正余弦定理講義

正余弦定理講義正余弦定理講義正余弦定理講義正余弦定理講義編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:培優(yōu)教育一對(duì)一輔導(dǎo)講義科目：＿數(shù)＿＿年級(jí)：＿＿高一＿＿姓名：＿＿＿＿教師：＿＿＿＿時(shí)間：＿＿＿＿課題正弦定理、余弦定理授課時(shí)間：備課時(shí)間：教學(xué)目標(biāo)1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題2、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題3、會(huì)運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明與解決有關(guān)實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函數(shù)的最值，會(huì)由已知三件函數(shù)值求角重點(diǎn)、難點(diǎn)1、三角函數(shù)值域及最值的求法2、三角函數(shù)與向量、函數(shù)、不等式的綜合問題及生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題考點(diǎn)及考試要求高考對(duì)正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化。三角形形狀的判斷、三角形內(nèi)角的三角函數(shù)求值及三角恒等式的證明、立體幾何中的空間角及解析幾何中有關(guān)角等問題。今后的命題中仍會(huì)以正余弦定理為框架，以三角形為主要依托，來綜合考查三角形知識(shí)，題型一般是選擇題和填空題，也有可能是中檔難度的解答題，關(guān)注利用正余弦定理解決實(shí)際問題三角函數(shù)的綜合應(yīng)用在高考中地位顯著，可以綜合考查對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的掌握情況。分析近幾年高考，主要有以下幾種類型：1、可轉(zhuǎn)化為的形式，然后研究性質(zhì)2、可轉(zhuǎn)化為的形式，然后借助于二次函數(shù)求閉區(qū)間上的最值3、與向量、三角形知識(shí)結(jié)合的綜合題4、用三角函數(shù)知識(shí)解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題教學(xué)內(nèi)容探究一：在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對(duì)角的正弦的關(guān)系嗎直角三角形中的正弦定理：sinA=sinB=sinC=1即c=.探究二：能否推廣到斜三角形（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有,則.同理，（思考如何作高），從而.探究三：你能用其他方法證明嗎1.證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中S△ABC=.兩邊同除以即得：==.2．證明二：（外接圓法）如圖所示，∠A＝∠D，∴，同理=2R，＝2R.3．證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于，由+=邊同乘以單位向量得…..正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即=2R[理解定理]1公式的變形：2.正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,經(jīng)常用到:①②③三、教學(xué)例題：例1已知在.分析已知條件→討論如何利用邊角關(guān)系→示范格式→小結(jié)：已知兩角一邊解：例2解：例3在課后作業(yè)1在△ABC中，,則k為()A2RBRC4RD(R為△ABC外接圓半徑)2在中，已知角，則角A的值是()A.B.C.D.或3、在△ABC中,4、在中，若，則A=。5、在中，已知，解三角形。探究一．在ABC中，已知，討論三角形解的情況分析：先由可進(jìn)一步求出B；則，從而1．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須才能有且只有一解；否則無解。2．當(dāng)A為銳角時(shí)，如果≥，那么只有一解；3.如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解。評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無解。探究二你能畫出圖來表示上面各種情形下的三角形的解嗎三例題講解例1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1)a＝20，b＝28，A＝120°.無解(2)a＝28，b＝20，A＝45°；一解(3)c＝54，b＝39，C＝115°；一解(4)b＝11，a＝20，B＝30°；兩解[隨堂練習(xí)1]（1）在ABC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，，，則符合題意的b的值有_____個(gè)。（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3））例2.在中,已知判斷的形狀．[隨堂練習(xí)2]1.△ABC中，，則△ABC為（A）A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形2.已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。答案：ABC是等腰或直角三角形1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況2.在中，a=15,b=10,A=60°，則=A－BC－D3.已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若a=1,b=,A+C=2B,則sinC=.5.設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a＝2bsinA．(1)求B的大?。?2)求cosA＋sinC的取值范圍．同步分層能力測(cè)試題（一）一．填空題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．在△ABC中，若a=,b=,A=300,則邊c=。2.在△ABC中，已知A=45，B=60，c=1，則a=.3.在△ABC中，已知a=5,b=12,c=13.最大內(nèi)角為度。4.在△ABC中，已知b=4,c=8,B=30.則a=。5.a,b,c是△ABC的三邊，且B=1200,則a2+ac+c2-b2的值為.6．在△ABC中，若a=50，b=25EQ\r(,6),A=45°則B=.7.在△ABC中，有等式：①asinA=bsinB；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④.其中恒成立的等式序號(hào)為_______________.8．在中，分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊,設(shè)向量，若向量，則角C的大小為。二．解答題(本大題共4小題，共54分)9.在△ABC中，a=3，c=3，A=300，則角C及b.10.