垂徑定理（基礎(chǔ)篇）（專項練習）-2022-2023學年數(shù)學九年級上冊（浙教版）

專題3.7垂徑定理（基礎(chǔ)篇）（專項練習）一、單選題1．AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，已知CD=16，OE=6，則⊙O的直徑為（）A．8 B．10 C．16 D．202．如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為點E，連接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，則CD的長為（）A．3 B．6 C．6 D．63．如圖以CD為直徑的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．則MD的長為（

）A．2 B．4 C．6 D．84．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AE＝BE B．OE＝DE C． D．5．如圖，點，，，在圓上，弦和交于點，則下列說法正確的是（）A．若平分，則 B．若，則平分C．若垂直平分，則圓心在上 D．若圓心在上，則垂直平分6．如圖，是的直徑，弦于點，連接、，下列結(jié)論中不一定正確的是（）A． B． C． D．7．下列命題中假命題是（

）A．平分弦的半徑垂直于弦 B．垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心C．垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧 D．平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦8．如圖，在⊙O中，半徑OC⊥AB于點E，AE=2，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．垂直平分 D．垂直平分9．如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點C是AB的中點，連接OC，則OC的長為（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，在⊙O中，弦AB的長是半徑OA的倍，C為中點，AB、OC交于點P，則四邊形OACB是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形11．如圖，在平面直角坐標系中，點、、的坐標分別為，，，則以、、為頂點的三角形外接圓的圓心坐標是（

）A． B． C． D．12．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有一個經(jīng)典的“圓材埋壁”問題：“今有圓材埋壁中，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何?"意思是：如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于P，CP=1寸，AB=10寸，則直徑CD的長是

