2019年高考數(shù)學試卷（文科）（新課標2）答案解析

絕窘★啟用前2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學本試卷共5頁。考蠅束后，將本試卷和答題卡一并交回1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條物蟠解胡林考生信息條形拗槌區(qū)。2-選擇^海頁使用2B鉛筆填涂；非選擇I蚯須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清.篇按照題號瞋序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草融、試卷上答題無效。.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知集合4=0|入>-1),5=(x|x<2),則4nB=B(-~,2B(-~,2)D.0C(-l,2)【答案】C【解析】【分析】本題借助于數(shù)軸，根據(jù)交集的定義可得.【詳解】由題知，⑷=(-1,2),故選C.【點睛】本題主要考查交集運算，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.易錯點是理解集合的概念及交集概念有誤，不能借助數(shù)軸解題.2設K2+D,則牙=A.l+2i B.-l+2iC.l-2i D.-l-2i【答案】D【解析】【分析】本題根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則先求得z,然后根據(jù)共筑復數(shù)的概念，寫出【詳解】z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以z=-l-2i,選D.

【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算及共瓶復數(shù)，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.理解概念，準確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤.3.已知向量a=(2,3)j=(X2),則力卜A.42 B.2C.572 D.50【答案】A【解析】【分析】本題先計算)4,再根據(jù)模的概念求出I、【詳解】由已知，a-i=(2,3)-(3,2)=(-1.1),所以Ia-b\=J(-1)，+F=-J2>故選A【點睛】本題主要考查平面向量模長的計算，容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.由于對平面向量的坐標運算存在理解錯誤，從而導致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯.4生物實蛤室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測蚩過該指標的概率為TOC\o"1-5"\h\z3A. — B.一51C. ~ D,一5 5【答案】B【解析】【分析】本題苜先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應用古裝概率的計算公式求解.【詳解】設其中做過測試的3只兔子為a,b,c,剩余的:!只為AB,則從這5只中任取3只的所有取法有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,^,(a,c,B),(a,A,B),{瓦c,/,{瓦c,B),(b,43),{c,A8)共10種.其中恰有2只做過測試的取法有⑷瓦司,4瓦8},{46幺］，3,6功，9。川,儂3,為共6種，所以恰有2只做過測試的概率為親=|,選B.【點睛】本題主要考查古典概率的求解，題目校易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.應用列舉法

寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復，將兔子標注字母，利用“樹圖法”，可最大限度的避免出錯.5在“一帶一路”知識測蛤后，甲、乙、丙三人對成績進行預測.甲：我的成績比乙高.乙：丙的成績比我和甲的都高.丙：我的成績比乙高.成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人頸測正確，那么三人按成績由高到低的次序為A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【答案】A【解析】【分析】利用逐一蛉證的方法進行求解【詳解】若甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙頊測正確，不符合題意，故選A.【點睛】本題將數(shù)學知識與時政結合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎知識、邏輯推理能力的考查.6設外小奇函數(shù)，目當於0時，］r)=e*-l,則當*0時，心尸A.e--l B.e-+lC.7-1 D.-e-+l【答案】D【解析】【分析】先把x<0,轉化為式>。