在中，⑴已知：acosB=bcosA,試判斷形狀;⑵求證：。在銳角三角形中，邊a、b是方程x2－2EQ\r(,3)x+2=0的兩根，角A、B滿足2sin(A+B)－EQ\r(,3)=0，求角C的度數(shù)，邊c的長(zhǎng)度.12.在△ABC中，已知角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，．且C=2A．cosA=(1)求cosC和cosB的值；(2)當(dāng)時(shí)，求a、b、c的值．余弦定理①a2＝b2＋c2－2bc·cosA，②b2＝c2＋a2－2ca·cosB，③c2＝a2＋b2－2ab·cosC.(4)余弦定理的變式cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).正余弦定理考點(diǎn)考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形在△ABC中，(1)若b＝eq\r(2)，c＝1，B＝45°，求a及C的值；(2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求邊c.知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析1．已知兩邊和一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可有兩解、一解、無解三種情況，應(yīng)根據(jù)已知條件判斷解的情況，主要是根據(jù)圖形或由“大邊對(duì)大角”作出判斷．2．應(yīng)熟練掌握余弦定理及其推論．解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷．3．三角形中常見的結(jié)論(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然．(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．針對(duì)性練習(xí)在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.考點(diǎn)二：利用正、余弦定理判斷三角形形狀典型例題△ABC中，已知acosA＝bcosB，則△ABC為()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下兩種方法：1．利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；2．利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．針對(duì)性練習(xí)：已知△ABC中，sinC＝eq\f(sinA＋sinB,cosA＋cosB)，試判斷△ABC的形狀．考點(diǎn)三：三角形面積公式的應(yīng)用典型例題已知△ABC中，cosA＝eq\f(\r(6),3)，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊．求tan2A；(2)若sin(eq\f(π,2)＋B)＝eq\f(2\r(2),3)，c＝2eq\r(2)，求△ABC的面積．知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析1．三角形面積公式的選取取決于三角形中的哪個(gè)角可求，或三角形的哪個(gè)角的正弦值可求．2．在解決三角形問題中，面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呉灿薪牵菀缀驼叶ɡ?、余弦定理?lián)系起來．針對(duì)性練習(xí)：在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，且滿足(2a－c)cosB＝bcosC.(1)求角B的大??；(2)若b＝eq\r(7)，a＋c＝4，求△ABC的面積．考點(diǎn)四：正、余弦定理的綜合應(yīng)用典型例題：在△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對(duì)的分別為a、b、c，且cos2A＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝eq\r(2)－1，求a、b、c的值．知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理運(yùn)用，有時(shí)還需要交替使用．(2)條件中出現(xiàn)平方關(guān)系多考慮余弦定理，出現(xiàn)一次式，一般要考慮正弦定理．針對(duì)性練習(xí)：1、在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足coseq\f(A,2)＝eq\f(2\r(5),5)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3.(1)求△ABC的面積；(2)若b＋c＝6，求a的值．2、設(shè)△ABC是銳角三角形，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)，并且sin2A＝sin(eq\f(π,3)＋B)sin(eq\f(π,3)－B)＋sin2B.求角A的值；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝12，a＝2eq\r(7)，求b，c(其中b<c)．鞏固作業(yè)1．(2010·北京高考)在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2π,3)，則a＝________.2．(2010·廣東高考)已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊．若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，則sinC＝________.3．(2010·江蘇高考)在銳角△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，則eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)的值是________．4．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知：b＝2，c＝4，cosA＝eq\f(3,4).(1)求邊a的值；(2)求cos(A－B)的值．5．(2010·遼寧高考)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．6．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4).(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a＝2,2sinA＝sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng)．7、某人在山頂觀察A、B兩個(gè)目標(biāo)，測(cè)得A在南偏西60°距山底1000米處，B在南偏東60°距山底800米處，求A、B之間的距離．8、(2010·寶雞質(zhì)檢一)如右圖，為了計(jì)算渭河岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得AD⊥CD，AD＝100m，AB＝140m，∠BDA＝60°，∠BCD＝1