同濟(jì)大學(xué)高數(shù)(上)03-10期末試卷答案

2003級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案二、（二、（每題3分，共18分）1./；2.二、（每題3分，共18分）1./；2.一、單項(xiàng)選擇題（每題4分，共16分）1.C2,B3.D4.C-—2sinx./.r?/2二、（每題3分，共18分）1./；2.(―2,0)U(2,+s),(―(―2,0)U(2,+s),(―8,—2)UQ2)；(2,2/2)；6.Cj+CQ+Qx)^三、三、（每題6分，共36分）1.xarctanx

Jl+JH—三、（每題6分，共36分）1.xarctanx

Jl+JH—I+C;V1+X22.-±tan3x-cos4x12-tanx+C；413.—4..-2；6.解為V=12（皿|%|十。）。四、七、所求特解y=2-—2/x+(/+2x)e1五、y=-.六、m=—p.233四、七、由/⑴=/⑼+廣⑼丹:廣⑺/二廣①八+:/⑺/⑴在0與x之間）知『/%）公=『/八0）%+；/"（〃）/磔二匚/〃（77）%2k又因了〃eC,所以尸在[一上存在最大值M和最小值機(jī)，于是"請(qǐng)《W（X￡[-Q,a|）,所以[Ywcdx<ff\r/)x2cbc<fMjcdx^>—a3m<[f\r/)x2dx<—a^M,由推廣的積J-aJ-aJ-a3J-a3r\3分中值定理知，區(qū)￡[-使得[)(機(jī)2公=§〃3/〃?，即匚/(幻公=；/〃0.Note：還有別的解法。如“變動(dòng)的觀點(diǎn)”,構(gòu)造函數(shù)尸（幻=「/⑺力,原問(wèn)題等價(jià)于證:J-a至使/（〃）=■片修）.A;2.B3.D;4.C.cosx-smx+x——cosx

22004級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案—.（每題4分，共A;2.B3.D;4.C.cosx-smx+x——cosx

2單項(xiàng)選擇題（每題4分，共16分）1..（每題7分，共35分）TOC\o"1-5"\h\z.n1-2.（略）3.—4.-5.y622

.（8分）J=e正是旋轉(zhuǎn)體的體積最小的點(diǎn)..（7分）提示：設(shè)2=入原不等式等價(jià)于in，〉型二D,Z>1,ci%+1即等價(jià)于/（0=a+l）lnr-2a-l）>0,t>\Q（用函數(shù)單調(diào)性證明）Note：還有別的構(gòu)造函數(shù)的方法，也有其它解法.（7分）提示：把所給方程轉(zhuǎn)化為微分方程，求解得廣（工）=生:；l+x再用函數(shù)的單調(diào)性和定積分的性質(zhì)即可。.（7分）提示：記/（x）=JJ,⑺由，再用Rolle定理。Note：也有其它解法2005級(jí)高等數(shù)學(xué)(A)(上)期末試卷答案1121f3V1+X2TOC\o"1-5"\h\z1.一；2.—x—1；3.；4.sinxH；5.cH—；6.0；7.Idx；32x(l+Iny)\-n3J,x8.-1,-2；9.非充分非必要。3.y4.ln(l+V2)qX13.y4.ln(l+V2)二.1.=xsinx.—arctan一+-ln(l+4e~2v)+C2二.1.=xsinx三.a=-,b=-o四.1,y=Ce-x2+x2ex2；2.y^fl+-xL2x-X(X+1)+l34I2J4五.（1）提示：設(shè)/（x）=xlnx-〃,用零點(diǎn)定理及函數(shù)的單調(diào)性；（2）提示：用夾逼定理。六.設(shè)左為正整數(shù)，k<x<k+l,—^—<—^—<—^—，三邊積分得2Z+12x-l2k—11”+i11<[dr<，左邊關(guān)于左=1,2,???/—1相加得：2k+l八212k—1i+i++「^^^二22<-1,右邊關(guān)于左=1,2,???,〃相加得:352〃—1Ji2x-1"+L…+J352〃一1—5-dx="+L…+J352〃一1InJ2幾+1<1H1F,,?H<1+Ind2n—1352/1-1Note：也可以用數(shù)學(xué)歸納法+中值定理去證2006級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案1.—；2.y—3x—7；3.(—1,0)；4.e1.—；2.y—3x—7；3.(—1,0)；4.e-2；5.—；6.

