材料力學(xué)-彎曲變形

§7-1引言

§7-2撓曲軸近似微分方程

§7-3計(jì)算梁位移的積分法

§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

§7-6簡單靜不定梁

§7-7梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)第七章彎曲變形

目的:

1、解決梁的剛度問題

2、求解靜不定梁3、為研究穩(wěn)定問題打基礎(chǔ)§7-1

引言拉壓桿的變形：伸長或縮短(Dl)圓軸扭轉(zhuǎn)的變形：相對轉(zhuǎn)動(扭轉(zhuǎn)角j)彎曲變形怎樣描述？回顧：問題：

撓曲軸是一條連續(xù)、光滑曲線

對稱彎曲時(shí)，撓曲軸為位于縱向?qū)ΨQ面的平面曲線

對于細(xì)長梁，剪力對彎曲變形影響一般可忽略不計(jì)因而橫截面仍保持平面，并與撓曲軸正交撓曲軸

軸線變?yōu)榍€，變彎后的梁軸，稱為撓曲軸，彎曲變形的特點(diǎn)

梁變形的描述：ABF

變彎后的梁軸——撓曲軸F描述截面上任一點(diǎn)的位移:1、形心軸的線位移

——撓度w2、截面繞形心軸的角位移

——轉(zhuǎn)角qF

撓度隨坐標(biāo)變化的方程——撓曲軸方程w=w(x)F

忽略剪切變形

，且梁的轉(zhuǎn)角一般很小——q=q’?

dw/dx3、軸向位移可忽略§7-2撓曲軸近似微分方程Q

中性層曲率表示的彎曲變形公式Q

由高等數(shù)學(xué)知識

Q

撓曲軸微分方程

——二階非線性常微分方程（純彎）（推廣到非純彎）方程推導(dǎo)（請考慮推導(dǎo)思路）Q方程簡化

正負(fù)號確定:彎矩:

坐標(biāo)系：w向上為正小變形時(shí)：曲線下凹撓曲線下凹,彎矩M為正方程取正號

正彎矩負(fù)彎矩xwoxo??

小變形Q應(yīng)用條件：Q撓曲軸的近似微分方程正彎矩xo

坐標(biāo)軸w向上，彎矩下凹為正土木建筑部門，采用坐標(biāo)軸w

向下坐標(biāo)系小結(jié)F

C、D為積分常數(shù)，它們由位移邊界與連續(xù)條件確定。一、梁的撓曲軸方程§7-3計(jì)算梁位移的積分法位移邊界條件w=0w=0w=0q=0二、位移邊界條件與連續(xù)條件自由端：無位移邊界條件。位移連續(xù)與光滑條件撓曲軸在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑連續(xù)：wB左=wB右光滑：qB左

=qB右

ACDMFB寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件ABCDFE例：思考：

1.該梁可分幾段積分？各邊界和內(nèi)部分界點(diǎn)有多少位移邊界與連續(xù)條件？(2).分3段。ED段不受力，保持直線，僅作剛性轉(zhuǎn)動。

請自行考慮。(1).分4段。位移邊界條件：A端：兩個(gè)；D端：無。位移連續(xù)條件：E：2個(gè)；B：1個(gè)；C：3個(gè)

自由端：無位移邊界條件固定端：

連續(xù)條件：寫出梁的撓曲軸方程的邊界條件和連續(xù)條件邊界條件：例：中間支撐C：E點(diǎn)：中間鉸B：ABCDFE已知EI,建立該梁的撓曲軸方程AB解:2、撓曲軸近似微分方程1、彎矩方程:例：AB3、積分常數(shù)的確定w(0)=0D=0w’(0)=0C=0已知EI

,建立該梁的撓曲軸方程

AB解:計(jì)算約束反力，建立坐標(biāo)系。AB段BC段例:x邊界和連續(xù)條件:

四個(gè)方程定4個(gè)常數(shù)ABx繪制撓曲軸的大致形狀：F

彎矩圖過零點(diǎn)處為撓曲軸拐點(diǎn)

支座性質(zhì)定該處線和或角位移1.繪制彎矩圖。2.繪制撓曲軸的大致形狀F

彎矩圖符號定撓曲軸凹凸性凹凸凹直線撓曲軸大致形狀+_Fs+MADBC§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