代入可得」(-x),結合奇偶性可得了(".【詳解】Q/(x)是奇函數(shù)，xNO時，/(x)=e*—1.當x<0時，一x>0,/⑸―尸+1,得/(x)=-eT+l.故選D.【點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性和解析式，滲透了數(shù)學抽象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取代換法，利用轉化與化歸的思想解題.7設a,夕為兩個平面，則a〃夕的充要條件是a內有無數(shù)條直線與夕平行a內有兩條相交直線與0平行o.,P平行于同一條直線a,夕垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本題考查了空間兩個平面的判定與性質及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知：）內兩條相交直線都與尸平行是威〃聲的充分條件，由面面平行性質定理知，若感則a內任意一條直線都與月平行，所以）內兩條相交直線都與「平行是魔〃夕的必要條件，故選B.【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯誤為定理記不住，憑主觀腌斷，如:“若auaau#,a/小，則a!1/3”此類的錯誤.TOC\o"1-5"\h\z兀 3兀s若X尸彳，心=37是函數(shù)乂1尸$1110^（。>0）兩個相鄰的極值點，則0=4 43A.2 B.-2c.1 D.—2【答案】A【解析】【分析】從極值點、可得函數(shù)的周期，結合周期公式可得?！驹斀狻坑深}意知，/（x）=sinox的周期7=列=2（=一分=兀，得。=2.故選A.CD4 4【點睛】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取公式法，利用方程思想解題.9若拋物線尸=2"5>0）的焦點是橢圓工+廣=1的一個焦點，貝"=3PPA.2 B.3C.4 D.8【答案】D

【解析】【分析】利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關于戶的方程，即可解出尸，或者利用檢蛤排除的方法，如夕=2時，拋物線焦點為3,0）,橢圓焦點為（士2,0）,排除A,同樣可排除B,C,故選D.2 2【詳解】因為拋物線1y2=2/（p>0）的焦點邑0）是橢圓乙+匕=1的一個焦點，所以3p—p=（5，2 3Pp 2解得P=8,故選D.【點睛】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng).10曲線,Zsm+cosc在點<”，1處的切線方程為A.x—y—7t-1=0 b.2x—y—2Tt—1=0C2x+y-27t+l=0 d.x+^-Jt+l=0【答案】C【解析】【分析】先判定點（兀-1）是否為切點，再利用導數(shù)的幾何意義求解【詳解】當x=*時，y=2sin7i4-cos7i=-l,即點（兀-1）在曲線y=2sinx+cosx上.Qy'=2cosx-sinx,.. =2cos*一sm4=-2,則y=2sinx+cosx在點（兀T）處的切線方程為j7-（―1）=-2（x—7t）,艮[]2x+y—2兀+1=0.故選C.【點睛】本題考查利用導數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取導數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題.學生易在非切點處直接求導數(shù)而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導數(shù)求解；若不是切點，設出切點，再求導，然后列出切線方程.7111已知&e（0,萬），2sin2cr=cos2cH-l,則sino=A1 B有A-5 BlTCd D.更3 5【答案】B【解析】【分析】

利用二倍角公式得到正余弦關系，利用角范圍及正余弦平方和為1關系得出答案.【詳解】Q2sin2a=cos2a+1,4sinacosa=2cos2a.Q cosa>0.sina>0,2sina=cosa,又sin2(r+cos?cr=l,：5sin2a=l,sin?a=弓，又sin<x>0,sma=—>故選B.5【點睛】本題為三角函數(shù)中二倍角公式、同角三角函數(shù)基本關系式的考查，中等難度，判斷正余弦正負，運算準確性是關鍵，題目不難，需細心，解決三角函數(shù)問題，研究角的范圍后得出三角函數(shù)值的正負，很關鍵，切記不能憑感覺.12.設9為雙曲線C：￡?-[=1(a>0,d>0)的右焦點，。為坐標原點，以。尸為直徑的圓與圓爐ab交于R。兩點.若尸。1=1。用，則C的離心率為A.72 B.病C.2 D.>/5【答案】A【解析】【分析】準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關系，可求雙曲線的離心率.【詳解】設尸。與x軸交于點工，由對稱性可知產。"Lx軸，又Q\PQ\=\OF\=c,.-.|A4|=|,..取為以。尸為直徑的圓的半徑，力為圓心|OA\=..鳴9,又F點在圓/+?/=/上，2 2 2 2；.1a2,即一=a2,：.e2=—*-=2.4 4 2 ae=y/2>故選A.

