復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題

第一章例題例1.1 試問函數(shù) 把平面上的下列曲線分別變成平面上的何種曲線？（1）以原點為心，2為半徑，在第一象項里的圓??；

(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題(2）傾角（3）雙曲線解設(shè)

的直線;.，則因此.

平面上對應(yīng)的圖形為：射線，故

。，在平面上對應(yīng)的圖形為：直線 。例1。2設(shè)

在點連續(xù)，且 ，則

在點的某以鄰域內(nèi)恒不為0。證因 在點

連續(xù)，則

,只要

,就有特別，取 ，則由上面的不等式得因此, 在鄰域 內(nèi)就恒不為0例1。3設(shè)試證 在原點無極限，從而在原點不連.證令變點 ,則(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題從而 （沿正實軸 )而沿第一象限的平分角線 , 時， 。故 在原點無確定的極限，從而在原點不連續(xù)。第二章例題例2.1 在平面上處處不可證易知該函數(shù)在平面上處處連續(xù).但當 時，極限不存在。因 取實數(shù)趨于0時，起極限為1， 取純虛數(shù)而趨于零,其極限為1.故處處不可微。例2.2函數(shù)證因

在 滿足定理2。1的條件，但在。故

不可微。但在 時無極限這是因讓 沿射線 隨 而趨于零即知上式趨于一個與有關(guān)的值 。例2。3討論解因

的解析性,故要使 條件成立，必有 ,故 只在 可微,從而，處處不解.(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題例2。4討論解因要使 條件成立,必有

的可微性和解析性，故，故 只在直線 上可微，從而，處處不解析。例2.5解因

的可微性和解析,并求 。,而在復(fù)平面上處處連續(xù)且滿足 條件，從而 在平面上處處可微，也處處解析。且。例2。6設(shè)解設(shè)

確定在從原點，則

起沿負實軸割破了的平面上且 ,試求 之值。由 代入得解得： ,從而。例2。7設(shè) 則且的主值為 .2。8考查下列二函數(shù)有哪些支點（a)(b)

(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題解(a）01的輻角沒有改變,即從而

,當沿 正方向繞行一周時，的輻角得到增量 ，故 的終值較初值增加了一個因子 ,發(fā)生了變化，可見0是 的支點。同理1也其支點。任何異于0，1的有限點都不可能是支點。因若設(shè)是含 但不含0，1的簡單閉曲線，則故 的終值較初值增加了一個因子 ，未發(fā)生變化。最后 不是

的支點.因若設(shè)

含0，1的簡單閉曲線，則故 的終值較初值增加了一個因子 ,未發(fā)生變化。（b） 0,1，.設(shè)01

01，10，和既(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題結(jié)果 的終值較初值均發(fā)生了變化。故0,1，都是支點，此外別無支點。例2.9試說明 在將平面適當割開后能分出三個解析分支并求出在點 取負值的那個分支在 的值解易知這樣割開后的平面

的支點是上，

01能分出三個解析分支。現(xiàn)取一條從 到 的有向曲線（不穿過支割線），則于是又由題設(shè),可取 。故得。（3）關(guān)于對數(shù)函數(shù)的已給單值解析分支 ,我們可以借助下面的公式來計算它的終值：即其中 是一條連接起點和終點且不穿過支割線的簡單曲線； 是滿足條件那一支在起之值的虛部，是一個確定的值。例2。10試說明 在割去“從-1到的直線段”，“從到1的直線段”與射線“ 且”的平面內(nèi)能分出單值解析分.并求 時等于零的那一支在 的值。(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題解 的支點為 。這是因當變點單繞 一周時，故 的值增加是支點，同理

, 也都是支點，此外無其它支點.故

的值增加了 ，從一支變成另一支。故在割去“從—1到的直線段1現(xiàn)設(shè)是一條連接起點

且和終點

”的平面內(nèi)能分出單值解析分支。且不穿過支割線的簡單曲線。則故這就是所要求之值.例2.11求反正弦 解(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題例2.12求解。第三章例題例3.1命表連接點及的任一曲線,試證（1） （2)證（1)因 ，故,即(2）因 ,選 則得,但我們又可選 ,則得由定理3。1，可知積分 存在，因而 的極限存在且應(yīng)與 及 的極限相等，從而應(yīng)的極限相等。今，(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題所以 。注當為閉曲線時,例3。2（重要的常用例子)這里表示以為心，為半徑的圓周。（注意，積分值與，均無關(guān)）。證 的參數(shù)方程為： 。故；當為整數(shù)且 時例3。3試證 。積分路徑是連接和 的直線段證 的參數(shù)方程為即沿， 連續(xù),且而之長為2，故由定理3.2， 例3。4計算積分(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題其中積分路徑

