2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷（北京卷）

閱卷人得分2021年高考數(shù)學(xué)真題試卷(北京卷)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.(共10題；共40分)(4分)己知集合4={x|-l<x<l},B={x|0WxW2},則4UB=( )A.(-1,2) B.(-1,2］ C.［0,1) D.［0,1］【答案】B【解析】【解答】解：根據(jù)并集的定義易得AU5={x|-l<x<2},故答案為：B【分析】根據(jù)并集的定義直接求解即可.(4分)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足(l-i)z=2,貝Uz=( )A.2+i B.2—i C.1—i D.1+i【答案】D【解析】【解答】解：z=￡=萬練$=i+i,故答案為：D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則直接求解即可.(4分)已知/(x)是定義在上［0,1］的函數(shù)，那么“函數(shù)/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)/(x)在［0,1］上的最大值為/⑴”的( )A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C,充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【解答】解：①【充分性】若函數(shù)f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知:函數(shù)f(x)在［0,1］的最大值為f(D,所以“函數(shù)f(x)在［0,1］.上單調(diào)遞增”為“函數(shù)f(x)在［0,1］的最大值為f(l)”的充分條件；②【必要性】若函數(shù)f(x)在［0,1］的最大值為f(l),函數(shù)f(x)在［0,1］上可能先遞減再遞增，且最大值為f(l)，所以“函數(shù)f(x)在［0,1］.上單調(diào)遞增”不是“函數(shù)f(x)在［0,1］的最大值為f(l)"的必要條件，所以“函數(shù)f(x)在［0,1］上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f(x)在［0,1］的最大值為f(l)"的充分而不必要條件.

【分析】根據(jù)充分條件與必要條件的判定直接求解即可.（4分）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（A. B.4 C.3+V3 D.2【答案】A【解析】【解答】解：由三視圖可知該四面體如下圖所示：該四面體為直三棱錐，其中SA，平面ABC,SA=AB=AC=1,則SB=SC=BC=VL則所求表面積為S=3xQxlxl）+1xV2xV2xsin60°=咨與故答案為：A【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，結(jié)合棱錐的表面積公式求解即可.（4分）雙曲線C：4-4=1過點(diǎn)（短耳，且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為QbA?%2—專=] B.號—y2=i C.無2一巧L=1D.2^——y2=1【答案】A【解析】【解答】解：由e=(=2得c=2a,貝ijb2=c2?a2=3a22 ?則可設(shè)雙曲線方程為：^~y=i,3az2 2將點(diǎn)(也，遍)代入上式，得(&) (8)=1a23q2解得a2=l,b2=3故所求方程為：*2_1=1故答案為：A【分析】根據(jù)雙曲線的離心率的定義，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)方程求解即可.=288(4分)回｝和｛bn｝是兩個等差數(shù)列，其中^(l<fc<5)=288bi=192，貝lj/=( )A.64A.64B.128C.256D.512【答案】B【解析】【解答】解：由題意得盧=卷=則成=9，則比=：。5=64,所以3=*以=128.故答案為：B【分析】根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.(4分)函數(shù)/(x)=cosx-cos2x,試判斷函數(shù)的奇偶性及最大值( )A.奇函數(shù)，最大值為2 B.偶函數(shù)，最大值為2C.奇函數(shù)，最大值為| D.偶函數(shù)，最大值為|【答案】D【解析】【解答】解：Vf(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=f(x)???f(x)為偶函數(shù)又f(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1令t=cosx,則y=-2t2+t+1,9-8

=則當(dāng)"一講j=上時，y取得最大值為必=(一29-8

=故答案為：D

