近世代數(shù) 第11講

第11講§8子群(Subgroups)本講教學(xué)目的和要求：對于群這個新的教對象，應(yīng)該如何入手，從哪幾個方面去研究它，這一直是我們所關(guān)心的問題。概括些說，對群的研究，可分為互相聯(lián)系的兩個方面：群的結(jié)構(gòu)和群的表示。與集合比較，群就是多了一個運送（正是這個運算才給群帶來了生命力），所以群論研究的初步可以仿照集合論去討論，只是關(guān)系群的一切討論都要圍繞這個運送展開，子群是非常重要的概念，了解子群是了解群的結(jié)構(gòu)的一個重要渠道，本講中要求：1、 能判斷子群的構(gòu)成和掌握彼此等價的判斷條件2、 有限群的判斷定理3、 子群（集）的乘積和生成子群的概念4、 循壞群的子群所具有的特性本講的重點和難點：為了更好的學(xué)習(xí)下一講內(nèi)容，本講中增添了部分內(nèi)容（也都是群論中最基本的內(nèi)容）。循環(huán)群的子群的性質(zhì)；子群之積的性質(zhì)，…都是本講中的要點和難點，通過這方面的訓(xùn)練可使我們對子群有一個更深入的了解。生成子群的概念在本教材中談的很少，本講中也作了適當?shù)丶訌?。結(jié)合高等代數(shù)中生成子空間的理論，會使我們有一種溫故而知新的感覺。此外，本講中還引入了中心，中心化子，正規(guī)化子等概念，以便拓寬知識量。一、子群的定義及判定條件定義1、設(shè)G是一個群，而如果H關(guān)于G中的運算本身也能作成群，則稱//是G的一個子群記為例1設(shè)G為任意一個群，那么由G的單位元組成子集何，自然有{e}<G,另外G本身也有GWG,所以G—般有兩個子群，統(tǒng)稱它們?yōu)榈腉平凡子群。如果G除了平凡子群外還有其他子群，那就稱為G的真子群，記為H<G.例2Z是整數(shù)加群，而一切偶數(shù)構(gòu)成的集合為2Z,其中：2Z={…4,-2,0,24…},那么關(guān)于整數(shù)的加法有2Z<Z明不1:任取 整數(shù)〃7,那么mZ={w?m|VngZ}為一切加的倍數(shù)構(gòu)成的集合，可知mZ<Z.例3設(shè)L={AeM“(R)||A|工0}表示一切可逆〃階方陣組成的集合，用矩陣通常的乘法可知：?厶中方陣對乘法封閉(任二個”階可逆陣之積仍可逆)?厶中方陣滿足乘法結(jié)合律?單位元為E?AeL.=>A的逆元為4T—A的逆陣所以厶是個群。若kE=k.令為厶中的“階數(shù)乘陣，那么k_?=伙糾切^/?*工0}是乙的勻￡空子集，且必有K<厶。例4 設(shè)S嚴{⑴,(12),(13),(23),(123),(132)}為三次對稱群，令H={(1),(12)}

和三次交錯群A3={(1),(123),(132)}o易知H<Si9A5<S3.例5設(shè)模6剩余類加群Z6={[0],[l],[2],[3],[4],[5]}。令H產(chǎn){[0],[2],[4]}, H2={[0],[3]}，可知厲<Z6,可知比<Z6子群的性質(zhì)：設(shè)H<G,那么性質(zhì)1:若中的單位元為中的單位元為那么=lG-證明:?.?0是G的單位元而/刃g(shù)(7=>lclH=lH'：lH是H的單位元又/円GH =lH證明:消去律IJh=Qh這說明子群H中的單位元就是母群G的單位元.性質(zhì)厶設(shè)*那么若。在G中的逆元為心，。在//中的逆元為扇,則心則心證明:證明:?消去徉_j _| 一] —j=aaH ciG=aH了群的判定定理1：設(shè)那么H5GOPa,bwH=>abwH,(2)PciwHnwH證明：(n)若H<G,(1)顯然成立，而上述性質(zhì)2恰說明(2)成立.(u)?因為(1)成立=//中元素乘法封閉。?結(jié)合律在G中成立，自然在H中也成立。?v0^3aeH.