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應(yīng)力分析與應(yīng)變分析§1.1應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§1.2點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示§1.4應(yīng)力平衡微分方程§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.6點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)§1.7應(yīng)變?cè)隽俊?.8應(yīng)變速度張量§1.9主應(yīng)變圖與變形程度表示應(yīng)力分析與應(yīng)變分析§1.1應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)1§1.1
應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)外力(load)與內(nèi)力(internalforce)
外力P:施加在變形體上的外部載荷。
內(nèi)力Q:變形體抗衡外力機(jī)械作用的體現(xiàn)。
§1.1應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)2應(yīng)力(stress)應(yīng)力S是內(nèi)力的集度內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量應(yīng)力的單位:1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2
1MPa=106N/m2應(yīng)力是某點(diǎn)A的坐標(biāo)的函數(shù),即受力體內(nèi)不同點(diǎn)的應(yīng)力不同。應(yīng)力是某點(diǎn)A在坐標(biāo)系中的方向余弦的函數(shù),即同一點(diǎn)不同方位的截面上的應(yīng)力是不同的。應(yīng)力(stress)3應(yīng)力可以進(jìn)行分解Sn
n、n(n—normal,法向)
某截面(外法線方向?yàn)閚)上的應(yīng)力:
或者(求和約定的縮寫形式)
全應(yīng)力(stress)正應(yīng)力(normalsress)剪應(yīng)力(shearstress)應(yīng)力可以進(jìn)行分解Snn、n(n—norma4一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài):是指通過變形體內(nèi)某點(diǎn)的單元體所有截面上的應(yīng)力的有無(wú)、大小、方向等情況。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的描述:數(shù)值表達(dá):x=50MPa,xz=35MPa圖示表達(dá):在單元體的三個(gè)正交面上標(biāo)出(如圖1-2)
張量表達(dá):(i,j=x,y,z)
(對(duì)稱張量,9個(gè)分量,6個(gè)獨(dú)立分量。)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量5
應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標(biāo)面上應(yīng)力示意圖
應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標(biāo)面上應(yīng)力示意圖6應(yīng)力的分量表示及正負(fù)符號(hào)的規(guī)定ij
xx、xz……(便于計(jì)算機(jī)應(yīng)用)
i——應(yīng)力作用面的外法線方向(與應(yīng)力作用面的外法線方向平行的坐標(biāo)軸)j——應(yīng)力分量本身作用的方向當(dāng)i=j時(shí)為正應(yīng)力i、j同號(hào)為正(拉應(yīng)力),異號(hào)為負(fù)(壓應(yīng)力)當(dāng)i≠j時(shí)為剪應(yīng)力i、j同號(hào)為正,異號(hào)為負(fù)
應(yīng)力的分量表示及正負(fù)符號(hào)的規(guī)定7應(yīng)力的坐標(biāo)變換(例題講解)*
實(shí)際應(yīng)用:晶體取向、織構(gòu)分析等應(yīng)力莫爾圓**:
二維應(yīng)力莫爾圓與三維應(yīng)力莫爾圓掌握如何畫、如何分析(工程力學(xué)已學(xué),看書)應(yīng)力的坐標(biāo)變換(例題講解)*8§1.2點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力§1.2點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不9
§1.2.1
主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量