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的最值求解即可.（4分）定義：24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度（mm）來判斷降雨程度.其中小雨（＜10mm）,中雨（10mm—25mm）.大雨（25mm—50mm）,暴雨（50mm—100mm）.小明用一個圓錐形容器接了24小時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（ ）A.小雨 A.小雨 B.中雨【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示，C.大雨D.暴雨由題意得赤=端，則『501 1則雨水的體積為V=1nr2h=扛X502x150.1 2則降雨的厚度（高度）為"旨="0x；50=I2.5（mm）nxlOO2iixlOO2故答案為：B【分析】根據(jù)圓錐的體積公式，及圓柱的體積公式求解即可..（4分）已知圓C:x2-Fy2=4,直線l:y=kx+m,當(dāng)k變化時，I截得圓C弦長的最小值為2,則m=（ ）A.±2 B.+V2 C.+V3 D?+V5【答案】C【解析】【解答】解：由題意可設(shè)弦長為n,圓心到直線1的距離為d,則屋=r2—（#=4—%則當(dāng)n取最小值2時，d取得最大值為通，當(dāng)k=0時，d取得最大值為百，則|m|=>/3解得m=+V3故答案為：C【分析】根據(jù)直線與圓的位置，以及相交弦的性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可..（4分）數(shù)列｛即｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，且由23,即+a2+…+%=100,則n的最大值為（ ）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【解答】解：??.數(shù)列｛an｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，，n要取最大，d盡可能為小的整數(shù)，故可假設(shè)d=lVai=3,d=lan=n+2?0_（3+n+2）n_n2+5n? = 2 =-2~則Su=88<100,Si2=102>100,故n的最大值為11.故答案為：C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式求解即可.閱卷人二、填空題5小題，每小題5分，共25分.（共5題；共25分）得分4（5分）（爐_工）展開式中常數(shù)項為.【答案】-4【解析】【解答】解：由題意得二項展開式的通項公式為n+1=竦（x3）4-k（_g〃=四（一1）。12-曲令12-4k=0,得k=3故常數(shù)項為口=73+1=Cl（-l）3=-4故答案為：-4【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式直接求解即可.（5分）已知拋物線C-.y2=4x,焦點(diǎn)為F,點(diǎn)、M為拋物線C上的點(diǎn)，且\FM\=6,則M的橫坐標(biāo)是；作MN1x軸于N,貝I]Safmn—-【答案】5；4a/5【解析】【解答】解：由題意知焦點(diǎn)F為（1,0）,準(zhǔn)線為x=-l,設(shè)點(diǎn)M為（xo,yo）,則有|FM|=xo+l=6,解得xo=5,則=2V5,不妨取點(diǎn)M為（5,2幅）則點(diǎn)N為（5,0）則|FN|=5-1=4則Safmn=與X\FN\x\MN\=/x4x2V5=4V5故答案為：5,45/5【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式求解即可.（5分）若點(diǎn)P（cos8,sin8）與點(diǎn)Q（cos（。+*,sin（e+，關(guān)于y軸對稱，寫出一個符合題意的e=.【答案】書（滿足。=普+4兀水€2即可）（sin。=sin（0+5）【解析】【解答】解：由題意得1 , 口、，對比誘導(dǎo)公式sina=sin（7r?a）,cosa=-cos（7T?a）得Icos0=-cose+l=n-e+2kn,解得8=^+k7T,keZ當(dāng)k=0時，。=患故答案為：居【分析】根據(jù)點(diǎn)的對稱性，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解即可.(5分)已知函數(shù)/(%)=|lgx|-/ex-2,給出下列四個結(jié)論：①若k=0,則/(X)有兩個零點(diǎn)；②就<0,使得/(x)有一個零點(diǎn)；③3k<0,使得/(X)有三個零點(diǎn)；@Bk>0,使得/(X)有三個零點(diǎn).以上正確結(jié)論得序號是.【答案】①②④【解析】【解答】解：令|lgx|-kx-2=0,即y=|愴*|與y=kx+2有幾個交點(diǎn)，原函數(shù)就有幾個零點(diǎn),①當(dāng)k=0時，如圖1畫出函數(shù)圖象，f(x)=|lgx|-2,解得*=100或》=焉，所以有兩個零點(diǎn)，故①項正確；②當(dāng)k<0時，y=kx+2過點(diǎn)(0,2),如圖2畫出兩個函數(shù)的圖象，3k<0,使得兩函數(shù)存在兩個交點(diǎn)，故②項正確；③當(dāng)k<0時，y=kx+2過點(diǎn)(0,2),如圖3畫出兩個函數(shù)的圖象，不存在k<0時，使得兩函數(shù)存在三個交點(diǎn)，故③項錯誤；④當(dāng)k>0時，y=kx+2過點(diǎn)(0,2),如圖4畫出兩個函數(shù)的圖象，弘>0,使得兩函數(shù)存在三個交點(diǎn)，故④項正確.