29.y〃一4y'+3y=0。arccosVxj+C2.4萬(wàn)3.Ln22三.S=ln(l+0)一日四.2y2=Ccsc2x+—sinx

3一-尤y=smx+x——cosx2五./max=，(T)=-e2+ie-244—；7.Tie,；8?y=x+-；4e六.證」⑶=。，?。?八3）（一）+0（一）2,”（2,4）,由于/〃⑴在［2,4］六.連續(xù)，在［2,4］上存在最大值〃和最小值加，故—(x-3)2<^^(x-3)2<—(x-3)2,從而222]<J；/(x)dx=r⑶J；(x-3)dx+iJ；/”(〃)(％-3)2dx<y,即機(jī)<3j：/(x)ck<〃，由介值定理知至少存在一點(diǎn)J￡[2,4],使得/C)=3j：/(x)dxNote：還有別的解法。參見(jiàn)03年的第七題。2007級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（上）期末試卷答案6.6.6.cosi-lnx^ldx；x)713.-1；4.x+y=e2?28.4a/2；二.10.—；116.cosi-lnx^ldx；x)713.-1；4.x+y=e2?28.4a/2；82三（1）月（X）不是/（x）在（—8,+8）內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，因?yàn)?（0）=,。/（0—0）=0-e2+C,x>0F(x)在(-oo,+oo)內(nèi)不連續(xù).(2)j/(x)dx=<2-%2HFC,X<0[22

四.=l五.j=Cesinv-2(l+sinx)六.由條件知/〃(x)+/(x)=2e[解出/(x)=sinx—cosx+e\從而可求出「(四一9〕心=1±￡：.Jo(l+X(1+X)2J1+7TNote5求積分時(shí)，可采取保持一個(gè)不動(dòng)（比方翟不動(dòng)），然后讓另一個(gè)等價(jià)變形（朝著保持不動(dòng)的那一項(xiàng)方向等價(jià)變形）。當(dāng)然還有別的方法，如湊微分等。七.(1)S(a)=S](a)+S2(a)S三旦是最小值.6七.(1)S(a)=S](a)+S2(a)S三旦是最小值.6°°3yp2+1(2)"二71八.提示：令〃=/，八.提示：令〃=/，那么/（%）=Jc°sx八.提示：令〃=/，那么/（%）=Jc°sx2cos(x+l)2、X2du<——+2\xx+\)1r(x+l)+4L22008級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（±）期末試卷答案8.oi]0旬；2.3；3.(2,-5)；八.提示：令〃=/，那么/（%）=Jc°sx2cos(x+l)2、X2du<——+2\xx+\)1r(x+l)+4L22008級(jí)高等數(shù)學(xué)（A）（±）期末試卷答案8.oi]0旬；2.3；3.(2,-5)；4.y=14.2,—x—；5.Ave33;6一e7.3—n49.」sinl2二.10.-:11.33a——,b=0,

