微積分上-課件2-8連續(xù)函數(shù)運(yùn)算

12.8連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與

初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)的連續(xù)性小結(jié)思考題作業(yè)初等函數(shù)的連續(xù)性第2章極限與連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性一、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理1例如,二、反函數(shù)的連續(xù)性定理2

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).不加證明的指出指數(shù)函數(shù)單調(diào)且連續(xù);所以它的反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)且連續(xù);5定理3設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)復(fù)合而成,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在x=x0連續(xù).證三、連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)u=g(x)在x=x0連續(xù),且

g(x0)=u0,而函數(shù)y=f(u)在u=u0連續(xù),有可能g(x)=u0,但此時(shí)f[g(x)]=f(u0)=f[g(x0)]并不影響上述極限過(guò)程.

6例解由所以滿足定理3的條件有:上述定理對(duì)計(jì)算某些極限很方便.可交換次序意義可交換次序;2.變量代換的理論依據(jù).1.在定理的條件下,7例解這里不連續(xù),但所以8例解同理可得四、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))定理4

一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.注意注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.例例解解13練習(xí)解

考研數(shù)學(xué)三,填空題,3分{}定理3則有14練習(xí)考研數(shù)學(xué)(三,四)選擇題(4分)則(A)x=0必是g(x)的第一類間斷點(diǎn).(B)x=0必是g(x)的第二類間斷點(diǎn).(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點(diǎn).(D)g(x)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān).注:例如,解16五、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的連續(xù)性;連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性;初等函數(shù)的連續(xù)性:求極限的又一種方法.連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)的連續(xù)性;定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;17解答思考題1如果函數(shù)f(x)、g(x)至少有一個(gè)在點(diǎn)x0不那么,f(x)+g(x)在該點(diǎn)是否連續(xù)?連續(xù),(1)若兩個(gè)函數(shù)中只有一個(gè)在點(diǎn)x0不連續(xù),則f(x)+g(x)在點(diǎn)x0必不連續(xù).

用反證法證之:不妨設(shè)在點(diǎn)x0,并假設(shè)f(x)+g(x)在點(diǎn)x0連續(xù),

則由連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有:在點(diǎn)x0連續(xù),與已知矛盾.

故f(x)+g(x)在點(diǎn)x0不連續(xù).f(x)連續(xù),g(x)不連續(xù);18解答思考題1如果函數(shù)f(x)、g(x)至少有一個(gè)在點(diǎn)x0不連續(xù),(2)若f(x)、g(x)在點(diǎn)x0均不連續(xù),則

在f(x)+g(x)在點(diǎn)x0可能連續(xù),那么,f(x)+g(x)在該點(diǎn)是否連續(xù)?也可能不連續(xù).如:在x=

0處均不連續(xù),在x=

0處連續(xù).在x=

0處均不連續(xù),在x=

0處亦不連續(xù).19思考題2(是非題)處有定義,則非故但20思考題2(是非題)處