講》P.222【例18-19】和《文登數(shù)學(xué)全真22..【分析】三條直線相交于一點，相當于對應(yīng)線性方程組有唯一解，進而轉(zhuǎn)化為系2.【詳解方法一：必要性設(shè)三條直線l101201P02PP1AP.0【評注】完全類似的例題見《 數(shù)學(xué)大串講》P.222【例18-