2,1.12.sinx+(xcosx-l-sinx)lnx+C—In22y=——sinx——cosx+e22四.由題意得/匕7。)由=J/(0)/(%),x>0,￡7(0dr=22-記/Q)=y,那么兩端對(duì)x求導(dǎo)知y'+—y=/儼,解得/Q)=xx"(0)f(0)(i+cV7(o)x)22k4左21五.（1）設(shè)以（％，”），那么由題意得％=一,%==,1=7nrr2nJn21?一11?一!(*⑵1?一11?一!(*⑵lim—=21im—￡1--〃一+8nfrfn"+00n-\k=\k=\k\e"k、2j1———=21(1—x)xdx=-nn2J。6六.設(shè)/(x)=m(l+x)—x+—F(或/(%)=ln(l+x)—x+1),由函數(shù)單調(diào)性可得2rV2-l<ln(l+V2)Note：也有別的解法，而且解法很多七.法1：Q七.法1：Q(四=『/(x)d(x—l)=(x—l),f(x)[j-]，2°(x-1),1(x)dx|x-l|dxmax|/'(x)|=maxf\x)法2:J。/(x)dx=J。/(x)dx+1/(x)dx對(duì)J；/(x)dx,"x)=/(o)+rc)x,再用積分的單調(diào)性及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)放縮。對(duì)J：/(x)ck,/(%)=/(2)+/(〃)(九-2),再用積分的單調(diào)性及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)放縮。r2法3:(函數(shù)的觀點(diǎn)，將J。/(x)dx是某個(gè)函數(shù)在一些定點(diǎn)處的取值，比方令F(x)=￡f(t)dt,將尸(%)分別在X。=1和A：。=2處一階Taylor展開(kāi)(帶Lagrange余F"⑶項(xiàng)，即網(wǎng)不)=尸(/)+尸(％)(x—/)+_^(x—%)2,J介于x和/間)，然后在所得兩式中都取x=l,再做相應(yīng)的運(yùn)算。Note：構(gòu)造函數(shù)的方法也不是唯一的。2009級(jí)高等數(shù)學(xué)(A)(上)期末試卷答案6.6.6.三.1.R\Z9(1,+<力)；2.—12arcsinVx+C；7.e-1；-cotxlnsinx-cotx-x+C；6.三.1.R\Z9(1,+<力)；2.—12arcsinVx+C；7.e-1；-cotxlnsinx-cotx-x+C；8.11y=x——22xyff+2yf-xy=0；n3-12-113.2；9.71耳;14.0；n17~2y=W—：(%2+%)+g(l+%)e2x四./(x)=2%+3%2,v=2^jo^2x2+3d)dx=U%丫2五.五.五.設(shè)/(x)=彳—ln(l+J)_q,那么7max=/(°)=_〃>°，/向=/(±1)=」—ln2—〃<0,故常數(shù)〃的取值范圍是：--ln2<a<0o

五.六.令F(x)=「/⑺由，那么(L不等式兩邊對(duì)％積分，得71+2F(x)-1<x,即/(%)<Jl+2J；/(。山=71+2F(x)<l+x七.(1)記尸(%)=「/⑺山+匚)⑺ck,用Lagrange中值定理(2)(2)由(1)得?(2)由(1)得?⑺⑺山—0—/(0)?/(—夕幻一/(0八Ox-Ox因此2/(0)lim0=limXfo+Xfo+⑺山+『7⑺山x2=lim10+2x」im2(2)由(1)得?⑺⑺山—0—/(0)?/(—夕幻一/(0八Ox-Ox因此2/(0)lim0=limXfo+Xfo+⑺山+『7⑺山x2=lim10+2x」im2d+/(x)-f(O)?/(-x)-/(0)^=((0).由于/'(0)w0,所以lim9xfo+2010級(jí)高等數(shù)學(xué)(A)(±)期末試卷答案-o填空題(此題共9小題，每題4分，總分值36分)e""；2.y=x+l；3?y—2x；4.6；5.——1)!；6.—1；7.-4〃；8._2；9.xy=\.3二.(此題共4小題，每題7分，總分值28分)10.解lim(sinx-sin(sin%))sinx1-COSX2….sinx-sin(sinx)二21ima。(sinx)"sin%=21im一o〃11.像「+81，Mi+J)a上〔x21+x2Jd(x2)=-In—21+xr0」ln2.'212.fer=lnx1]解J】sin(lnx)dx=JezsinMl=—ez(sint-cosZ)；)=—(e(sinl-cos1)+1).13.解1——Jsin2xcosxdx=-fcscxdtanx=-secx+2J2—[escxck2J1X11,?、=—secx+—Intan——\-C(或=—secx+—Incscx-cotx+C).fxx-t=u00f(x-u)g(u)du,0f(x-u)g(u)du,三(14).(此題總分值7分)解］。/⑺g(xT)由二當(dāng)OKxV一時(shí)，因故x-〃>0,于是0f(x-u)g(u)du,原式=Jo(x-w)sinudu=-xcosu(；+(〃cos〃一sin”)x?o=x-smx.jr

當(dāng)X>作時(shí),2TV原式=jj(x一u)sinudu+J乃(x-u)Odu=-xcosu2兀2+(〃cos〃-sin〃)o所以,⑺g(x7)d;<x-sin