【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，畝題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.2x+3y-6>0,13若變蚩v,y滿足約束條件,x+y-3W0,則二=3、刁，的最大值是 2<0,【答案】9.r解析】【分析】作出可行域，平移》-y=0找到目標函數(shù)取到最大值的點，求出點的坐標，代入目標函數(shù)可得【詳解】畫出不等式組表示的可行域，如圖所示，陰影部分表示的三角形ABC區(qū)域，根據(jù)直線3x-y-z=o中的z表示縱截距的相反數(shù)，當直線z=3x-y過點。3,0）時，z取最大值為9.【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最大值問題，滲透了直觀想象'邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取圖解法，利用數(shù)形結合思想解題.搞不清楚線性目標函數(shù)的幾何意義致誤，從線性目標函數(shù)對應直線的截距觀察可行域，平移直線進行判斷取最大值還是最小值.14我國高鐵發(fā)展迅速，技術先進.經統(tǒng)計，在經停某站的高鐵列車中，有1。個車次的正點率為097,有20個車次的正點率為098,有10個車次的正點率為0.99,則經停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為.【答案】0.98【解析】【分析】本題考查通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計，采取估算法，利用概率思想解題.【詳解】由題意得，經停該高鐵站的列車正點數(shù)約為10x0.97+20x0.98+10x0.99=39.2,其中高鐵個392數(shù)為10+20+10=40,所以該站所有高鐵平均正點率約為 0.98.40【點睛】本題考點為概率統(tǒng)計，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學運算素養(yǎng).側重統(tǒng)計數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大.易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估算出正點列車數(shù)蚩與列車總數(shù)的比值.15\448C的內角4B,C的對邊分別為a,b,c已知bsuvl+acosB=0,貝3?！敬鸢浮?【解析】【分析】先根據(jù)正弦定理把邊化為角，結合角的范圍可得【詳解】由正弦定理，得sinBsinj+sinj4cos8=0.Qe(0,k),5€(0,tt),sin/wO,得c3ti,sin5+cos5=0,即tan3=-l,：.B=—.故選D.4【點睛】本題考查利用正弦定理轉化三角恒等式，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取定理法，利用轉化與化歸思想解題.忽視三角形內角的范圍致誤，三角形內角均在(。，田范圍內，化邊為角，結合三角函數(shù)的恒等變化求角..中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是半正多面體”(圖1〉半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，目此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有 個面，其棱長為.圖1 圖2【答案】 （1）共？6個面 ⑶棱長為應-r【解析】【分析】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡單還原出物體位置，利用對稱性，平面幾何解;夬.【詳解】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有18+8=26個面.如圖，設該半正多面體的棱長為x,則/=HE=x，延長3C與履交于點G,延長8C交正方體棱于H，由半正多面體對稱性可知，A8GE為等腰直角三角形，萬 /?..BG=GE=CH=^-x,5=2x券x+x=（近+l）x=l,x=-j=-^=J2-1,即該半正多面體棱長為《-1.H【點睛】本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關鍵，遇到新題別慌亂，題目其實很簡單,穩(wěn)中求勝是關鍵.立體幾何平面化，無論多難都不怕，強大空間想象能力，快速還原圖形.