初中數(shù)學(xué)人教九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓-垂直于弦的直徑 名師獲獎(jiǎng)_第1頁
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什么是軸對(duì)稱圖形?我們學(xué)過哪些軸對(duì)稱圖形?如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形叫軸對(duì)稱圖形.回顧線段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圓圓也是軸對(duì)稱圖形嗎?探究動(dòng)畫——沿著圓的任意一條直徑對(duì)折圓是軸對(duì)稱圖形.任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸.圓有哪些對(duì)稱軸?OOABCDE是軸對(duì)稱圖形.大膽猜想已知:在⊙O中,CD是直徑,AB是弦,

CD⊥AB,垂足為E.下圖是軸對(duì)稱圖形嗎?已知:在⊙O中,CD是直徑,AB是弦,

CD⊥AB,垂足為E.求證:AE=BE,AC=BC,AD=BD.⌒⌒⌒⌒證明:連結(jié)OA、OB,則OA=OB.∵垂直于弦AB的直徑CD所在的直線既是等腰三角形OAB的對(duì)稱軸又是⊙O的對(duì)稱軸.∴當(dāng)把圓沿著直徑CD折疊時(shí),

CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合,

A點(diǎn)和B點(diǎn)重合,

AE和BE重合,

AC、AD分別和BC、BD重合.∴AE=BE,AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒疊合法DOABEC

垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。R(shí)要點(diǎn)DOABEC垂徑定理AE=BEAC=BCAD=BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑,AB是弦,CD⊥AB①直徑過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧題設(shè)結(jié)論DOABEC垂徑定理將題設(shè)與結(jié)論調(diào)換過來,還成立嗎?這五條進(jìn)行排列組合,會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)命題?①直徑過圓心③平分弦②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣?。?)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的推論1DOABEC已知:CD是直徑,AB是弦,CD平分AB求證:CD⊥AB,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒一個(gè)圓的任意兩條直徑總是互相平分,但它們不一定互相垂直.因此這里的弦如果是直徑,結(jié)論不一定成立.OABMNCD注意為什么強(qiáng)調(diào)這里的弦不是直徑?①直徑過圓心④平分弦所對(duì)優(yōu)?、燮椒窒尧诖怪庇谙尧萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧垂徑定理的推論1(2)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條?。阎篊D是直徑,AB是弦,并且AC=BC

求證:CD平分AB,CD⊥AB,AD=BD⌒⌒⌒⌒DOABEC①直徑過圓心⑤平分弦所對(duì)的劣?、燮椒窒尧芷椒窒宜鶎?duì)優(yōu)?、诖怪庇谙掖箯蕉ɡ淼耐普?(2)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條?。阎篊D是直徑,AB是弦,并且AD=BD

求證:CD平分AB,CD⊥AB,AC=BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦③平分弦①直徑過圓心④平分弦所對(duì)優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣?。?)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.垂徑定理的推論1已知:AB是弦,CD平分AB,CD⊥AB,求證:CD是直徑,AD=BD,AC=BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧①直徑過圓心③平分弦⑤平分弦所對(duì)的劣?、诖怪庇谙尧萜椒窒宜鶎?duì)的劣?、僦睆竭^圓心③平分弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧(4)垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直徑過圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條?。燮椒窒尧芷椒窒宜鶎?duì)優(yōu)弧①直徑過圓心②垂直于弦⑤平分弦所對(duì)的劣?。?)平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直徑過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.③平分弦⑤平分弦所對(duì)的劣?、僦睆竭^圓心②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)?、芷椒窒宜鶎?duì)優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣?、僦睆竭^圓心②垂直于弦③平分弦(6)平分弦所對(duì)的兩條弧的直徑過圓心,并且垂直平分弦.∴AM=BM,

CM=DM⌒⌒⌒⌒垂徑定理的推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等.MOABNCD證明:作直徑MN垂直于弦AB∵AB∥CD

