隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布

一、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性二、離散型隨機(jī)變量的條件分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布四、小結(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!一、隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念.兩隨機(jī)變量獨(dú)立的定義是：隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!

兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有

則稱X,Y相互獨(dú)立.1.定義2.6隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.

它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.由于隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!證:因?yàn)閄與Y獨(dú)立,故X與Y獨(dú)立證畢隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!解例1隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!特別有又(2)因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以有隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!例3,證明X與Y相互獨(dú)立的充要條件是:證由上節(jié)知隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!二、離散型隨機(jī)變量的條件分布

定義隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!其中為X=x的條件下Y的條件分布密度.隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!例2設(shè)（X,Y）在橢圓上服從均勻分布，求條件分布密度函數(shù)

.解由題設(shè)知隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!例3解:由前面的例子得隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!解例4當(dāng)x≤0時(shí)當(dāng)0<x<1時(shí)當(dāng)x≥1時(shí)隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!條件分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!解例1備份題隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!于是(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度為隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!解求Y=1時(shí)X的條件分布.例2

已知分布律隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!因此,在Y=1的條件下X的分布律為隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!正確解法為隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!例4

一負(fù)責(zé)人到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在8~12時(shí),他的秘書(shū)到達(dá)辦公室的時(shí)間均勻分布在7~9時(shí),設(shè)他們兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立,求他們到達(dá)辦公室的時(shí)間相差不超過(guò)5分鐘的概率.

解隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!解由于X與Y相互獨(dú)立,例3隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,解所以于是求隨機(jī)變量(X,Y)的分布律.例4設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!于是隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!又知邊緣概率密度為隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!其中是X,Y的聯(lián)合密度，成立，則X,Y相互獨(dú)立.若對(duì)任意的x,y,有定理若(X,Y)是連續(xù)型r.v,則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：分別是X和Y的邊緣密度.隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!定理若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則X和Y相互獨(dú)立.對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi,yj),有證明略隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!(1)由分布律的性質(zhì)知隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!

例2設(shè)(X,Y)的概率密度為問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？

對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立解：隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!顯然有故X與Y相互獨(dú)立.隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!解由分布律的表格可得隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!定義三、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!說(shuō)明聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布的關(guān)系如下聯(lián)合分布邊緣分布條件分布聯(lián)合分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!

其它其它上式說(shuō)明在X=x的條件下,Y服從上的均勻分布.(其中|x|≤a)隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁(yè)!同理說(shuō)明:二維正態(tài)分布的條件分布是一維正態(tài)分布.隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁(yè)!X服從(0,1)區(qū)間上的均勻分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁(yè)!四、小結(jié)1.若離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁(yè)!隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁(yè)!隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁(yè)!隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁(yè)!隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁(yè)!解不存在.例3

隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁(yè)!于是隨機(jī)變量的獨(dú)立性,條件分布共51頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁(yè)!隨機(jī)變量