設(shè)想并證明主應(yīng)力平面(其上只有正應(yīng)力,剪應(yīng)力均為零)的存在,可得應(yīng)力特征方程:
§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量10應(yīng)力不變量式中應(yīng)力不變量式中11討論:
1.可以證明,在應(yīng)力空間,主應(yīng)力平面是存在的;2.三個(gè)主平面是相互正交的;3.三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根,不可能為虛根;4.應(yīng)力特征方程的解是唯一的;5.對(duì)于給定的應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力不變量也具有唯一性;6.應(yīng)力第一不變量I1反映變形體體積變形的劇烈程度,與塑性變形無(wú)關(guān);I3也與塑性變形無(wú)關(guān);I2與塑性變形無(wú)關(guān)。7.應(yīng)力不變量不隨坐標(biāo)而改變,是點(diǎn)的確定性的判據(jù)。
討論:
1.可以證明,在應(yīng)力空間,主應(yīng)力平面是存在的12主應(yīng)力的求解(略,見彭大暑《金屬塑性加工力學(xué)》教材)主應(yīng)力的圖示
主應(yīng)力的求解(略,見彭大暑《金屬塑性加工力學(xué)》教材)13§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力(principalshearstress):極值剪應(yīng)力(不為零)平面上作用的剪應(yīng)力。主應(yīng)力空間的{110}面族。最大剪應(yīng)力(maximunshearstress):
通常規(guī)定:則有最大剪應(yīng)力:或者:其中:且有:§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力通常規(guī)定:則有最大剪應(yīng)力:14§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力
即主應(yīng)力空間的{111}等傾面上的應(yīng)力。這組截面的方向余弦為:
正應(yīng)力剪應(yīng)力
總應(yīng)力八面體上的正應(yīng)力與塑性變形無(wú)關(guān),剪應(yīng)力與塑性變形有關(guān)。§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力15八面體應(yīng)力的求解思路:因?yàn)榘嗣骟w應(yīng)力的求解思路:因?yàn)?6等效應(yīng)力
討論:1.等效的實(shí)質(zhì)?是(彈性)應(yīng)變能等效(相當(dāng)于)。2.什么與什么等效?復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)(二維和三維)與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)(一維)等效3.如何等效?等效公式(注意:等效應(yīng)力是標(biāo)量,沒有作用面)。4.等效的意義?屈服的判別、變形能的計(jì)算、簡(jiǎn)化問題的分析等。等效應(yīng)力17§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示
(i,j=x,y,z)其中即平均應(yīng)力,為柯氏符號(hào)。
即
§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示18討論:
分解的依據(jù):靜水壓力實(shí)驗(yàn)證實(shí),靜水壓力不會(huì)引起變形體形狀的改變,只會(huì)引起體積改變,即對(duì)塑性條件無(wú)影響。為引起形狀改變的偏應(yīng)力張量(deviatoricstresstensor),為引起體積改變的球張量(sphericalstresstensor)(靜水壓力)。與應(yīng)力張量類似,偏應(yīng)力張量也存在相應(yīng)的不變量:
(體現(xiàn)變形體形狀改變的程度)討論:(體現(xiàn)變形體形狀改變的程度)19§1.4應(yīng)力平衡微分方程直角坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程*
即(不計(jì)體力)
物理意義:表示變形體內(nèi)無(wú)限相鄰兩質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。對(duì)彈性變形和塑性變形均適用?!?.4應(yīng)力平衡微分方程的關(guān)系。對(duì)彈性變形和塑性變形均適用20
推導(dǎo)原理:靜力平衡條件:
靜力矩平衡條件:泰勒級(jí)數(shù)展開:
推導(dǎo)原理:21圓柱坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程
球坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程?
