復數(shù)與復變函數(shù)

復數(shù)與復變函數(shù)第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/231第一章復數(shù)與復變函數(shù)內容提要：復變函數(shù)就是自變量為復數(shù)的函數(shù)，本章先學習復數(shù)的概念、性質與運算，然后再引入平面上的點集、復變函數(shù)極限、連續(xù)．本章中的許多概念在形式上與微積分學中一些基本概念有相似之處，可以把它們看作微積分學中相應的概念及定理在復數(shù)域中的推廣．

第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/232第一章復數(shù)與復變函數(shù)1.1復數(shù)1.2復數(shù)的三角表示1.3平面點集的一般概念1.4無窮大與復球面1.5復變函數(shù)本章小結思考題第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/233第一節(jié)復數(shù)一、復數(shù)的基本概念

第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/234二、復數(shù)的代數(shù)運算

1.復數(shù)的和、差、積、商

和與差：積：商：復數(shù)的運算滿足交換律、結合律、分配律．第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2352．共扼復數(shù)及性質

重要性質：

復數(shù)的共扼性質在實際計算和證明中有廣泛應用

第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/236例1．計算復數(shù)

解：法一（商的公式）

法二（共軛性質）

應用共扼性質來計算顯得簡單，在后面計算中要靈活運用共軛第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/237例2．解：由題意得

例3．解：第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/238例4．證明：證法二：第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/239第二節(jié)復數(shù)的表示法

一、復平面

定義：復數(shù)的模：

復數(shù)的幅角：主幅角：即：一復數(shù)的輻角Argz是多值的第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2310二、復數(shù)的表示法1．復數(shù)的向量表示法

因此

顯然有不等式：

復數(shù)、復平面上點、向量之間一一對應第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/23112．復數(shù)的三角表示法利用直角坐標與極坐標的關系：

復數(shù)的三角表示式：3．復數(shù)的指數(shù)表示法利用歐拉公式：

復數(shù)的指數(shù)表示式：注意：復數(shù)的三角表示式不是唯一的，因為輻角有無窮多種選擇，如果有兩個三角表示式相等：

則可以推出：第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2312例1．解：于是主幅角值的確定：

第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2313練習

模

主輻角解：

例2．解：

為復數(shù)形式的直線方程

復數(shù)形式的直線方程為

第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2314例3．解：

參數(shù)方程為由參數(shù)式得復數(shù)形式參數(shù)方程為若平面上曲線的參數(shù)方程為：則定義定義：復數(shù)形式的參數(shù)方程

第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2315例4．求下列方程所表示的曲線解：

第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2316三、復數(shù)的三角表示及指數(shù)表示作乘除法

即：模輻角定理1：兩個復數(shù)乘積的模等于它們模的乘積，幅角等于它們的幅角之和．說明：例如：第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2317例如：定理2：兩復數(shù)的商的模等于它們模的商，幅角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差．證明：即：模輻角第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2318例5．用三角表示式和指數(shù)表示式計算下列復數(shù)解：

第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2319例6．解：

第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2320四、復數(shù)的乘方與開方、棣摩弗公式1．乘方公式這公式稱棣摩弗公式．

2．開方公式

第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2321例7．計算下列各題：

解：即：第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2322例8．解：其解為

作業(yè)習題一1.1(3)(4)1.31.41.6(2)(4)1.8(2)(3)1.9(1)（2）(3)（4）1.10(1)（2）(3)（4）1.12(1)（5）1.13(1)P28第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2323第三節(jié)平面點集的一般概念研究復變函數(shù)問題，和實函數(shù)一樣，每個復變量都有自己的變化范圍，復變量的變化范圍同于二元函數(shù)的變化范圍稱為區(qū)域．

一、開集與閉集

1.鄰域：

2．內點：

3．開集：

4．余集：

第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/23245．邊界：

6．孤立點：

7．有界集與無界集：

例如：第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2325二、區(qū)域1．連通：

設G中任何兩點都可以用完全屬于G的折線連接起來，則稱G是連通的．

2．區(qū)域：

連通的開集稱為區(qū)域，記為D．

3．閉區(qū)域：

區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域，4．有界、無界區(qū)域：（如上定義）

5．圓環(huán)域：

例如

有界域：無界域：角形域：

帶形域：

第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2326例1．試說出下列各式所表示的點集是怎樣的圖形，并指出哪些是區(qū)域：

解：

三、平面曲線1．平面曲線的復數(shù)式

平面曲線的復數(shù)形式參數(shù)方程

第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2327例2．圓周參數(shù)方程

解：

例3．解：

直線的參數(shù)方程

2．光滑曲線

光滑曲線

由若干段光滑曲線所組成的曲線稱為分段光滑曲線．

第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2328例4．解：

容易驗證：

因此該曲線是分段光滑曲線．

3．簡單閉曲線

則稱這條曲線為簡單閉曲線．

簡單閉曲線

非簡單閉曲線

第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/23294．單連通區(qū)域與多連通區(qū)域

設D為一平面區(qū)域，若在D中任作一條簡單閉曲線，而曲線內部總屬于D，則稱D為單連通區(qū)域，否則是多連通區(qū)域．

單連通區(qū)域的特征：屬于D的任何一條簡單閉曲線，在D內可經(jīng)過連續(xù)變形而縮成一點．

單連通區(qū)域多連通區(qū)域洞第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2330第四節(jié)無窮大與復球面一、無窮遠點為了討論問題方便，我們不但要討論有限復數(shù)，還要討論一個特殊的復數(shù)-------無窮大，它是由下式定義的：加法：減法：乘法：除法：而實部、虛部和輻角均沒有意義，

第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2331這個點稱為無窮遠點，

復平面加上無窮遠點稱為擴充復平面，擴充復平面上的每一條直線都通過無窮遠點.（4）無窮遠點的鄰域：

復球面定義：球面上的每一點都有唯一的復數(shù)與之對應，這樣的球面稱為復球面；二、復球面（5）無窮遠點的去心鄰域：第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2332第五節(jié)復變函數(shù)一、復變函數(shù)的概念說明：

那么稱復變數(shù)w是復變數(shù)z的函數(shù)，即復變函數(shù)，

1．定義：設G是一個復數(shù)的集合，如果有一個確定的法則存在，按照這一法則，

第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/23332．復變函數(shù)與二元函數(shù)的關系

因此可以利用兩個二元實變函數(shù)來討論例1．解：

例2．將下列兩個二元實變函數(shù)表示為復變函數(shù)，解：

第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/23343．映射的概念在“高等數(shù)學”中，常把函數(shù)用幾何圖形來表示，這樣，可以直觀地幫助我們理解和研究函數(shù)的性質．對于復變函數(shù)，由于它反映了兩對變量和之間的對應關系，因而無法用同一個平面的幾何圖形表示出來，必須把它看成兩個復平面上的點集之間的對應關系．第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2335例3．第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2336例4．解：

第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2337例5．解：

（1）由乘法的模與幅角定理可知：

其象是2倍角域,

第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2338反函數(shù)（逆映射）二、復變函數(shù)的極限和連續(xù)1．復變函數(shù)的極限定義1．第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2339定理1．設函數(shù)證明：必要性充分性第四十頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2340定理2．如果第四十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2341例1．證明：

另證：

第四十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/23422．復變函數(shù)的連續(xù)性定理3．函數(shù)例2．解：說明：復變函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義與實函數(shù)的極限與連續(xù)性的定義形式上完全相同，因此高等數(shù)學中的有關定理依然成立，因此又有有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質．

第四十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日2022/12/2343定理4．(1)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不