故答案為：①②④【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的幾何性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解即可.(5分=(2,1),b=(2,-1)，c=(0,1),則(d+豆々=;a-b=?【答案】0；3【解析】【解答】解：由題意得最+b=(4,0)，則(a+b)?c=4x0+0x1=0,a-b=2x2+lx(-1)=3故答案為：0,3【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，及向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.閱卷人三'解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.（共6題；共85分）得分（13分）已知在4ABe中，c=2bcosB，C=等.（6.5分）求B的大??；（6.5分）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使4ABC存在且唯一確定，并求出BC邊上的中線的長度.?c=V2b;②周長為4+2V3;③面積為SAABC= ；【答案】（1）c=2bcosB，則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,:,sin2B=sin第=曰，"=~T,二B€（0,可），2BG（。,等），?-28 ,解得8=看；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得5=萼=不=心，dsiriD2與?=四8矛盾，故這樣的AABC不存在；若選擇②：由（1）可得4 ，設(shè)AABC的外接圓半徑為R,則由正弦定理可得a=b=2/?sinJ=R,c=2Rsin爭=血？，則周長a+b+c=2R+WR=4+2百，解得R=2,貝lja=2,c=2>/3,由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：J（2圾2+-2x2V3x1xcos^=V7；若選擇③：由（1）可得4=/即a=b,則Saabc=/absinC=x字=?解得a=V3‘則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：舊+劭-2xb〉［xcos冬=J3+、+^x孚=孚?【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和的性質(zhì)求解即可;（2）選擇①：根據(jù)正弦定理，結(jié)合（1）進(jìn)行判斷即可；選擇②：根據(jù)正弦定理，及余弦定理求解即可；選擇③：根據(jù)三角形的面積公式，結(jié)合余弦定理求解即可.（13分）已知正方體ABCD-AiBiJDi,點(diǎn)E為A1D1中點(diǎn)，直線81cl交平面CDE于點(diǎn)（6.5分）證明：點(diǎn)F為8也1的中點(diǎn)；（6.5分）若點(diǎn)M為棱上一點(diǎn)，且二面角M-CF-E的余弦值為坐，求籍的值.【答案】（1）如圖所示，取81cl的中點(diǎn)F',連結(jié)DE,EF',F'C,由于ABCD-AiBiQDi為正方體，E.F'為中點(diǎn)，故EF'||CD,從而E,F',C,D四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面CDEF',據(jù)此可得：直線B?交平面CDE于點(diǎn)F',當(dāng)直線與平面相交時只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)F與點(diǎn)F'重合，即點(diǎn)F為BiQ中點(diǎn).（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1方向分別為x軸，y軸，z軸正方形，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,Di Ci不妨設(shè)正方體的棱長為2,設(shè)艘=4(0WAW1),則：M(2,2M2),C(0,2,0),尸(1,2,2),E(l,0,2),從而：MC=(-2,2-2A,-2),CF=(1,0,2),FE=(0,-2,0)，設(shè)平面MCF的法向量為：m=(.x1,yvz1),則：(m,Aft*=-2xi+(2—2A)y^—2zj=0(m-CF=%14-2zi=0令Z1=-1可得：沅=(2,占,一1),設(shè)平面CFE的法向量為：n=(x2,y2,z2),則：(n.Ff=-2y2=0w-CF=%2+2z2=0'令Z1=-1可得：n=(2,o,-l).從而:訪?五=5,同=&+(占)：同=遙，/_m-n 5 V5則：cos(m,n)=而岡宿=1 3—=T,J5+(1TJ)*正整理可得：("1)2=5，故入=5<2=1舍去).【解析】【分析】(1)根據(jù)正方體的性質(zhì)，結(jié)合直線與平面相交的性質(zhì)定理求證即可；(2)根據(jù)向量法求二面角，結(jié)合方程的思想求解即可.(14分)為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測法”，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的；若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測.現(xiàn)有1()。人，已知其中2人感染病毒.(7分)①若采用“10合1檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數(shù)；②已知io人分成一組，分io組，兩名感染患者在同一組的概率為A-,定義隨機(jī)變量x為總檢測次數(shù)，求檢測次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望￡(%)；(7分)若采用“5合1檢測法“，檢測次數(shù)y的期望為E(Y),試比較E(X)和E(y)的大小(直接

