多級火箭建模講解課件

§1

為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構造數學模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？1、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星?

（1）衛(wèi)星能在軌道上運動的最低速度假設：（i）衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上作勻速圓周運動。（ii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球對衛(wèi)星的引力忽略不計。分析：根據牛頓第三定律，地球對衛(wèi)星的引力為:在地面有:得:k=gR2

R為地球半徑，約為6400公里故引力:假設(ii)§1為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構造數學模型，以說明為dmm-dmvu-v假設(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力故又有:從而:設g=9.81米/秒2，得:

衛(wèi)星離地面高度(公里)衛(wèi)星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推進力及速度的分析假設：火箭重力及空氣阻力均不計分析：記火箭在時刻t的質量和速度分別為m(t)和υ(t)有：記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u（常數），由動量守恒定理：υ0和m0一定的情況下，火箭速度υ(t)由噴發(fā)速度u及質量比決定。

故：由此解得：(1)

dmm-dmvu-v假設(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速（2）火箭推進力及速度的分析現將火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)的質量分成三部分：（i）mP（有效負載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質量）（iii）mS（結構質量——如外殼、燃料容器及推進器）。最終質量為mP+mS，初始速度為0，所以末速度：根據目前的技術條件和燃料性能，u只能達到3公里/秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過6.6公里/秒。目前根本不可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進力在加速整個火箭時，其實際效益越來越低。如果將結構質量在燃料燃燒過程中不斷減少，那么末速度能達到要求嗎？（2）火箭推進力及速度的分析現將火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)的質量分成2、理想火箭模型假設：記結構質量mS在mS+mF中占的比例為λ，假設火箭能隨時拋棄無用的結構，結構質量與燃料質量以λ與（1-λ）的比例同時減少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料耗盡時，結構質量也逐漸拋盡，它的最終質量為mP，所以最終速度為：

只要m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星要使υ=10.5公里/秒才行，則可推算出m0/mp約為51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火箭2、理想火箭模型假設：記結構質量mS在mS3、理想過程的實際逼近——多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)記火箭級數為n，當第i級火箭的燃料燒盡時，第i+1級火箭立即自動點火，并拋棄已經無用的第i級火箭。用mi表示第i級火箭的質量，mP表示有效負載。先作如下假設：（i）設各級火箭具有相同的λ,即i級火箭中λmi為結構質量，（1-λ）mi為燃料質量。（ii）設燃燒級初始質量與其負載質量之比保持不變，并記比值為k?？紤]二級火箭：

由1式，當第一級火箭燃燒完時，其末速度為：當第二級火箭燃盡時，末速度為：該假設有點強加的味道，先權作討論的方便吧3、理想過程的實際逼近——多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)又由假設（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍設u=3公里/秒，且為了計算方便，近似取λ=0.1，則可得：要使υ2=10.5公里/秒，則應使:即k≈11.2，而:類似地，可以推算出三級火箭：

在同樣假設下:

要使υ3=10.5公里/秒，則(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77。三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了一半是否三級火箭就是最省呢？最簡單的方法就是對四級、五級等火箭進行討論。又由假設（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入考慮N級火箭：

記n級火箭的總質量（包含有效負載mP）為m0，在相同的假設下可以計算出相應的m0/mP的值，見表3-2n（級數）12345…

∞（理想）

火箭質量（噸）/149776560…50表3-2由于工藝的復雜性及每節(jié)火箭都需配備一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個最好的方案。當然若燃料的價錢很便宜而推進器的價錢很貴切且制作工藝非常復雜的話，也可選擇二級火箭?？紤]N級火箭：記n級火箭的總質量（包含有效4、火箭結構的優(yōu)化設計3中已經能說過假設(ii)有點強加的味道；現去掉該假設，在各級火箭具有相同λ的粗糙假設下，來討論火箭結構的最優(yōu)設計。W1=m1+…+mn+mP

W2=m2+…+mn+mP……Wn=mn+mPWn+1=mP記應用（3.11）可求得末速度：記則又問題化為，在υn一定的條件下，求使k1k2…kn最小

解條件極值問題：或等價地求解無約束極值問題：可以解出最優(yōu)結構設計應滿足：火箭結構優(yōu)化設計討論中我們得到與假設（ii）相符的結果，這說明前面的討論都是有效的！4、火箭結構的優(yōu)化設計3中已經能說過假設(ii)有點§2