圓柱坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程22§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.5.1幾何方程§1.5.2變形連續(xù)方程§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.5.1幾何方程23
§1.5.1
幾何方程
§1.5.1幾何方程24討論:1.物理意義:表示位移(displacement)與應(yīng)變(strain)之間的關(guān)系;2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移(產(chǎn)生應(yīng)變)和變形體的剛性位移(平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng));3.工程剪應(yīng)變理論剪應(yīng)變:
討論:254.應(yīng)變符號(hào)規(guī)定:正應(yīng)變或線應(yīng)變():伸長(zhǎng)為正,縮短為負(fù);剪應(yīng)變或切應(yīng)變():夾角減小為正,增大為負(fù);5.推導(dǎo)中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級(jí)數(shù)展開等。4.應(yīng)變符號(hào)規(guī)定:26§1.5.2變形連續(xù)方程§1.5.2變形連續(xù)方程27討論:
1.物理意義:表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂,不堆積;2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明:同一平面上的三個(gè)應(yīng)變分量中有兩個(gè)確定,則第三個(gè)也就能確定;在三維空間內(nèi)三個(gè)切應(yīng)變分量如果確定,則正應(yīng)變分量也就可以確定;3.如果已知位移分量,則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程;若是按其它方法求得的應(yīng)變分量,則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。討論:28§1.6
點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)
指圍繞該點(diǎn)截取的無(wú)限小單元體的各棱長(zhǎng)及棱間夾角的變化情況??杀硎緸閺埩啃问剑?/p>
應(yīng)變張量(straintensor)也可進(jìn)行與應(yīng)力張量類似的分析。(i,j=x,y,z)§1.6點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)(i,j=x,y,z)29§1.7應(yīng)變?cè)隽?/p>
全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念前面所討論的應(yīng)變是反映單元體在某一變形過程終了時(shí)的變形大小,稱作全量應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變張量§1.7應(yīng)變?cè)隽?/p>
全量應(yīng)變與增量應(yīng)變的概念30§1.8應(yīng)變速度張量設(shè)某一瞬間起dt時(shí)間內(nèi),產(chǎn)生位移增量dUi,則應(yīng)有dUi=Vidt。其中Vi為相應(yīng)位移速度。代入增量應(yīng)變張量,有:令即為應(yīng)變速率張量§1.8應(yīng)變速度張量設(shè)某一瞬間起dt時(shí)間內(nèi),產(chǎn)生位移31§1.9主應(yīng)變圖與變形程度表示主變形圖是定性判斷塑性變形類型的圖示方法。主變形圖只可能有三種形式§1.9主應(yīng)變圖與變形程度表示主變形圖是定性判斷塑性變形類32主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示:主應(yīng)力—9種;主應(yīng)變—3種[但只有23種可能的應(yīng)力應(yīng)變組合(塑性變形力學(xué)圖),為什么?]主應(yīng)力、主應(yīng)變圖示:33變形程度表示絕對(duì)變形量——指工件變形前后主軸方向上尺寸的變化量相對(duì)變形——指絕對(duì)變形量與原始尺寸的比值,常稱為形變率真實(shí)變形量——即變形前后尺寸比值的自然對(duì)數(shù)變形程度表示絕對(duì)變形量34應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性相似性:張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似
應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性35
差異性:概念:應(yīng)力研究面元ds上力的集度應(yīng)變研究線元dl的變化情況內(nèi)部關(guān)系:應(yīng)力—應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)變—應(yīng)變連續(xù)(協(xié)調(diào))方程彈性變形:相容方程塑性變形:體積不變條件
