2022屆中考數(shù)學(xué)壓軸難題及答案

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題1.如圖1,矩形的邊04在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,8）.D是AB邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)Z、8重合），將△BCD沿直線"翻折，使點(diǎn)8落在點(diǎn)E處.（1）求直線ZC所表示的函數(shù)的表達(dá)式;（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E恰好落在矩形的對(duì)角線/C上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；（3）如圖3,當(dāng)以0、E、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求△。及I的面積.解：解：（1）?.?點(diǎn)8的坐標(biāo)為（6,8）且四邊形045c是矩形,...點(diǎn)4、C的坐標(biāo)分別為（6.0）、（0,8）,設(shè)AC的表達(dá)式為把4把4C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入上式得｛建片+"解得直線AC所表示的函數(shù)的表達(dá)式是y=-+8；(2)?.,點(diǎn)”的坐標(biāo)為(6,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,8),：.OA=6,OC=8..—OC中，AC=V62+82=10,??,四邊形048c是矩形，,,.Z5=90°,BC=6,AB=S,?.?沿CO折疊，:.NCED=90°,BD=DE,CE=6,4E=4,.\ZAED=90°,設(shè)BD=DE=a,則AD=i-a,「RtZUEQ中，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2f.\42+a2=(8-a)2,解得a=3,.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（6,5）；(3)過點(diǎn)E分別作x、y軸的垂線，垂足分別為M、N,,：EN10C,EMLOA,OCVOA,：.NENO=ZNOM=NOME=90°,二四邊形OMEN是矩形，：.EM=ON.①當(dāng)EC=E。時(shí)，\"EC=EO,NE-LOC,1：.ON=^OC=4=EM,AOEA的面積=4xCMXEM=*x6X4=12；②當(dāng)OE=OC時(shí)，:ENLOC,:.NENC=ZENO=90°,設(shè)ON=b,則CN=8-b,在RtZkNEC中，NE2=EC2-CN2,在RtAENO中，NE2=ECP-ON2,即62-(8-Z>)2=82-F,解得：b=竽，則EM=ON=竽，△O￡J的面積=|xOAXEM=|X6x竿=竽；, 69故△OE/f的面積為12或一下.42.直線y=H+8交x軸于點(diǎn)8,交y軸于點(diǎn)4,AB=^y[2.(1)如圖1,求直線Z8的解析式;(2)如圖2,C是x軸坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且OC=O8,E是點(diǎn)Z上方y(tǒng)軸上一點(diǎn)，CE交直線4B于點(diǎn)、P,過點(diǎn)P且與5E垂直的直線交x軸于點(diǎn)尸，設(shè)/￡=加，OF^y,求y與加之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3,在(2)的條件下，連接。尸、EF,G是直線48、BF的交點(diǎn),H是OP上一點(diǎn)，連接8"、AH,若NOPC+NAHB=9Q°,PC=BH,求點(diǎn)G的坐標(biāo).解：(1)直線y=Ax+8交y軸于點(diǎn)/,則點(diǎn)/(0,8),而48=8夜,故。8=J(8V2)2-82=8,故點(diǎn)8(8,0),將點(diǎn)8的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y=Ax+8并解得：k=\,故直線48的解析式為：y=x+8；(2)如圖1,過點(diǎn)｛作y軸的垂線交P/于N,過點(diǎn)N作MW_Lx軸于點(diǎn)A/,圖1'：OC=OB,OELBC,：.BE=CE,：.ZEBO=NECO,:PFLBE,:.NPF8/EBO=90°,AZPFO+ZECO=90°,：NOEC+NECO=90°,:?NPFO=/OEC,?"NJ_y軸，:?NEAN=NEOF=90°,??4N〃不軸，:?/ANP=/PFO,：?/OEC=NANP,:AO=OB,ZAOB=90°,：.ZOAB=ZABO=45°,：.ZPAE=ZOAB=45°,/.ZPAN=45°,工ZPAE=/PAN,?；AP=AP,:APAE經(jīng)4PAN(44S),:?AN=AE,:/AOM=/OAN=/NMO=90°,??四邊形ZOMN為矩形，：?OM=AN,MN=OA,：?OM=AE,?：OC=OB=OA,：?OC=MN,:/EOC=NNMF=90°,NPFO=/OEC,：?40EgAMFN(JJS),：.MF=OE=m+S,OM=AE=m,；?OF=OM+MF=2m+8,即y=2m+8；(3)如圖2,過點(diǎn)5作尸。延長(zhǎng)線的垂線，垂足為M過點(diǎn)。作尸于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作OK,48于點(diǎn)K,過點(diǎn)P作PH_Ly軸于點(diǎn)H,：OB=OC,4BON=/COM(AAS),/ONB=/OMC=90°,ARtA^//y^RtACPA/(HL),:?/BHN=/CPM,PM=HN,:?PH=MN=2OM,：/AHB+NOPC=90°,:?NAHB+NBHN=90°,??440=90°,：.NAOH+NOAH=90°,：,/COM=NOAH,：OA=OC,ZAHO=ZOMC=90°,:?l\AOH9XOCM(44S),1:?AH=OM=^PH,tanZOPK=.空1?~~~=~,PK2:.PK=2OK,：OA=OB,OKLAB,：.AK=BK,ZJO5=90°,「:?AK=OK=妙=4近,■:NPAR=/OAB=45°,AZAPR=ZPAR=45°,