空中防撞系統(tǒng)的模型設計

在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內，經常有若干架飛機作水平飛行。區(qū)域內每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數據，以便進行飛行管理。當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時，記錄其數據后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內的飛機發(fā)生碰撞。如果會碰撞，則應計算如何調整各架（包括新進入的）飛機飛行的方向角。以避免碰撞?，F假定條件如下：（1）不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8公里（2）飛機飛行方向角調整的幅度不應超過30度（3）所有飛機飛行速度均為每小時800公里（4）進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內飛機的距離應在60公里以上（5）最多需考慮6架飛機（6）不必考慮飛機離開此區(qū)域后的狀況。請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數學模型。列出計算步驟，對以下數據進行計算（方向角誤差不超過0.01度）。要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小。

§2空中防撞系統(tǒng)的模型設計在約10設該區(qū)域4個頂點的座標為（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)。

記錄數據為：飛機編號橫座標X縱座標Y方向角（度）1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進入0052注：方向角指飛行方向與X軸正向的夾角。

試根據實際應用背景對你的模型進行評價與推廣。設該區(qū)域4個頂點的座標為（0,0）,(160,0),(161問題的實際背景

空中交通管制問題中抽象出來的?？罩薪煌ü苤剖潜ＷC飛機飛行安全以及提高飛行效率的重要手段。設想在一繁忙的航空港附近或主要航線的交叉地帶，經常有不同航向、不同高度層的飛機在飛行，如何調度它們，使它們在飛行過程中互不相碰，就構成了交通管制系統(tǒng)要解決的主要問題。目前航空界采取的一種方案是，把空間區(qū)域按高度分層（例如以600米間隔為一層），然后設定一水平坐標系，規(guī)定飛行方向角在0度到180度之間的飛機在偶數層飛行，方向角在180度至360度之間的飛機在奇數層飛行。這樣使得在同一層內飛機的航向基本一致，而航向相反的飛機在不同層次飛行。如果在同一層內飛行的飛機仍有航線沖突，則令其中一架上升（或下降），以避免碰撞。1問題的實際背景空中交通管制問題中抽象出來的?？罩?合理的假設（1）每架飛機可視為區(qū)域內的一個幾何點。因為飛機的長度與區(qū)域的大小相比可以忽略不計；（2）忽略飛機調整方向的反應時間，即認為從控制中心發(fā)出指令到飛機調整完畢是瞬時的；（3）暫不考慮飛機的轉彎半徑及由拐彎導致的時間的延遲，即認為飛機在區(qū)域內做直線或折線飛行；（4）區(qū)域內的飛機已滿足互不相撞的條件，即認為從第一架飛機開始，每當有一架新飛機進入到該區(qū)域，則作及時的調整，以保證區(qū)域內飛機互不相撞；（5）忽略調整方向角引起的誤差，忽略飛機速度變化所引起的誤差，即認為飛機做勻速飛行。2合理的假設（1）每架飛機可視為區(qū)域內的一個幾何3符號的約定代表本問題中某一高層中的正方形區(qū)域代表第i架飛機，飛機的飛行速度時間第i架飛機的位置第i架飛機的初始時刻（即新飛機到達區(qū)域邊緣的時刻）的位置第i架飛機的飛行方向角初始時刻第i架飛機的飛行方向角第i架飛機的偏轉角從初始時刻起，第i架飛機沿某一固定方向角在區(qū)域內的飛行時間從初始時刻起，第i架飛機與第j架飛機分別沿某一固定方向角在區(qū)域內的共同飛行時間

3符號的約定代表本問題中某一高層中的正方形區(qū)域3符號的約定t時刻第i架飛機和第j架飛機之間的距離當的最小值第i架飛機的偏轉角的權系數被調整的飛機架數飛機的轉彎半徑優(yōu)化目標函數3符號的約定t時刻第i架飛機和第j架飛機之間的距§1

為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構造數學模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？1、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星?

（1）衛(wèi)星能在軌道上運動的最低速度假設：（i）衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上作勻速圓周運動。（ii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球對衛(wèi)星的引力忽略不計。分析：根據牛頓第三定律，地球對衛(wèi)星的引力為:在地面有:得:k=gR2

R為地球半徑，約為6400公里故引力:假設(ii)§1為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構造數學模型，以說明為dmm-dmvu-v假設(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力故又有:從而:設g=9.81米/秒2，得:

衛(wèi)星離地面高度(公里)衛(wèi)星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推進力及速度的分析假設：火箭重力及空氣阻力均不計分析：記火箭在時刻t的質量和速度分別為m(t)和υ(t)有：記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u（常數），由動量守恒定理：υ0和m0一定的情況下，火箭速度υ(t)由噴發(fā)速度u及質量比決定。