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題,每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分。.如圖，長方體力8。-小8?2的底面而CD是正方形，點E在棱441上，BE工EC\(1)證明：BE一平面EBxCd(2)若AE=AXE,月及3,求四棱錐E-BBXCXC的體積.【答案】(1)見詳解；(2)18【解析】【分析】(1)先由長方體得，4GJ■平面AA^B,得到_LBE,再由BE±ECX，根據(jù)線面垂直的判定定理,即可證明結論成立，<2)先設長方體側棱長為2a,根據(jù)題中條件求出a=3：再取3用中點尸，連結即，證明￡F_L平面根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結果【詳解】(I)因為在長方體498-4454中，4G_L平面44逐也；BEc平面AA.B.B,所以B5±BE,又BE上ECX,BGcECi=Ci，且EC\u平面EB。,4clu平面EBg、,所以3￡J_平面￡用。1，<2)設長方體側棱長為2a,則依==a,由(1〉可得EBX±BE;所以EB：+BE2=BB：,即2BE2=BB：,又花=3,所以24工+2力爐=5環(huán)，即2a2+18=41,解得a=3；取8片中點尸，連結即，因為絲=,則EFHABj所以￡F_L平面SB。。，所以四棱錐E~BB&C的體積為—a=工3°即=；BC.竭所=；x3x6x3=18.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定，依據(jù)四棱錐的體積，熟記線面垂直的判定定理，以及四棱錐的體積公式即可，屬于基礎題型18已知SJ是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，/=2,%=物+16.<1)求SJ的通項公式；<2)設4=1嗚4,求數(shù)列｛瓦｝的前n項和.【答案】(1)4= (2)W【解析】【分析】(1瘁題苜先可以根據(jù)數(shù)列｛/｝是等比數(shù)列將小轉化為，/，町轉化為，再然后將其帶入的=2a?+16中，并根據(jù)數(shù)列｛&｝是各項均為正數(shù)以及為=2即可通過運算得出結果；(2)本題可以通過數(shù)列｛%｝的通項公式以及對數(shù)的相關性質計算出數(shù)列｛4｝的通項公式，再通過數(shù)列｛4｝的通項公式得知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，最后通過等差數(shù)列求和公式即可得出結果.【詳解】(1)因為數(shù)列｛勺｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，0=2a2+16,為=2,所以令數(shù)列｛%｝的公比為q,。3=%『=2,,%= =2g,所以2g、4g+16,解得4=-2(舍去威4,所以數(shù)列｛%｝是首項為2、公比為4的等比數(shù)列，4=2x41=22*7.3因為4=1%2%,所以&=2%-1,4+1=2?+1,4+1 =2,所以數(shù)列｛4｝是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，￡=號ix?=?2.【點睛】本題考查數(shù)列的相關性質，主要考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等差數(shù)列求和公式的使用，考查化歸與轉化思想，考查計算能力，是簡單題.19某行業(yè)主管部門為了解本行業(yè)中小企業(yè)的生產情況，隨機調查了100個企業(yè)，得到這些企業(yè)第一季度相對于前一年第一季度產值增長率的頻數(shù)分布表y的分組[-0,20,0)[0,0.20)[0,20,0.40)[0,40,0.60)[0.60,0.80)企業(yè)數(shù)2453147(1)分別估計這類企業(yè)中產值增長率不低于40%的企業(yè)比例、產值負熠長的企業(yè)比例；(2)求這類企業(yè)產值增長率的平均數(shù)與標準差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).(精確到001)附：8.602.【答案】⑴增長率超過40%的企業(yè)比例為荒，產值負增長的企業(yè)比例為備=*;(2)平均數(shù)0.3；標準差0.17.【解析】【分析】(1瘁題首先可以通過題意確定100個企業(yè)中增長率超過40%的企業(yè)以及產值負增長的企業(yè)的個數(shù)，然后通過增長率超過40%的企業(yè)以及產值負增長的企業(yè)的個數(shù)除隨機調查的企業(yè)總數(shù)即可得出結果；(2)可通過平均值以及標準差的計算公式得出結果.