為：到點 的直線;解（1)連接

到點1的直線段及連接由點1到及 的直線段的參數(shù)方程為：（ ）,

的直線段所組成的折線.故 。（2)連接

與1的直線段的參數(shù)方程:.1即故

的直線段的參數(shù)方程為:,，由此例可以看出,積分路徑不同，積分結(jié)果可以不同。例3。5計算積分解在單連通區(qū)域： 內(nèi)，函數(shù) 的一個原函數(shù)，且 在內(nèi)解析，故牛頓—萊布尼茲公式有例3。6計算下列積分（1） ，（2），其中為右半圓周，，，起點為，終點為；（3）那一支。解因為 的支點為 所以它在閉圓 上單值解析于是由柯西積分定理3.9（2）因為 上解析故 .（3)因為分定理3。9

的支點為 ，其單值分支在圓

內(nèi)解析，并連續(xù)到邊界 ，所以由柯西積。例3。7設(shè)為圍線內(nèi)部一點,則證以為圓心畫圓周 ，使 全含于的內(nèi)部,則由復(fù)圍線的柯西積分定理得3。23。8計算積分解因 在閉圓 上解析，由柯西積分公式得定理3.11的特殊情形，有如下的解析函數(shù)的平均值定.例3。9設(shè) 在 上解析如果存在 ,使當 而且(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題試證：在圓 內(nèi) 至少有一個零點。證反證法,設(shè) 在 內(nèi)無零點，而由題設(shè) 在 上也無零.于是在閉圓 上解析。由解析函數(shù)的平均值定理，又由題設(shè) ，，從而點。例3。10計算積分

,矛盾。故在圓 內(nèi) 至少有一個零其中是繞一周的圍線.解因為 在平面上解析，應(yīng)用公(3.5）于 ，我們得。3。11應(yīng)用劉維爾定理證明代數(shù)學(xué)基本原理.在平面上，次多項式至少有一個零點。證反證法，設(shè) 在平面上無零點。由于 在平面上是解析的， 在平面上也必解析。下面我們證明 在平面上有.由于,(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題故存在充分大的正整數(shù)，使當 時, ,又因 在閉圓 上連續(xù)，故可設(shè)從而,在平面上于是， 在平面上是解析且有界。由劉維爾定理， 必為常數(shù)，即 必為常數(shù)。這與定理的設(shè)矛盾.故定理得證.例3。12如果 為一整函數(shù)，且有使的實數(shù) 存在，試證令

為常數(shù)。為整函數(shù)。又在平面上故有界，由劉維爾定理可見 是常數(shù)，因此 也是常數(shù)。例3。13設(shè) 是整函數(shù)，是整數(shù)，試證當時, 至多是 次多項式。證只須證得對任何的， 。由可知，對任給的 ,存在 ，只要 時就有.在平面上任取一點,再取以為心，以為半徑的圓周，使圓周 全含于其內(nèi)部。是有 .這時對于 ,必 ,因而(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題。由柯西不等式可得因為是任意的,所以故至多是 次多項式。.驗證是平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以 為實部的解析函數(shù) ，使合。解因在平面上任一點故 在平面上為調(diào)和函數(shù)法一故要合法二先由

，必 ，故 條件中的一個得，故 ，再由 條件中的另一個得，(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題故因此 。（下同法一）例3.15解

在右半角平面內(nèi)是調(diào)和函數(shù)，并求以此為虛部的解析函數(shù) 。于是故在右半平面內(nèi), 是調(diào)和函數(shù)。兩端對求導(dǎo)，所以 ,從而 （任意常數(shù)），故它在右半平面內(nèi)單值解析。第四章例題(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題例4.1考察級數(shù) 的斂散.解因 發(fā)散，故雖 收斂，我們?nèi)詳喽ㄔ墧?shù)發(fā)散。例4。2試求下列各冪級數(shù)的收斂半徑。(1)解 。(2） 。解 因 ，故 。(3） 。解 因 ，故 。（4）解 應(yīng)當是平方數(shù)0和1，從而 .