故：由此解得：(1)

dmm-dmvu-v假設(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速（2）火箭推進力及速度的分析現將火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)的質量分成三部分：（i）mP（有效負載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質量）（iii）mS（結構質量——如外殼、燃料容器及推進器）。最終質量為mP+mS，初始速度為0，所以末速度：根據目前的技術條件和燃料性能，u只能達到3公里/秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過6.6公里/秒。目前根本不可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進力在加速整個火箭時，其實際效益越來越低。如果將結構質量在燃料燃燒過程中不斷減少，那么末速度能達到要求嗎？（2）火箭推進力及速度的分析現將火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)的質量分成2、理想火箭模型假設：記結構質量mS在mS+mF中占的比例為λ，假設火箭能隨時拋棄無用的結構，結構質量與燃料質量以λ與（1-λ）的比例同時減少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料耗盡時，結構質量也逐漸拋盡，它的最終質量為mP，所以最終速度為：

只要m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星要使υ=10.5公里/秒才行，則可推算出m0/mp約為51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火箭2、理想火箭模型假設：記結構質量mS在mS3、理想過程的實際逼近——多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)記火箭級數為n，當第i級火箭的燃料燒盡時，第i+1級火箭立即自動點火，并拋棄已經無用的第i級火箭。用mi表示第i級火箭的質量，mP表示有效負載。先作如下假設：（i）設各級火箭具有相同的λ,即i級火箭中λmi為結構質量，（1-λ）mi為燃料質量。（ii）設燃燒級初始質量與其負載質量之比保持不變，并記比值為k?？紤]二級火箭：

由1式，當第一級火箭燃燒完時，其末速度為：當第二級火箭燃盡時，末速度為：該假設有點強加的味道，先權作討論的方便吧3、理想過程的實際逼近——多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)又由假設（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍設u=3公里/秒，且為了計算方便，近似取λ=0.1，則可得：要使υ2=10.5公里/秒，則應使:即k≈11.2，而:類似地，可以推算出三級火箭：

在同樣假設下:

要使υ3=10.5公里/秒，則(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77。三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了一半是否三級火箭就是最省呢？最簡單的方法就是對四級、五級等火箭進行討論。又由假設（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入考慮N級火箭：

記n級火箭的總質量（包含有效負載mP）為m0，在相同的假設下可以計算出相應的m0/mP的值，見表3-2n（級數）12345…

∞（理想）

火箭質量（噸）/149776560…50表3-2由于工藝的復雜性及每節(jié)火箭都需配備一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個最好的方案。當然若燃料的價錢很便宜而推進器的價錢很貴切且制作工藝非常復雜的話，也可選擇二級火箭?？紤]N級火箭：記n級火箭的總質量（包含有效4、火箭結構的優(yōu)化設計3中已經能說過假設(ii)有點強加的味道；現去掉該假設，在各級火箭具有相同λ的粗糙假設下，來討論火箭結構的最優(yōu)設計。W1=m1+…+mn+mP

W2=m2+…+mn+mP……Wn=mn+mPWn+1=mP記應用（3.11）可求得末速度：記則又問題化為，在υn一定的條件下，求使k1k2…kn最小

解條件極值問題：或等價地求解無約束極值問題：可以解出最優(yōu)結構設計應滿足：火箭結構優(yōu)化設計討論中我們得到與假設（ii）相符的結果，這說明前面的討論都是有效的！4、火箭結構的優(yōu)化設計3中已經能說過假設(ii)有點§2

空中防撞系統(tǒng)的模型設計

在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內，經常有若干架飛機作水平飛行。區(qū)域內每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數據，以便進行飛行管理。當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時，記錄其數據后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內的飛機發(fā)生碰撞。如果會碰撞，則應計算如何調整各架（包括新進入的）飛機飛行的方向角。以避免碰撞?，F假定條件如下：（1）不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8公里（2）飛機飛行方向角調整的幅度不應超過30度（3）所有飛機飛行速度均為每小時800公里（4）進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時，與區(qū)域內飛機的距離應在60公里以上（5）最多需考慮6架飛機（6）不必考慮飛機離開此區(qū)域后的狀況。請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數學模型。列出計算步驟，對以下數據進行計算（方向角誤差不超過0.01度）。要求飛機飛行方向角調整的幅度盡量小。

§2空中防撞系統(tǒng)的模型設計在約10設該區(qū)域4個頂點的座標為（0,0）,(160,0),(160,160),(0,160)。

記錄數據為：飛機編號橫座標X縱座標Y方向角（度）1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進入0052注：方向角指飛行方向與X軸正向的夾角。

試根據實際應用背景對你的模型進行評價與推廣。設該區(qū)域4個頂點的座標為（0,0）,(160,0),(161問題的實際背景

空中交通管制問題中抽象出來的?？罩薪煌ü苤剖潜ＷC飛機飛行安全以及提高飛行效率的重要手段。設想在一繁忙的航空港附近或主要航線的交叉地帶，經常有不同航向、不同高度層的飛機在飛行，如何調度它