差異性:36等效關(guān)系:等效應(yīng)力—彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同等效應(yīng)變—彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同對(duì)于彈性變形:(——泊松比)對(duì)于塑性變形:等效關(guān)系:37應(yīng)力分析與應(yīng)變分析§1.1應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)§1.2點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示§1.4應(yīng)力平衡微分方程§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.6點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)§1.7應(yīng)變?cè)隽俊?.8應(yīng)變速度張量§1.9主應(yīng)變圖與變形程度表示應(yīng)力分析與應(yīng)變分析§1.1應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)38§1.1
應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)外力(load)與內(nèi)力(internalforce)
外力P:施加在變形體上的外部載荷。
內(nèi)力Q:變形體抗衡外力機(jī)械作用的體現(xiàn)。
§1.1應(yīng)力與點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)39應(yīng)力(stress)應(yīng)力S是內(nèi)力的集度內(nèi)力和應(yīng)力均為矢量應(yīng)力的單位:1Pa=1N/m2=1.0197kgf/mm2
1MPa=106N/m2應(yīng)力是某點(diǎn)A的坐標(biāo)的函數(shù),即受力體內(nèi)不同點(diǎn)的應(yīng)力不同。應(yīng)力是某點(diǎn)A在坐標(biāo)系中的方向余弦的函數(shù),即同一點(diǎn)不同方位的截面上的應(yīng)力是不同的。應(yīng)力(stress)40應(yīng)力可以進(jìn)行分解Sn
n、n(n—normal,法向)
某截面(外法線方向?yàn)閚)上的應(yīng)力:
或者(求和約定的縮寫形式)
全應(yīng)力(stress)正應(yīng)力(normalsress)剪應(yīng)力(shearstress)應(yīng)力可以進(jìn)行分解Snn、n(n—norma41一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài):是指通過變形體內(nèi)某點(diǎn)的單元體所有截面上的應(yīng)力的有無(wú)、大小、方向等情況。一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的描述:數(shù)值表達(dá):x=50MPa,xz=35MPa圖示表達(dá):在單元體的三個(gè)正交面上標(biāo)出(如圖1-2)
張量表達(dá):(i,j=x,y,z)
(對(duì)稱張量,9個(gè)分量,6個(gè)獨(dú)立分量。)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量42
應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標(biāo)面上應(yīng)力示意圖
應(yīng)力分量圖示圖1-2平行于坐標(biāo)面上應(yīng)力示意圖43應(yīng)力的分量表示及正負(fù)符號(hào)的規(guī)定ij
xx、xz……(便于計(jì)算機(jī)應(yīng)用)
i——應(yīng)力作用面的外法線方向(與應(yīng)力作用面的外法線方向平行的坐標(biāo)軸)j——應(yīng)力分量本身作用的方向當(dāng)i=j時(shí)為正應(yīng)力i、j同號(hào)為正(拉應(yīng)力),異號(hào)為負(fù)(壓應(yīng)力)當(dāng)i≠j時(shí)為剪應(yīng)力i、j同號(hào)為正,異號(hào)為負(fù)
應(yīng)力的分量表示及正負(fù)符號(hào)的規(guī)定44應(yīng)力的坐標(biāo)變換(例題講解)*
實(shí)際應(yīng)用:晶體取向、織構(gòu)分析等應(yīng)力莫爾圓**:
二維應(yīng)力莫爾圓與三維應(yīng)力莫爾圓掌握如何畫、如何分析(工程力學(xué)已學(xué),看書)應(yīng)力的坐標(biāo)變換(例題講解)*45§1.2點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力§1.2點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)分析§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不46
§1.2.1
主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量
設(shè)想并證明主應(yīng)力平面(其上只有正應(yīng)力,剪應(yīng)力均為零)的存在,可得應(yīng)力特征方程:
§1.2.1主應(yīng)力及應(yīng)力張量不變量47應(yīng)力不變量式中應(yīng)力不變量式中48討論:
1.可以證明,在應(yīng)力空間,主應(yīng)力平面是存在的;2.三個(gè)主平面是相互正交的;3.三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)根,不可能為虛根;4.應(yīng)力特征方程的解是唯一的;5.對(duì)于給定的應(yīng)力狀態(tài),應(yīng)力不變量也具有唯一性;6.應(yīng)力第一不變量I1反映變形體體積變形的劇烈程度,與塑性變形無(wú)關(guān);I3也與塑性變形無(wú)關(guān);I2與塑性變形無(wú)關(guān)。7.應(yīng)力不變量不隨坐標(biāo)而改變,是點(diǎn)的確定性的判據(jù)。
討論:
1.可以證明,在應(yīng)力空間,主應(yīng)力平面是存在的49主應(yīng)力的求解(略,見彭大暑《金屬塑性加工力學(xué)》教材)主應(yīng)力的圖示