由(2)nc/一,再由(1)知e=aa~leHeeH。?由(2)=^>VnggH于是可知H<G.如果將上述定理1中的(1)和(2)進行合并，則得：了群的判定定理2：設(shè) ,則//<GoV(7,Z?gH,有ab~[gH證明：(=>)<G.由定理1中(2)nHH,再由(1)知ab'1eH.(U)(往證(1)和(2)成立)VxgH.由條件知xx~[eH,即/gH,那么gbwH"=b「*H,并且ab=a(b-l)~leH,所以(1)和(2)都成立，由定理1=>HWG。右限了群的判定定理:設(shè)帖HgG,且|H|v+oo,那么H"OgbwH有abeH.證明：必要性：顯然。充分性：(1)條件表明H滿足封閉.G中滿足結(jié)合律=>//也滿足結(jié)合律.因為G中滿足消去律=>//中也滿足消去律.由(1)、(2)和(3)=>//<G(注//是有限集).思考題1:?每個群都有二個不同的平凡子群嗎？?G的二個子群比和H2有可能會7n比=0嗎？為了加深印象，可從集合的角度對上述定理進行論述:設(shè)￡3是群G的兩個非空子群，那么定義：AB={cib|Vc/gA,V/?gB}A'1={cClIGA}

顯然AB和/T都是G的非空子集，至此，可以重新定義子群:結(jié)論1:設(shè) 那么HSGoHHgH且RTgH結(jié)論2：設(shè)0hHgG,那么H5GoHH-'uH對于上述結(jié)論的證明是顯而易見的。注意：結(jié)論1正是判定定理1的另一種表述；結(jié)論2是判定定理2另一種表述。思考題2：—個群G能表成它的兩個真子空間的并集嗎？答：不能。如果H嚴G,H、<G,且G=比。那么必有且H,（zH」。故存在，衛(wèi)衣比,入丘比且他冬治，而G=H】uH2是群=>gG,即hLh2gHl^lthlh2gH2,但若hji2eh2=h~\hji2）gHy矛盾。同理，若hjue//,=>h,=（h.h.yh；1gH2,矛盾。這表明G=H1<jH2是不可能的。3：3：一個群能否表成它的三、四個真子群的并集?例6設(shè)K廠{(1),(12X34),(13X24),(14X23)},則易知心是群。(即K異S4),現(xiàn)令^={(1),(12X34)}, ={(1),(13X24)},弘={(1),(14)(23)}。可知0都是K』勺真子群(i=123),顯然K產(chǎn)比"2比。例7 對于三次對稱群厶={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},令0={(1),(12)},碼={(1),(13)},比={(1),(23)},比={(1),(123),(132)},可知Hf<S3.(/=1,2,3,4),并顯然S3=0U禺U血U/,上二例表明：群有可能表成三個或四個真子群的并。二、生成子群任取出G的一個非空子集S,它未必能構(gòu)成子群。也就是說，S可能不滿足“SSgS或STuS”.仔細分析，s不能構(gòu)成群的本質(zhì)原因是“不夠大”。也就是說，需要對S擴張一一往S中添加其他元素，但應(yīng)添加什么元素呢？一一添加那些S應(yīng)具備，但沒具備的元素。如果將那些應(yīng)添加的元素做成的集合記為S」則S,={a-l,c-l,a-lbc-l,dcg,b-lag-llcb-1,……}.?，F(xiàn)令K=SUJ,那么K中元素應(yīng)如何表示？K是什么結(jié)構(gòu)？結(jié)論3：設(shè)0hSuG,那么上述的K為K=〈處磚…瞪qgS,?;.=±1j7?gN,i=l,2,3,?其中K是含有S的最小的群。證明：(1)???S工0,且S中每兀素都能表不Q?備…a：的形式(取〃7=1,斤=1,即可)SuK.且KH0.(2) = …心，y=b[b?…b；：wK,其中：a.,bjgS,八=±1心=±1,m,ngN于是.xy=葉…或葉…b：：eK.=>K中乘法封閉。