工PR=AR=噌4P=4,：.OR=OA+AR=\2,：.P(4,12),VC(8,0),直線PC的表達(dá)式為：y=-3x+24,當(dāng)x=0時(shí)，y=24,故點(diǎn)E(0,24),故OE=24,：.AE=OE-OA=\6,即機(jī)=16,故y=2m+8=40,故。尸=40,故點(diǎn)尸(40,0),則直線EF的表達(dá)式為：y=-1%+24,聯(lián)立尸一爭(zhēng)+24和尸x+8并解得：x=10,尸18,故點(diǎn)G(10,18)..如圖，在RtA48C中，N/C8=90°,以斜邊上的中線8為直徑作。。，與8c交于點(diǎn)M,與的另一個(gè)交點(diǎn)為￡,過M作A/N_LZ8,垂足為M(1)求證：A/N(1)求證：A/N是OO的切線;(2)若OO的直徑為5,sin8=A ￡ N【解答】(1)證明：連接OM,?：OC=OM,=|,求EO的長(zhǎng).A E DV B如圖1, 圖140cM=NOA/C,在RtZkZBC中，CD是斜邊"8上的中線,：.CD=^AB=BD,：.NDCB=NDBC,:.NOMC=NDBC,.,.OM//BD,:MNLBD,：.OMLMN,,.?。加過O,；.A/N是。。的切線；(2)解：連接。M,CE, 國(guó)2??co是。。的直徑，；.NCED=90°,ZDA/C=90°,即。MJ_8C,CELAB,由(1)知：BD=CD=5,...M為BC的中點(diǎn)，VsinB=J,. 4?cos8=耳，在RtZXBMD中，8M=8Q?cos8=4,:?BC=2BM=8,在RtZXCEB中，BE=BC*cgsB=*□32 7：.ED=BE-BD=學(xué)-5=.已知NM/W的兩邊分別與OO相切于點(diǎn)4B,OO的半徑為八

（1）如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)X,8之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求N4C8的度數(shù)：（2）如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)尸C最大時(shí)，要使四邊形4P8C為菱形，NZP8的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說明理由；（3）若尸C交。。于點(diǎn)。，求第（2）問中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含r的式子表示）.BNP BNP BN圖1 圖2 （備用圖）【解答】解：（1）如圖1,連接04OB,???N4PB+N4OB=180???N4PB+N4OB=180°,VZAPB=80°,AZAOB=lOO°,ZACB=50°；(2)如圖2,當(dāng)N4尸8=60°連接CM,OB,P B N§2時(shí)，四邊形4P8C是菱形,圖1'：PA,尸8為。。的切線，:.NPA0=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB^360°,

由(1)可知，ZAOB+ZAPB=\SO°,APB=60°,.?.408=120°,/.ZACB=60°=N4PB,?點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，...PC經(jīng)過圓心，'：PA,P8為。。的切線，：.PA=PB,NAPC=NBPC=30°,又,：PC=PC,:./\APCqABPC(SAS),：.ZACP=ZBCP=30°,AC=BC,；.N4PC=N4CP=30°,：.AP=AC,：.AP=AC=PB=BC,二四邊形ZP8C是菱形：(3);。。的半徑為r,.'.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,"：ZAOP=90°-ZAPO=60°,...前的長(zhǎng)度=6：湍?=^r,,陰影部分的周長(zhǎng)=以+?￡>+而=V5f+$=(V3+1+J)r..如圖，以為。。的切線，P8C為。。的割線，4DLOP于點(diǎn)D,△/OC的外接圓與8c的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：NBAE=NACB.【解答】證明：連接CM,OB,OC,BD.,：OA1.AP,ADLOP,二由射影定理可得：PA2^PD^P0,AI^^PD-OD.…（5分）又由切割線定理可得pa2=pb?pc,.PB'PC=PD-PO,.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（10分）.NPDB=2PC0=NOBC=ZODC,2PBD=ZCOD,.△PBDsACOD,PDBD方=訪'…(15分).BD'CD=PD'OD=AD2,BDAD'AD~CD又NBD4=NBDP+90°=ZODC+90°=ZADC,ABDAs/\ADC,\NBAD=NACD,..AB是△4OC的外接圓的切線,,.NBAE=NACB..如圖，點(diǎn)4為y軸正半軸上一點(diǎn),48兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過點(diǎn)4任作直線交拋物線丫=：必于尸，Q兩點(diǎn).(1)求證：NABP=NABQ；（2）若點(diǎn)力的坐標(biāo)為（0,1）,且/尸8。=60°,試求所有滿足條件的直線尸。的函數(shù)解析式.【解答】（1）證明：如圖，分別過點(diǎn)尸，。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.設(shè)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,1）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-/）.設(shè)直線尸0的函數(shù)解析式為》=京+3并設(shè)P,。的坐標(biāo)分別為（xp,yp）f（X0，?0）.由（y=kx+t=27'3,27得石公—kx—t=0,于是XpX。=—13EPt=—^xpXq.十口BC于是 =yp+t=舞2+t2o-lXp2~lXpXQ—2 922, 、-Xp(Xp-XQ)-2=_生BD%+t3XQi+t3XQ^~XPXQ/q(xqF)XQ,PC又因?yàn)?77；XpBC所以77_PCQDXQBDQD因?yàn)镹8CP=N8O0=9O°,所以ABCPsABD。,故N48尸=N4B0；(2)解：設(shè)PC=a,DQ=b,不妨設(shè)a》b>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=V3b,所以4。=百。-2,AD=2-V36.因?yàn)?/p>