主應(yīng)力的求解(略,見彭大暑《金屬塑性加工力學(xué)》教材)50§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力(principalshearstress):極值剪應(yīng)力(不為零)平面上作用的剪應(yīng)力。主應(yīng)力空間的{110}面族。最大剪應(yīng)力(maximunshearstress):
通常規(guī)定:則有最大剪應(yīng)力:或者:其中:且有:§1.2.2主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力通常規(guī)定:則有最大剪應(yīng)力:51§1.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力
即主應(yīng)力空間的{111}等傾面上的應(yīng)力。這組截面的方向余弦為:
正應(yīng)力剪應(yīng)力
總應(yīng)力八面體上的正應(yīng)力與塑性變形無(wú)關(guān),剪應(yīng)力與塑性變形有關(guān)?!?.2.3八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力52八面體應(yīng)力的求解思路:因?yàn)榘嗣骟w應(yīng)力的求解思路:因?yàn)?3等效應(yīng)力
討論:1.等效的實(shí)質(zhì)?是(彈性)應(yīng)變能等效(相當(dāng)于)。2.什么與什么等效?復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)(二維和三維)與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)(一維)等效3.如何等效?等效公式(注意:等效應(yīng)力是標(biāo)量,沒有作用面)。4.等效的意義?屈服的判別、變形能的計(jì)算、簡(jiǎn)化問題的分析等。等效應(yīng)力54§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示
(i,j=x,y,z)其中即平均應(yīng)力,為柯氏符號(hào)。
即
§1.3應(yīng)力張量的分解與幾何表示55討論:
分解的依據(jù):靜水壓力實(shí)驗(yàn)證實(shí),靜水壓力不會(huì)引起變形體形狀的改變,只會(huì)引起體積改變,即對(duì)塑性條件無(wú)影響。為引起形狀改變的偏應(yīng)力張量(deviatoricstresstensor),為引起體積改變的球張量(sphericalstresstensor)(靜水壓力)。與應(yīng)力張量類似,偏應(yīng)力張量也存在相應(yīng)的不變量:
(體現(xiàn)變形體形狀改變的程度)討論:(體現(xiàn)變形體形狀改變的程度)56§1.4應(yīng)力平衡微分方程直角坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程*
即(不計(jì)體力)
物理意義:表示變形體內(nèi)無(wú)限相鄰兩質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。對(duì)彈性變形和塑性變形均適用。§1.4應(yīng)力平衡微分方程的關(guān)系。對(duì)彈性變形和塑性變形均適用57
推導(dǎo)原理:靜力平衡條件:
靜力矩平衡條件:泰勒級(jí)數(shù)展開:
推導(dǎo)原理:58圓柱坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程
球坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程?
圓柱坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程59§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.5.1幾何方程§1.5.2變形連續(xù)方程§1.5應(yīng)變與位移關(guān)系方程§1.5.1幾何方程60
§1.5.1
幾何方程
§1.5.1幾何方程61討論:1.物理意義:表示位移(displacement)與應(yīng)變(strain)之間的關(guān)系;2.位移包含變形體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位移(產(chǎn)生應(yīng)變)和變形體的剛性位移(平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng));3.工程剪應(yīng)變理論剪應(yīng)變:
討論:624.應(yīng)變符號(hào)規(guī)定:正應(yīng)變或線應(yīng)變():伸長(zhǎng)為正,縮短為負(fù);剪應(yīng)變或切應(yīng)變():夾角減小為正,增大為負(fù);5.推導(dǎo)中應(yīng)用到小變形假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)及泰勒級(jí)數(shù)展開等。4.應(yīng)變符號(hào)規(guī)定:63§1.5.2變形連續(xù)方程§1.5.2變形連續(xù)方程64討論:
1.物理意義:表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂,不堆積;2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明:同一平面上的三個(gè)應(yīng)變分量中有兩個(gè)確定,則第三個(gè)也就能確定;在三維空間內(nèi)三個(gè)切應(yīng)變分量如果確定,則正應(yīng)變分量也就可以確定;3.如果已知位移分量,則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程;若是按其它方法求得的應(yīng)變分量,則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。討論:65§1.6
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