,其他情形

。因此相應(yīng)有 ,于是數(shù)列｛ ｝的聚點是例4。3將 在 展開成冪級.解因 在 內(nèi)解析,故展開后的冪級數(shù)在 內(nèi)收斂。已經(jīng)知道：(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題，在 時將兩式相乘得按對角線方)。例4。4求解因 的支點為

的展開式。,故其指定分支在 內(nèi)單值解析。,其一般表達式為：當 時。例4。5將 及 展為的冪級數(shù)。解因 ,同理。兩式相加除以2得， ，兩式相減除以得(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題。例4.6試將函數(shù)按 的冪展開，并指明其收斂范圍解例4。7考察函數(shù)在原點解顯然

的性質(zhì)。在 解析，且 。由 ，或由知 為 的三級零點.例4。8求解

的全部零點，并指出它們的在平面上解析。由 得即(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題故這就是

，在平面上的全部零點。顯然故都是函數(shù) 的二級零點.例4。9設(shè)（1)

及 在區(qū)域

內(nèi)解析；（2）在內(nèi) ，試證：在內(nèi) 或 。證若有 使

。因 在點

連續(xù)，故由例128知，存在的鄰域 ，使 在內(nèi)恒不為零。而由題設(shè)，故必 .由唯一性定理（推論4.21） 。例4.10試用最大模原理證明例3.9.即證：“設(shè) 在閉圓 上解析，如果存在 ,使當 時，而且，則在圓證如果在

內(nèi), 至少有一個零點.”內(nèi)， 無零點。而由題設(shè)在 上 ，且 在 上解析.故(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題在 上解析。此時,且在 上，，于是 必非常數(shù)，在 上.由最大模原理，這就得到矛盾。第五章例題例5.1將函數(shù)在下列三個區(qū)域內(nèi)(1）圓內(nèi)求

;（2）圓環(huán)的羅朗展式。

；（3)圓環(huán)解：首先（1）在圓 內(nèi)， ，因此(2）在圓環(huán) 內(nèi)有 ， ，故(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題（3）在圓環(huán) 內(nèi)， , 故例5。2求 在其孤立奇點的去心鄰域內(nèi)的羅朗展.解：有兩個奇點 和 .在 的(最大）去心鄰域 內(nèi)在 的(最大)去心鄰域 內(nèi)例5.3 在平面上只有奇點 。在其去心鄰域 內(nèi)有羅朗展式例5.4 只有奇點 ，在 內(nèi)有(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題例5.5分析 在 處的狀況。是一個本性奇點,對 ，可設(shè) ，即 ，而。對 ，可解方程得無窮多個解則 ,且 當然更有例5.6求出（1）(2）的奇點(包括)，并確定其類別解:（1)以 為可去奇點為一級極點為非孤立奇點（因 是 的聚點）（2）令 ，得該函數(shù)的所有奇點為(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題, ,是一級極點， 是非孤立奇點，因 是 聚點。至于 應(yīng)是可去奇點,因若令 化為是解析點。即 是可去奇點（或解析點。例5。7若證必為

在的本性奇點。

內(nèi)解析，且不恒為零，又若 有一列異于但卻以為聚點的零點，試證: 是 的孤立奇點，且不能是可去奇點，若不然，令 則 在 內(nèi)解析且由假設(shè)有以為聚點的一列零點。由零點的孤立, 必恒為0,這題沒矛盾。其次 也不能

的奇點,否則

有 使當 時， 這亦與題沒矛盾.故第六章例題

只能是

的本性奇點。6。1計算解：在圓周 的內(nèi)部只有一級極點 及二級極點 ，而由殘數(shù)定理，得(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題例6。2計算解 : 只 以 為 一 級 極 點 ， 而。由殘數(shù)定理得6。3計算解： 只有一個三級極點 ，由殘數(shù)定理得例6。4計算解： 只有一個本性奇點 在單位圓周內(nèi)部。而其羅朗展式為故殘數(shù)定理推得例6.5計算解:共有七個奇點： ， ，(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題及 .前6個根均在 內(nèi)部，故而故 。從而此外，可另法求殘數(shù)：而以 一級極點,故.例6.7計算解:令 ,則 ，當 時故 .例6。8解：令 則(完整)復(fù)變函數(shù)經(jīng)典例題令 則繞一周時繞二