（

）寸A．20 B．23 C．26 D．30二、填空題13．圓的半徑為，圓心到弦的距離為，則_______．14．如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10，OE＝6，則AB＝_______．15．如圖，的半徑為4，，是的弦，且，，，則和之間的距離為______．16．某隧道口橫截面如圖所示，上部分是圓弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高點E與的距離為4米，且弧所在圓的半徑為10米，則路面的寬度為_____米．17．如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點H，若∠D=30°，AD=cm，則AB=________cm．18．如圖，在⊙O中，弦的長為4，圓心到弦的距離為2，則的度數(shù)為______．19．如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別為（1，4），（5，4），（1，﹣2），則△ABC外接圓的圓心坐標是_________．20．如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為（0，3），則該圓弧所在圓的圓心坐標是______．21．在進行垂徑定理的證明教學中，老師設(shè)計了如下活動：先讓同學們在圓中作了一條直徑MN，然后任意作了一條弦（非直徑）．如圖1，接下來老師提出問題：在保證弦AB長度不變的情況下，如何能找到它的中點？在同學們思考作圖驗證后，小華說了自己的一種想法：只要將弦AB與直徑MN保持垂直關(guān)系，如圖2，它們的交點就是弦AB的中點，請你說出小華此想法的依據(jù)是__．22．如圖AB是⊙O的直徑，∠BAC=42°，點D是弦AC的中點，則∠DOC的度數(shù)是______度．23．如圖，某小區(qū)的一個圓形管道破裂，修理工人準備更換一段新管道，現(xiàn)在量得污水水面寬度為80cm，水面到管道頂部的距離為20cm，則修理工人應(yīng)準備的新管道的內(nèi)直徑是______cm．24．已知的半徑為2，弦，是上一點，且，直線與交于點，則的長為________．三、解答題25．如圖，在⊙O中，直徑AB=10，弦AC=8，連接BC．(1)尺規(guī)作圖：作半徑OD交AC于E，使得點E為AC中點；(2)連接AD，求三角形OAD的面積．26．《九章算術(shù)》是我國古代第一部自成體系的數(shù)學專著，代表了東方數(shù)學的最高成就，它的算法體系至今仍在推動著計算機的發(fā)展和應(yīng)用.書中記載：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”譯為：“今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸（寸），鋸道長1尺（1尺=10寸）．問這塊圓形木材的直徑（）是多少？”如圖所示，請根據(jù)所學的知識解答上述問題．27．已知：如圖，在中，為互相垂直的兩條弦，，D、E為垂足．(1)若，求證：四邊形為正方形．(2)若，判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．28．如圖，AB為⊙O的直徑，弦于點F，于點E，若，，求OF的長．參考答案1．D【分析】連接OC，由垂徑定理可知，點E為CD的中點，且OE⊥CD，在Rt△OEC中，根據(jù)勾股定理，即可得出OC，從而得出直徑．解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E∴CE=CD=8，∵OE=6．在Rt△OEC中，由勾股定理得：OC2=OE2+EC2，即OC2=62+82解得：OC=10∴直徑AB=2OC=20．故選D．【點撥】本題考查垂徑定理，勾股定理．熟練掌握定理是解答關(guān)鍵.2．C【分析】連接OC，求出∠COB=45°，根據(jù)垂徑定理求出CD=2CE，根據(jù)勾股定理求出CE即可．解：連接OC，則OC=AB=×12=6，∵OA=OC，∠CAB=22.5°，∴∠CAB=∠ACO=22.5°，∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°，∵AB⊥CD，AB為直徑，∴CD=2CE，∠CEO=90°，∴∠OCE=∠COB=45°，∴OE=CE，∵CE2+OE2=OC2，∴2CE2=62，解得：CE=3，即CD=2CE=6，故選：C．【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，垂徑定理等知識點，能求出CE=OE是解此題的關(guān)鍵．3．B【分析】連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=r，OM=16-r，根據(jù)垂徑定理得到AM=BM=8，再根據(jù)勾股定理得到82+（16-r）2=r2，解方程求出r=10，然后計算CD-CM即可．解：連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=r，OM=16-r，∵AB⊥CD，∴AM=BM=AB=8，在Rt△AOM中，82+（16-r）2=r2，解得r=10，∴MD=CD-CM=20-16=4．故選：B．【點撥】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了勾股定理．4．B【分析】根據(jù)垂徑定理即可判斷．解：是的直徑，弦于點，，，．故選：B．【點撥】本題主要考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．5．C【分析】根據(jù)垂徑定理的內(nèi)容和垂徑定理的推論的內(nèi)容進行判斷．解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯誤，不符合題意；B、垂直于弦的直徑平分弦，原說法錯誤，不符合題意；C、弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心，原說法正確，符合題意；D、若也是直徑，則原說法不符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了垂徑定理以及推論，解答時熟悉垂徑定理的內(nèi)容以及推論的內(nèi)容是關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)垂徑定理判斷即可；解：∵直徑垂直于弦于點，則由垂徑定理可得，，，，故選項A，B，D正確；無法得出，故C錯誤．故選C．【點撥】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論分別進行判斷．解：A、平分弦（非直徑）的半徑垂直于弦，所以A為假命題；B、垂直平分弦的直線必經(jīng)過圓心，所以B選項為真命題；C、垂直于弦的直徑平分這條弦所對的弧，所以C選項為真命題；D、平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦，所以D選項為真命題．故選：A．【點撥】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理，也考查了垂徑定理的性質(zhì)．8．D【分析】由垂徑定理和勾股定理分別對各個選項進行判斷即可．解：連接OA，條件不足，不能求出OE和EC的長，故選項A、B不符合題意；∵OC⊥AB于點E，∴OC是線段AB的垂直平分線，故選項D正確，符合題意；選項C不符合題意，故選：D．【點撥】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．9．C【分析】根據(jù)垂徑定理的推論，勾股定理即可求得的長解：點C是AB的中點，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，在中故選C【點撥】本題考查了垂徑定理，勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】根據(jù)弦AB的長是半徑OA的倍，C為的中點，判定出四邊形OACB是平行四邊形，再由，即可判定四邊形OACB是菱形.