載荷疊加法

逐段變形效應(yīng)疊加法

兩類疊加法比較

例題一、載荷疊加法M(x)為載荷(P,q,Me)的線性齊次函數(shù)2、梁的變形很?。?不影響其它載荷的作用效果)1、應(yīng)力不超過比例極限；(線彈性)梁的變形與載荷成線性關(guān)系積分后，w和w’仍然是載荷(P,q,Me)的線性齊次函數(shù)載荷疊加法的應(yīng)用例：EI=常數(shù)，求，載荷由集中力F，均布力q和力偶M0構(gòu)成，分別查表,然后將各個(gè)載荷在A端引起的位移疊加。AFqQ分析方法：查表,p351AAFAqAFq()Fq疊加：例：載荷集度為，求自由端撓度xq0BFB分析方法：將任意分布載荷看作無窮微集中力的疊加。注意(1)a取為變量x(2)載荷向上為正查表P351(2):例：載荷集度為，求自由端撓度xq0BFB例：EI=常值，求ACBq0(a)+q0(b)BACq0(c)分析：故：為什么？例：矩形截面梁斜彎曲問題——求撓曲軸方程與端點(diǎn)C位移yCzF分析思路：載荷沿兩對稱軸分解：

分解為對稱彎曲問題2.求解各分載荷作用下的撓曲軸方程與C點(diǎn)位移3.合成為總的撓曲軸方程與總的C點(diǎn)位移解：(1)載荷分解方位角F

一般b

1

q，彎曲變形不發(fā)生在外力作用面內(nèi)。(2)分力撓曲軸方程與端點(diǎn)位移端點(diǎn)C：yCzFABC例:求圖示外伸梁C點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角ABCABCqa/2qa2/2僅考慮BC段變形(剛化AB,可視BC為懸臂梁)僅考慮AB段變形(剛化BC)二、逐段變形效應(yīng)疊加法總撓度和轉(zhuǎn)角逐段變形效應(yīng)疊加法：靜定梁或剛架的任一橫截面的總位移，等于各梁段單獨(dú)變形(其余梁段剛化)在該截面引起的位移的代數(shù)和或矢量和。進(jìn)一步討論ABCABCABCqaqa2/2ABCABCABCqaqa2/2三、兩類疊加法比較1.兩類疊加法的聯(lián)系思考：右圖的逐段變形效應(yīng)疊加法所對應(yīng)的載荷疊加法是什么？（求wC，qC）ABCABCABCqaqa2/22.兩類疊加法對應(yīng)關(guān)系實(shí)例ABCqa2/2BCqa2/2A逐段變形效應(yīng)疊加法有何優(yōu)點(diǎn)？3.逐段變形效應(yīng)疊加法與載荷疊加法適用范圍不同右圖的疊加法為什么不成立？4.兩類疊加法適用范圍比較線彈性、非線彈性與非彈性線彈性小變形小變形靜定桿系與剛架靜定與靜不定結(jié)構(gòu)，包括桿、板、殼及一般三維體逐段變形效應(yīng)疊加法載荷疊加法例：EI=常數(shù)，求ABCFABCBC剛化FBCAFFaAB剛化加

a.BC彎曲剛度剛化b.BC扭轉(zhuǎn)剛度剛化w32.BC扭轉(zhuǎn)(AB剛化，BC彎曲剛度剛化)3.BC彎曲(AB剛化，BC扭轉(zhuǎn)剛度剛化)1.AB彎曲(BC剛化）例：E常數(shù),,求，F(xiàn)ABC剛化AB段：1.BC段變形效應(yīng)（剛化AB段）2.AB段變形效應(yīng)（剛化BC段）剛化BC段：ABCABCF例：E常數(shù),,求，F(xiàn)ABC剛化AB段：BC段剛化：ABCABCF3.總轉(zhuǎn)角和撓度,求例：E常數(shù),，F(xiàn)ABCEFABCEFABCEF對稱性的應(yīng)用F/2CFBABCEFF/2F/2逐段變形效應(yīng)疊加法ACBqBACq/2ACq/2反對稱：中點(diǎn)撓度為0，彎矩0→鉸支對稱：思路：載荷分解Cq/2例：利用對稱性求