寫出結(jié)果).【答案】(1)①對每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個人進(jìn)行檢測，需要10次;所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，X可以取20,30,1 1 10P(X=20)=今，P(X=30)=l一看=居,則X的分布列：X2030p1111011所以E(X)=20*白+30X冬=挈；(2)由題意，Y可以取25,30,設(shè)兩名感染者在同一組的概率為p,P(Y=25)=p,P(Y=30)=1-p,則E(Y)=25p+30(1-p)=30-5p,若P=總時，E(X)=E(Y)；若p>分時，E(X)>E(Y)；若p<條時，E(X)<E(Y).【解析】【分析】(1)①根據(jù)"k合1檢測法“，結(jié)合隨機(jī)抽樣的定義求解即可；②根據(jù)“k合1檢測法“，以及對立事件的概率，結(jié)合離散型隨機(jī)變量的分布列和期望求解即可;(2)根據(jù)“k合1檢測法”，以及對立事件的概率，結(jié)合離散型隨機(jī)變量的期望求解即可.(15分)已知函數(shù)/(%)=%鷲(7.5分)若a=0,求y=/(x)在(1,/(1))處切線方程;(7.5分)若函數(shù)/(x)在x=-l處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值.【答案】(1)當(dāng)a=0時，f(x)= ,貝ij/。)= ,.?./⑴=1,/(1)=-4,此時，曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為y-l=-4(x-l),即4x+y-5=0；(2)因為(2)因為/(x)=,則/(%)=由題意可得了'(-1)=&裳=°，解得a=4,

(a+1)3—2x /z、2(x+l)(x—4)故/(x)=當(dāng)f /(x)= -,列表如下:必+4 (x2+4)X(-00,-1)-1(T4)4(4,+00)/(X)+0-0+/(%)增極大值減極小值增所以，函數(shù)/(X)的增區(qū)間為(―8,—1)、(4,+oo)(單調(diào)遞減區(qū)間為(一1,4).當(dāng)時,/(x)>0；當(dāng)*>，時,/-(X)<0.1所以，/(X)max=/(—I)=1，f(x)min=f(4)=一］?【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值求得a值，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及最值即可.(15分)已知橢圓E:^+^=l(a>b>0)過點(diǎn)>4(0,-2),以四個頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為Qb4V5.(7.5分)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(7.5分)過點(diǎn)P(0,-3)的直線/斜率為鼠交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B,C,直線AB,AC交產(chǎn)-3于點(diǎn)M、N,直線AC交產(chǎn)-3于點(diǎn)N,若IPM+IPNW15,求k的取值范圍.【答案】(1)因為橢圓過4(0,-2),故b=2,因為四個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為4V5.故/x2ax2b=475,即a=y，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：《+^=1.4因為直線BC的斜率存在，故中0,故直線AB:y=:：：2工_2,令y=-3,則=-,：：2，同理Xn=~yf+2.kx3+5y2_20可得（4+5fc2）x2—30kx4-25=0,故4=900k2-100（4+5k2）>0,解得kV—1或k>1.30左 25又Xi+x2= 7>xlx2= 7,故%1X2>0,所以XMXN>04+5k 4+5k又\PM\+\PN\=\xm+xn\=\^+^\50k_30k=? ? -2 ?=?2k%i%2-（一+%2）?=?4+5/4+57?-1依2-1 Ze、］%?—k（%i+冷）+1 25k之_30k24+5/c24+5/c2=5\k\故51kl<15即|k|W3,綜上，—3<k<-1或1<kS3.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長公式求解即可.21.