第十九次課二次型

只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形(或法式)。定義P177（二次型標(biāo)準(zhǔn)形）平方項(xiàng)系數(shù)只在1,-1,0中取值的標(biāo)準(zhǔn)形稱為二次型的規(guī)范形1、二次型的規(guī)范性以上說(shuō)明：注意：2.在變換二次型時(shí)，要求所作的線性變換是可逆的.設(shè)二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)經(jīng)正交變換化為:(思考為什么一定可化為上面形式？)再做一次可逆的線性變換則f

化為思考：在可互化的二次型中最簡(jiǎn)單的是什么？在對(duì)稱矩陣合同等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣是什么？任意一個(gè)實(shí)二次型f(x1,x2,…,xn)=xTAx

定理6.12(慣性定理)總可以經(jīng)過(guò)一個(gè)適當(dāng)?shù)目赡婢€性變換化成如下形式的規(guī)范形其中r是二次型f的秩，p是二次型f的矩陣A的正特征值個(gè)數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)），r-p是矩陣A的負(fù)特征值個(gè)數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)），且規(guī)范形是唯一的.證明略

二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù),負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù).

設(shè)二次型f

的秩為r,正慣性指數(shù)為p,則負(fù)慣性指為r–p.f的規(guī)范形為

慣性定理指出：兩個(gè)二次型是否等價(jià)，被其秩和正慣性指數(shù)唯一確定。推論6.11(慣性定理的矩陣語(yǔ)言描述)正、負(fù)慣性指數(shù)與實(shí)二次型的矩陣A的正、負(fù)特征值的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)相等.n階實(shí)對(duì)稱矩陣A合同于，其中r是A的秩，p是A的正特征值個(gè)數(shù)，r-p是A的負(fù)特征值個(gè)數(shù).（重根按重?cái)?shù)計(jì)）慣性定理指出：兩個(gè)二次型是否等價(jià)，被其秩和正慣性指數(shù)唯一確定.思考并回答(1)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形唯一嗎？(2)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與二次型的秩有何關(guān)系？與二次型矩陣的非零特征值的個(gè)數(shù)有何關(guān)系？(3)設(shè)CTAC=D(C可逆，D是對(duì)角陣)，D的對(duì)角元是A的特征值嗎？如果C是正交矩陣又如何？(4)設(shè)4階對(duì)稱矩陣A的特征值為0,2,2,-3,A的二次型的規(guī)范形是什么？思考：在可互化的二次型中最簡(jiǎn)單的是什么？在對(duì)稱矩陣合同等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣是什么？都有⒉正定二次型定義設(shè)為實(shí)二次型(A為實(shí)對(duì)稱矩陣),如果對(duì)于任意非零向量稱f為正定(半正定)二次型,稱正定(半正定)二次型f的矩陣A為正定(半正定)矩陣。二次型的對(duì)稱矩陣A是正定（半正定）矩陣。二次型正定（半正定）例1判別下列二次型的正定性故半正定.1.2.解1.任代入都有2.不定.例2

設(shè)取因?yàn)锳正定,則A

對(duì)應(yīng)二次型正定.為正定矩陣.證明證明代入注意A正定A正定當(dāng)設(shè)存在可逆變換證明可逆,充分性:使第個(gè)列向量)時(shí),時(shí)必要性:則取,使假設(shè)存在(第個(gè)分量是1,其余分量為0的單位向量),與f正定矛盾.(其中為可逆矩陣的定理

實(shí)二次型正定標(biāo)準(zhǔn)形中個(gè)系數(shù)全為正.性質(zhì)1（P178的主要意思）

實(shí)二次型正定標(biāo)準(zhǔn)形中n個(gè)系數(shù)全為正.實(shí)對(duì)稱矩陣A正定存在可逆矩陣P，使得性質(zhì)3A的n個(gè)特征值全為正.即A正定矩陣的充要條件是合同于單位矩陣化標(biāo)準(zhǔn)形化規(guī)范形正定二次型為證明為實(shí)對(duì)稱陣,則存在正交矩陣使必要性:則為可逆矩陣,令由于可逆,且充分性:任意則從而

如果n

維的二次型f(x)=xTAx

其標(biāo)準(zhǔn)形系數(shù)全為正(秩和正慣性指數(shù)都等于n)，則稱之為正定二次型，二次型的矩陣A稱為正定矩陣；如果標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)全為負(fù)，則稱之為負(fù)定二次型，二次型的矩陣稱為負(fù)定矩陣.定義6.13顯然，如果f

負(fù)定，則–f

正定.設(shè)f(x)是實(shí)二次型，若對(duì)任意非零向量x，(1)恒有f(x)≥0，則稱實(shí)二次型f(x)

是半正定的；(2)恒有f(x)≤0，則稱實(shí)二次型f(x)

是半負(fù)定的.定義6.13我們重點(diǎn)討論正定二次型(正定矩陣).定理(霍爾維茨定理)

對(duì)稱矩陣A為正定的充要條件是：A的各階主子式全為正，即總結(jié):

二次型f(x)=xTAx

為正定二次型(A為正定矩陣)與單位矩陣合同.判別二次型是否正定.它的各階順序主子式故上述二次型是正定的.例1f

的矩陣為解例2解判別二次型是否正定.二次型的矩陣為即知A是正定矩陣，故此二次型為正定二次型.求得其特征值判別二次型的正定性.例3解二次型的矩陣它的各階順序主子式A是負(fù)定矩陣，二次型是負(fù)定二次型?；蛘?，判別－Ａ為正定.例4與矩陣合同的矩陣是()A特征值是兩正一負(fù)。是正定二次型？解二次型的矩陣為A的順序主子式為：所以當(dāng)例5

問(wèn)t

滿足什么條件時(shí)，二次型A的順序主子式全大于0，此時(shí)f正定。例6設(shè)是正定矩陣,證明例7證明ATA為正定矩陣的充要條件是A為列滿秩矩陣.例8為A的最大特征值。證明：二次型f(x)=xTAx

在時(shí)的最大值思考題：1、(1)合同且相似；(2)合同但不相似；(3)不合同但相似；(4)不合同且不相似；例6.16設(shè)A為正定矩陣，證明證明因?yàn)锳為正定矩陣，所以A的特征值全大于零.設(shè)是A的所有特征值，則A+E的特征值為從而例6.17設(shè)A=(aij)是正定矩陣，證明aii>0(i=1,2,…,n).證明因?yàn)锳為正定矩陣，則對(duì)于任意n元實(shí)向量x≠0，有xTAx>0，特別地，取

這里