其次F=⑷若…磴=a匸…a；r：a[ri=殆…磚沖,其中代=±1,(/=1,2…w)/.jT*K.由上知K<G.(3)如果K<G且S5H,那么S中有限個元素的乘積，逆元素的乘積，元素與逆元素的乘積都含在H屮，^>S1^H.:.K=S<jS1eH.由H的任意性，=K是含S的最小的子群。定義2：設(shè)0hS^G,,那么有子群K={W…瞪\aieS,ri=±l,meN}.^做由子集S生成的子群，記作K=(S),并稱S為K的生成子集，若S={al9a29■-9an}為有限集,那么稱K=(S)是有限生成的，并稱al,a2,-,a?為K的生成元集，此時口丿記《=(S)=(al,a2,-,a?).若S={°}為單元集時，K=@)就叫做循環(huán)群，其中d為K的生成元(這正是§7中的內(nèi)容)明示2：如果S<G時，那么(S)=S.例8在例6中K4={(1),(12X34),(13X24),(14X23)}.若令￡=⑴,a=(12)(34)b=(13)(24),c=(14)(23).那么a2=b2=c2=e且ab=ba=c,ac=ca=b.be=cb=a.這說明:K4=(€?,/?)=(?,c)=(b,c).也就是說，K」可由a,中任意兩個元素生成，但不可能由一個元素生成，即心不是循壞群。例9 設(shè)厶={4wM“(R)||4|hO},而令S={Aw厶|A是〃階初等矩陣}。由高等代數(shù)知識知：“每個可逆陣可寫成初等矩陣之積”，所以三、子群的積首先觀察下例設(shè)H={(1),(12)},K={(1),(13)},那么易知H<Si9K<Si9那么HK={(1),(13),(12),(123)},HK,會成為群嗎？事實上，(12),(13)wHK,但(13)(12)=(132)電HK這說明對乘法不封閉=>HK不是群.上例是告戒我們，兩個子群的積未必成為群(問題出在哪？),經(jīng)分析，關(guān)鍵是HK中元素對乘法不適合封閉性。HK滿足乘法封閉性的實質(zhì)是什么？Vx=hlkl,y=hlklgHK,若xy= gHK=>eHK使Kkjuk.=h.k.nkjg= =(忙1人)(心紅!)=h'k',經(jīng)分析知1：VRgK,PheH,有A'gK和/?'gH使hk=k'h；即HK=KH定義3:設(shè)H<K,K<G如果HK=KH,則稱H與K可交換注意：HK=KH只是意味著左右兩個集合相等，而絕不意味著//的元素與K中元素乘積可交換。結(jié)論4設(shè)H<G.K<G,則HK5G0HK=KH.證明：(=>) PkheKH.顯然IWHK。但HK<G.:.(/廠％T)TgHK但(/?TRT)T=hk.=>kheHK由好的任意性=KHuHK。同理PhkwHK?由于kWwKHuHK二>k'w處使k~lh~[=h'k'n伙W)"=(”k‘)i^hk=k'ih'1eKH由hk的任意性nHKuKH.(<=)vHK=KH由前面的分析知，HK中元素滿足封閉性。另外：PhkgHK.則(赧廠1=kWgKH=HK,:.?k尸wHKa逆元封閉。所以HK<G.4取5的一個子集S={(12),(123)},試問S生成的子群H=(S)中包含了哪些元素？試問一個群的兩個不同的子集能生成同一個子群嗎？解：H=?)中元素是S中元素一切可能的元素和逆元之積組成的。即:含有(12)(12)=(1),(123)(123)=(132),(12)(123)=(13),(123)(12)=(23)。自然還有(12),(123).?\H=(S)={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}=53另外：設(shè)T={(12),(132)}N=(T)=S3(驗證過程略)由上可知盡管ThS.但(T)=(S)n兩個不同的子集可能生成相同的子集。訓(xùn)練題設(shè)⑷=8,找出G=(a)的全部子集。(注：有二個重要命題需要用到