（15分）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列｛an｝滿足如下三個性質(zhì)，則稱⑶｝為Rp數(shù)列:：①%+p>0,a2+p=0；（2）G4n-1<a4n（n=1，2,…）;（3）am+ne（am+an+p,am+an+p+1）（m=l,2,...；n=l,2,...） .⑴（5分）如果數(shù)列｛a“的前4項2,-2,-2,-1的數(shù)列,那么｛a“是否可以為R2數(shù)列？說明理由；（5分）若數(shù)列｛即｝是R。數(shù)列，求as；（5分）設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,是否存在Rp數(shù)列｛an｝,對2S.恒成立？若存在，求出所有這樣的p；若不存在，說明理由.【答案】（1）解：數(shù)列｛a“不可能為%數(shù)列，理由如下，因為p=2,ai=2,a2=-2,所以ai+a?+p=2,ai+az+p+l=3,因為a3=-2,所以a3c｛ai+az+p,ai+a2+p+l｝,所以數(shù)列｛an｝不滿足性質(zhì)③.（2）性質(zhì)①即？0,（12=0,由性質(zhì)③0m+2w｛dm，am+1｝,因此=%或a3=^+1, &4=0或CZ4=1,若 Q4=0,由性質(zhì)②可知 a3<a4,即由V0或Qi+1V0,矛盾;若 Q4=1,。3=+1，由 。3V。4有Q1+1V1,矛盾.因此只能是 。4=1,。3=Q1.「--1、又因為&4=%+或。4=%+&3+1,所以4=2或0.1=0.若即=；,則0,2=%+1W{cii+a1+0,即+即+0+1}={2a1,2al+1}={1,2},不滿足a2=0,舍去.當(dāng)即=0,貝ij {an)前四項為:0,0,0,1,下面用歸納法證明Ci4n+i=H(t=1,2,3),a4n+4=n+l(nWN)：當(dāng)n=0時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當(dāng)n<k(k>0)時命題成立，當(dāng)n=k+l時：若i=1,則&4伏+1)+1=a4k+5=a/+(4k+5-j)，利用性質(zhì)③：{%,+a4k+5-jIjeN*,1WjW4k+4}={k,k+1},此時可得： a4k+5=k+1；否則，若a4k+5=k，取k=0可得：a5=0,而由性質(zhì)②可得： as=%+&46{1,2},與a5=0矛盾.同理可得：{a；+a4k+6_jIje N*, 1 <j <4k+ 5] ={k,k+1),有 a4k+6= k+1；{ay+a4k+8_jIJ6 N*,2 <j <4k+ 6} ={k+1,/c+2},有a4k+8=k+2 ；{%+a4k+7_jI/C N*, 1 W/ W4k+ 6} ={k+1},又因為 a4k+7 <a4k+8 ,有a4k+7=k+1.即當(dāng)n=k+l時命題成立，證畢.綜上可得： 的=0,Cig=04x1+1=1?(3)令bn=an+p,由性質(zhì)③可知：Vzn,nEN*,bm+n=am+n+pE{/+p+an+p,am+p+an+p+1]={bm+bn,bm+bn+1],由于bi=ai+p>0,b2=a2+p=0,fe4n-i=a4n_i+p<a4n+p=b4n,因此數(shù)列{bn}為Ro數(shù)列.由(2)可知：若VneN,a4n+i=n—p(i=1,2,3),a4n+4=n+1-p；Sii-Si。=au=a4X2+3=2-p>0, S9-S10=-a10=-a4x2+2=一(2-p)>0,因此p=2,此時a1(a2，…，%040,a,>0(J>11),滿足題意.【解析】【分析】（1）根據(jù)新數(shù)列Rp數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可:(2)根據(jù)新數(shù)列Rp數(shù)列的定義，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法求解即可；(3)根據(jù)新數(shù)列Rp數(shù)列的定義，結(jié)合an與Sn的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.試題分析部分1、試卷總體分布分析總分：150分分值分布客觀題（占比）50.0(33.3%)主觀題（占比）100.0(66.7%)題量分布客觀題（占比）12(57.1%)主觀題（占比）9(42.9%)2、試卷題量分布分析大題題型題目量（占比）分值（占比）解答題共6小題，共85分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.6(28.6%)85.0(56.7%)選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.10(47.6%)40.0(26.7%)填空題5小題，每小題5分，共25分.5(23.8%)25.0(16.7%)3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析序號難易度占比1普通(47.6%)2容易(33.3%)

3困難(19.0%)4、試卷知識點(diǎn)分析序號知識點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對應(yīng)題號1空間中直線與平面之間的位置關(guān)系13.0(8.7%)172二項式定理的應(yīng)用5.0(3.3%)113橢圓的簡