解：∵弦AB的長是半徑OA的倍，C為的中點，OC為半徑，∴，∴，∴，即，∴四邊形OACB是平行四邊形，又∵，∴四邊形OACB是菱形.【點撥】本題主要考查了勾股定理，菱形的判定，以及垂徑定理的推論，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．11．A【分析】根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”作兩條弦的垂直平分線，交點即為圓心．解：如圖，作弦、的垂直平分線，∵點、、的坐標分別為，，，所以弦，弦，∴弦的垂直平分線與軸相交于點，弦的垂直平分線與軸相交于點，∴兩條垂直平分線的交點即為三角形外接圓的圓心，且點的坐標是．故選：．【點撥】本題考查了垂徑定理，三角形的外接圓與圓心，熟知垂徑定理是解題的關(guān)鍵．12．C【分析】連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DP垂直AB得到點P為AB的中點，由AB=6可求出AP的長，再設(shè)出圓的半徑OA為x，表示出OP，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程直接可得2x的值，即為圓的直徑．解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB=10寸，∴AP=BP=5寸，設(shè)圓O的半徑OA的長為x，則OC=OD=x，∵CP=1，∴OP=x-1，在直角三角形AOP中，根據(jù)勾股定理得：x2-（x-1）2=52，化簡得：x2-x2+2x-1=25，即2x=26，∴CD=26（寸）．故選：C．【點撥】本題考查了垂徑定理和勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，利用垂徑定理，可得，然后利用勾股定理求出，即可求解．解：根據(jù)題意畫出如下圖形，半徑，，則，∵半徑，，∴，在中，由勾股定理得：，∴．故答案為：．【點撥】本意主要考查了垂徑定理，勾股定理，利用垂徑定理，得到是解題的關(guān)鍵．14．16【分析】連接，由垂徑定理可得，在中利用勾股定理即可求得的長，進而求得．解：連接，∵OE⊥AB于E，∴，在中，，OE＝6，∴，∴，故答案為：【點撥】本題考查了垂徑定理和勾股定理，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．【分析】作OE于E，交CD于F，連結(jié)OA，OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)等到，再利用垂徑定理得到，再由勾股定理解得OE，OF的長，繼而分類討論解題即可．解：作OE于E，交CD于F，連結(jié)OA，OC，如圖，在中，在中，當圓心O在AB與CD之間時，當圓心O不在AB與CD之間時，即AB和CD之間的距離為，故答案為：．【點撥】本題考查勾股定理、垂徑定理、分類討論等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．16．16【分析】先根據(jù)勾股定理CF=米，根據(jù)垂徑定理求出DF=CF=8米，然后根據(jù)四邊形ABCD為矩形，得出AB=DC=16米即可．解：∵EF=4米，OC=OE=10米，∴OF=OE-EF=6米，在Rt△OEC中，CF=米，∵OF⊥DC，DC為弦，∴DF=CF=8米，∴DC=2×8=16米，∴四邊形ABCD為矩形，∴AB=DC=16米，故答案為：16．【點撥】本題考查勾股定理，垂徑定理，矩形性質(zhì)，掌握勾股定理，垂徑定理，矩形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．【分析】根據(jù)∠D=30°，直角三角形中30°角對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半計算出AH，再根據(jù)垂直于弦的直徑平分弦得到AB=2AH計算出AB．解：在中，∠D=30°∴∴cm∵弦AB⊥CD∴cm故答案為：【點撥】本題考查直角三角形和圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識．18．【分析】先根據(jù)垂徑定理可得，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得．解：由題意得：，，，，，是等腰直角三角形，，故答案為：．【點撥】本題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵．19．（3，1）【分析】根據(jù)垂徑定理的推論“弦的垂直平分線必過圓心”，作兩條弦的垂直平分線，交點即為圓心．解：根據(jù)垂徑定理的推論，則作弦AB、AC的垂直平分線，交點D即為圓心，且坐標是（3，1）．故答案為：（3，1）．【點撥】此題考查了垂徑定理的推論，能夠準確確定一個圓的圓心．20．．【分析】直接利用垂徑定理推論得出圓心位置，進而利用點坐標得出原點位置即可得出答案．解：如圖示，∵點A的坐標為（0，3），據(jù)此建立平面直角坐標系如下圖所示，連接，，作，的中垂線，交點是點則，該圓弧所在圓的圓心坐標是：．故答案是：．【點撥】本題主要考查了垂徑定理以及坐標與圖形的性質(zhì)，正確得出圓心位置是解題關(guān)鍵．21．等腰三角形三線合一的性質(zhì)【分析】連接OA、OB，則△OAB是等腰三角形，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)判斷．解：連接OA、OB，則△OAB是等腰三角形，當MN⊥AB時，一定有MB過AB的中點，依據(jù)三線合一的性質(zhì)可得．故答案是：等腰三角形三線合一的性質(zhì)．【點撥】本題考查了垂徑定理，正確轉(zhuǎn)化為等腰三角形的性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．22．48【分析】根據(jù)點D是弦AC的中點，得到OD⊥AC，然后根據(jù)∠DOC=∠DOA即可求得答案：解：∵AB是⊙O的直徑，∴OA=OC．∵∠A=42°，∴∠ACO=∠A=42°．∵D為AC的中點，∴OD⊥AC．∴∠DOC=90°﹣∠DCO=90°﹣42°=48°．故答案為：48．23．100【分析】由垂徑定理和勾股定理計算即可．解：如圖所示，作管道圓心O，管道頂部為A點，污水水面為BD，連接AO，AO與BD垂直相交于點C．設(shè)AO=OB=r則OC=r-20，BC=有化簡得r=50故新管道直徑為100cm．故答案為：100．【點撥】本題為垂徑定理的實際應(yīng)用題，主要是通過圓心距，圓的半徑及弦長的一半構(gòu)成直角三角形，并應(yīng)用勾股定理，來解決問題．24．1或3【分析】根據(jù)垂徑定理建立直角三角形，再運用勾股定理求得，進而分兩種情況討論即可．解：如圖，連接，，由垂徑定理可知，，，則在中，，或，故答案為：1或3．【點撥】本題考查了垂徑定理，勾股定理計算圓周上點到弦得距離，熟練掌握基本定理，準確分類討論是解題關(guān)鍵．25．(1)見分析(2)10【分析】（1）過點O作OD⊥AC，交AC于點E，交⊙O于點D；（2）由題意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，點E為AC中點，繼而可得，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得答案．(1)解：如圖，點E即為所求；(2)解：如圖，連接AD，∵⊙O的直徑是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，點E為AC中點，∴，∴．【點撥】本題主要考查了垂徑定理、三角形的面積公式，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．26．這塊圓形木材的