【詳解】(1)由題意可知，隨機調查的100個企業(yè)中增長率超過40%的企業(yè)有14+7=21個，產值負增長的企業(yè)有2個，所以增長率超過40%的企業(yè)比例為番,產值負增長的企業(yè)比例為備=*.C)由題意可知，平均值還比薩=0.3,標準差的平方：s'=由2x(-0.1-0.3)2+24x(0.1-0.3)2+53x(0.3-0.3)a+14x(0.5-0.3)2+7x(0.7-0.3)3=^[0,32+0.96+0.56+1.121=0,0296,所以標準差s=JO.0296=j0.0004x74^0.02x8.602日0.17.【點睛】本題考查平均值以及標準差的計算，主要考查平均值以及標準差的計算公式，考查學生從信息題中獲取所需信息的能力，考查學生的計算能力，是簡單題.20已知巴，鳥是橢圓C:=+4=13 >0)的兩個焦點，尸為C上一點，。為坐標原點.ab(1)若VF。鳥為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點P,使得尸片，尸瑪，目△鳥咫的面積等于16,求b的值和a的取值范圍【答案】(1)e=0-1；<2)3=4,a的取值范圍為[4",48).【解析】【分析】(1)先連結理，由VF?，敒榈冗吶切?，得到NK咫=90°,|E三卜c,|產司=任；再由橢圓定義，即可求出結果；(2)先由題意得到，滿足條件的點尸(xj)存在，當且僅當2c=16,上.上=-1,4+4=12 x+cx-cab，根據(jù)三個式子聯(lián)立，結合題中條件，即可求出結果【詳解】(1)連結即，由v尸?，敒榈冗吶切慰芍涸赼FE瑪中，/月咫=90。，歸瑪卜C,幽|=夜，于是2a=|尸網|+盧尸z|=c+y/3c,C2r~故橢圓C的離心率為。=[=]+小=;<2)由題意可知，滿足條件的點尸(xj)存在，當且僅當2c=16,上.上=-1,4+4=12r1 x+cx-cab即c|M=16①x2^y2=c2②由②(③以及/=/+/得=[,又由(誄叮2=/~,故3=4；C C由②③得x"=。（/一合2）,所以1N/,從而/=/+12262=32,故a之4及;c當8=4,a24班時，存在滿足條件的點尸故B=4,。的取值范圍為［40；*□).【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質即可求解，考查計算能力，屬于中檔試題21已知函數(shù)/")="-1)111天一工-1證明：(1)存在唯一的極值點；(2)/3)=0有且僅有兩個實根，且兩個實根互為倒數(shù).【答案】(1)見詳解；(2)見詳解【解析】【分析】(1)先對函數(shù)/C)求導，根據(jù)導函數(shù)的單調性,得到存在唯一％,使得/'(%)=0,進而可得判斷函數(shù)/C)的單調性，即可確定其極值點個數(shù)，證明出結論成立；⑴先由(1)的結果，得到〃而)</⑴=-2<0,/，)=,2_3>0,得到“X)=0在即例)內存在唯一實根，記作x=〃，再求出/(1)=0,即可結合題意，說明結論成立.

a【詳解】(1)由題意可得，Ax)的定義域為(0,9),由J(x)=(x_l)lnx_x_l,r—1 1得=lnx4- -l=lnx--,x x顯然/'(力=由工一1單調遞增；X1in4-l又八1)=一1<0,/，(2)=ln2-i=^y-!->0,故存在唯一",使得了'(%)=0;又當x>x0時，八％)>0,函數(shù)/W單調遞熠；當0<x<x0時，/U)<0,函數(shù)/W單調遞減；因此，/(x)存在唯一的極值點；(2)由(1)知，/(x0)</(l)=-2,又/何)=/-3>0,所以/。)=0在(與,48)內存在唯一實根，記作X=).1由1<5<感得一<1<5,a□ 1、/1八，II1/⑷A又f(—)=(——I)In————I=----=0,a aaaa故-是方程/(x)=0在(0,X。)內的唯一實根；(X綜上，/(力=0有且僅有兩個實根，目兩個實根互為倒數(shù)【點睛】本題主要考查導數(shù)的應用，通常需要對函數(shù)求導，用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調性、極值、以及函數(shù)零點的問題，屬于?？碱}型(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題申任選博作答。如果多做，則按所做的第—^論.22.在極坐標系中,O為極點，點M樞用?>0)在曲線C:。=4sin6上，直線/過點4(4,0)且與。M垂直，垂足為PTT(1)當穌=］時，求自及/的極坐標方程：(2)當“在。上運動且P在線段皈上時，求P點軌跡的極坐標方程.【答案】(1)忌=2的，7的極坐標方程為Qsin(d+g)=2；(2)p=4cos&^<0<^)6 4 2【解析】【分析】JT(1)先由題意，將品=7代入Q=4s^e即可求出忌；根據(jù)題意求出直線/的直角坐標方程，再化為極坐標方程即可；<2