(

)(↓)例：組合梁的變形分析，求：AqCBABC’解：梁撓曲軸如圖CB保持直線AC懸臂梁問題分析：采用逐段變形效應(yīng)疊加法例：組合梁/剛架各處EI,EA,B處梁間活動鉸，求ABCF剛化剛架BDH,AB為簡支梁，剛化梁AB，下面求剛架的位移ABHDCF解：1.求BHDF/2（1）剛化DH的拉壓與彎曲剛度，

BD相當(dāng)于懸臂梁（2）剛化BD和DH的拉壓剛度（3）剛化BD和DH的彎曲剛度ABCF

2.求3.求設(shè)b×h矩形截面4.比較彎曲與拉壓位移結(jié)論:

(如果題意沒有要求)，拉壓與彎曲共同作用時(shí)，拉壓引起的位移可以忽略。ABHDCF§7-6簡單靜不定梁

靜不定度與多余約束多余約束多于維持平衡所必須的約束多余反力與多余約束相應(yīng)的支反力或支力偶矩靜不定度＝支反力（力偶）數(shù)－有效平衡方程數(shù)靜不定度＝多余約束數(shù)5-3=2度靜不定6-3

=

3度靜不定相當(dāng)系統(tǒng)：受力與原靜不定梁相同的靜定梁相當(dāng)系統(tǒng)的選擇不是唯一的相當(dāng)系統(tǒng)1相當(dāng)系統(tǒng)2

相當(dāng)系統(tǒng)qABABRBqABqAB靜定基:一個(gè)靜不定系統(tǒng)解除多余約束后所得的靜定系統(tǒng)(左下)相當(dāng)系統(tǒng)：作用有原靜不定梁載荷與多余約束反力的基本系統(tǒng)(右下)AB靜定基與相當(dāng)系統(tǒng)qABABRBqABq

靜不定問題分析例：ABCFFAFBFCF

平面問題有三個(gè)平衡方程；F

水平方向不受力，兩個(gè)有效平衡方程；F

有三個(gè)未知力，一度靜不定。ABCFFBwB=0問題分析：可以以支座A、B、C任意一個(gè)的鉛垂約束作為多余約束。求解：解除多余約束，代以約束反力，利用相應(yīng)變形協(xié)調(diào)條件求解。例如解除約束B，變形協(xié)調(diào)條件為思考：多余約束反力是否能與變形協(xié)調(diào)條件一一對應(yīng)？小結(jié)：分析方法與分析步驟

步驟：

1、判斷靜不定度（確定多余約束數(shù)）；

2、選取與解除多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)；

3、列出多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件；

4、結(jié)合平衡方程，求多余支反力。

方法：選取與解除多余約束，代之以支反力；分析相當(dāng)系統(tǒng)，使多余約束點(diǎn)處滿足位移邊界或連續(xù)條件F

相當(dāng)系統(tǒng)選取不唯一，一般選擇求解最簡單的一種例：求支反力1.

靜不定度：6-3=32.選取相當(dāng)系統(tǒng)：右中、下圖都合適。選右中圖。小變形，軸向變形可忽略

HA=HB=0。兩多余未知力qABHAHBRBRAMBMAABMAMBqABRBMB3.建立變形協(xié)調(diào)條件4.聯(lián)立求解qABRBMB對稱性的應(yīng)用利用對稱性直接求出RA=RB=ql/2，它可取代方程（1）、（2）之一。存在裝配誤差的靜不定問題分析ABAB例:

直徑為d

的圓截面梁,支座

B

下沉

d，smax=?解：AB例：求A點(diǎn)的垂直方向的位移，A處梁間活動鉸。ADR’A組合梁/剛架靜不定問題的分析ABCDM0方法：將鉸鏈拆開，建立鉸鏈處的變形協(xié)調(diào)條件BCM0RA例：求支反力

變形協(xié)調(diào)條件：RRB點(diǎn)位移按右圖計(jì)算

ABRqaqa2/2ABqCDECABqRDRE§6-6梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)一、梁的剛度條件[d]——許用撓度，[q]——許用轉(zhuǎn)角一般用途軸：

[d

]=(5/10000~3/10000)l重要軸：