∴直徑MN也垂直于弦CD∴AM-CM=BM-DM

⌒⌒⌒⌒⌒⌒即AC=BDABCD兩條弦在圓心的同側(cè)兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論2有這兩種情況:OOABCDCDABE已知:AB.求作:AB的中點(diǎn).⌒⌒點(diǎn)E就是所求AB的中點(diǎn).⌒作法:1.連結(jié)AB.2.作AB的垂直平分線CD,交AB于點(diǎn)E.⌒小練習(xí)ABCDE已知:AB.求作:AB的四等分點(diǎn).⌒⌒作法:1.連結(jié)AB.3.連結(jié)AC.2.作AB的垂直平分線,交AB于點(diǎn)E.⌒4.作AC的垂直平分線,交AC于點(diǎn)F.⌒5.點(diǎn)G同理.點(diǎn)D、C、E就是AB的四等分點(diǎn).⌒ABC作AC的垂直平分線作BC的垂直平分線這種方法對(duì)嗎?等分弧時(shí)一定要作弧所夾弦的垂直平分線.×CABO你能確定AB的圓心嗎?⌒作法:1.連結(jié)AB.2.作AB的垂直平分線,交AB于點(diǎn)C.⌒3.作AC、BC的垂直平分線.4.三條垂直平分線交于一點(diǎn)O.點(diǎn)O就是AB的圓心.⌒你能破鏡重圓嗎?ABCmnO作弦AB、AC及它們的垂直平分線m、n,交于O點(diǎn);以O(shè)為圓心,OA為半徑作圓.作法:依據(jù):弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條?。箯蕉ɡ砣切蝑+h=rdhar有哪些等量關(guān)系?在a,d,r,h中,已知其中任意兩個(gè)量,可以求出其它兩個(gè)量.你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋,是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)的弦的長(zhǎng))為37.,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.2m.趙州橋主橋拱的半徑是多少?實(shí)際問題垂徑定理的應(yīng)用用表示主橋拱,設(shè)所在圓的圓心為O,半徑為R.經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC,D為垂足,OC與AB相交于點(diǎn)D,根據(jù)前面的結(jié)論,D是AB的中點(diǎn),C是的中點(diǎn),CD就是拱高.解:AB=37.4,CD=7.2,OD=OC-CD=R-7.2BODACR解得R≈27.9(m)在Rt△OAD中,由勾股定理,得即R2=18.72+(R-7.2)2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2課堂小結(jié)1.圓是軸對(duì)稱圖形任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸.O

垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條?。?.垂徑定理DOABEC條件結(jié)論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條?。椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條?。业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條?。椒窒宜鶎?duì)的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦.3.垂徑定理的推論

經(jīng)常是過圓心作弦的垂線,或作垂直于弦的直徑,連結(jié)半徑等輔助線,為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.4.解決有關(guān)弦的問題1.判斷:(1)垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩?。ǎ?)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一?。ǎ?)經(jīng)過弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.()(4)圓的兩條弦所夾的弧相等,則這兩條弦平行.()(5)弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧.()√√隨堂練習(xí)2.在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,求⊙O的半徑.·OABE解:答:⊙O的半徑為5cm.3.在⊙O中,AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求證:四邊形ADOE是正方形.D·OABCE證明:∴四邊形ADOE為矩形,又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.4.在直徑是20cm的⊙O中,的度數(shù)是60°,那么弦AB的弦心距是________.cm5.弓形的弦長(zhǎng)為6cm,弓形的高為2cm,則這弓形所在的圓的半徑為________.cm6.已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn),且OP=2cm,如果⊙O的半徑是3cm,,那么過P點(diǎn)的最短的弦等于____________.cm7.一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓?。磮D中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.解:連接OC.●OCDEF┗8.已知在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,求⊙O的半徑.解:連結(jié)OA.過O作OE⊥AB,垂足為E,則OE=3cm,AE=BE.∵AB=8cm∴AE=4cm

在Rt△AOE中,根據(jù)勾股定理有OA=5cm

∴⊙O的半徑為5cm..AEBO9.在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C,D兩點(diǎn).求證:AC=BD.證明:過O作OE⊥AB,垂足為E,則AE=BE,CE=DE.

AE-CE=BE

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