新教材-人教A版高中數(shù)學必修第二冊-第六章-平面向量及其應用課件

6.1平面向量的概念6.2.1向量的加法運算6.2.2

向量的減法運算

6.2.3

向量的數(shù)乘運算6.2.4

向量的數(shù)量積

6.2平面向量的運算P276.3.1

平面向量基本定理

6.3.3

平面向量加、減運算的坐標表示

6.3.5

平面向量數(shù)量積的坐標表示

6.3平面向量基本定理及坐標表示P1476.3.2

平面向量的正交分解及坐標表示6.3.4

平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

6.4.1

平面幾何中的向量方法第1課時余弦定理16.4.3余弦定理、正弦定理第2課時正弦定理第3課時習題課——正弦定理和余弦定理的綜合應用

第4課時余弦定理、正弦定理應用舉例6.4平面向量的應用P2296.4.2

向量在物理中的應用舉例6.1平面向量的概念6.2.1向量的加法運算6.2.2知識點一、向量的概念1.向量:在數(shù)學中,我們把既有大小又有方向的量叫做向量.2.數(shù)量:把只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量.名師點析

向量不能比較大小,這是因為向量是由大小和方向兩方面確定的.向量的大小是代數(shù)特征,方向是幾何特征.微思考在物理上,位移和距離這兩個量有什么不同?提示:位移既有大小又有方向,距離只有大小沒有方向.6.1平面向量的概念知識點一、向量的概念微思考6.1平面向量的概念知識點二、向量的幾何表示及相關(guān)概念2.有向線段的三個要素:起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向和長度,它的終點就唯一確定了.4.長度為0的向量叫做零向量,記作0.5.長度等于1個單位長度的向量,叫做單位向量.6.向量也可以用字母a,b,c,…表示.知識點二、向量的幾何表示及相關(guān)概念點析

(1)零向量的長度為0,方向不確定.(2)單位向量只規(guī)定了向量的大小(模長為1),并沒有規(guī)定向量的方向,所以同一起點的單位向量有無數(shù)個,它們的終點構(gòu)成一個單位圓.點析微練習(1)下列說法正確的是(

)A.身高是一個向量B.溫度有零上溫度和零下溫度之分,故溫度是向量C.有向線段由方向和長度兩個要素確定(2)下列說法正確的是(

)A.向量的模是一個正實數(shù)B.零向量沒有方向C.單位向量的模等于1個單位長度D.零向量就是實數(shù)0微練習解析:(1)有向線段

的起點與終點互換,其方向相反,長度相等,故D項正確.(2)向量的模是一個非負實數(shù);零向量的方向是任意的,但它不是實數(shù)0,故A,B,D均錯,只有C項正確.答案:(1)D

(2)C解析:(1)有向線段知識點三、相等向量與共線向量1.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a,b平行,記作a∥b.平行向量也叫做共線向量.2.我們規(guī)定:零向量與任意向量平行,即對于任意向量a,都有0∥a.3.長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.兩個向量a與b相等,記作a=b.名師點析

向量共線包括四種情況:方向相同,模相等;方向相同,模不等;方向相反,模相等;方向相反,模不等.知識點三、相等向量與共線向量微練習下列說法正確的是(

)A.所有單位向量都是相等向量B.與實數(shù)類似,對于兩個向量a,b,有a=b,a>b,a<b三種關(guān)系C.兩個向量平行時,表示向量的有向線段所在的直線一定平行D.若兩個向量是共線向量,則向量所在的直線可以平行,也可以重合解析:所有單位向量的模都相等,都為1,但方向不確定,故A不正確.向量不能比較大小,故B不正確;由平行向量的定義知,D正確,C不正確.答案:D微練習探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測平面向量的相關(guān)概念例1已知下列說法:①若|a|=0,則a為零向量;②若|a|=|b|,則a=b;③若a∥b,則|a|=|b|;④兩個有共同起點,而且相等的向量,其終點必相同.其中正確的有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個解析:①正確;②由|a|=|b|得a與b的模相等,但不確定方向,故②錯誤;③錯誤;④正確.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測平面向量的相關(guān)概念探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

明確向量及其相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別(1)區(qū)分向量與數(shù)量.向量既強調(diào)大小,又強調(diào)方向,而數(shù)量只與大小有關(guān).(2)明確向量與有向線段的區(qū)別.有向線段有三要素,起點、方向、長度.只要起點不同,另外兩個要素相同也不是同一條有向線段,但決定向量的要素只有兩個,大小和方向,與表示向量的有向線段的起點無關(guān).(3)零向量和單位向量都是通過模的大小來確定的,零向量的方向是任意的.(4)平行向量也叫共線向量,當兩共線向量的方向相同且模相等時,兩向量為相等向量.(5)向量之間不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟明確向量及其相探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1給出以下說法:①直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量;②零向量的長度為零,方向是任意的;③若a,b都是單位向量,則a=b;④有向線段就是向量;⑤單位向量大于零向量.其中正確說法的序號是

.

解析:直角坐標平面上的x軸、y軸是數(shù)軸,但不是向量,故①錯誤;由零向量的定義可知②正確;若a,b都是單位向量,則它們的模相等,但不一定方向相同,故③錯誤;有向線段可以用來表示向量,但它不是向量,故④錯誤;單位向量的模大于零向量的模,但不能說單位向量大于零向量,向量之間不能比較大小,故⑤錯誤.答案:②探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1給出以下說法:①探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測平面向量的表示例2在如圖所示的坐標紙上(每個小方格的邊長均為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:分析先確定起點,再根據(jù)大小和方向確定出終點,即可畫出向量.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測平面向量的表示分析先確定起探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

向量的表示方法(1)幾何法:準確畫出向量的方法是先確定向量的起點,再確定向量的方向,最后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.(2)字母法表示向量的注意事項:在書寫字母表示向量時不要忘記字母上的箭頭.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量的表示方法探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖,B,C是線段AD的三等分點,分別以圖中各點為起點和終點,可以寫出

個向量.

解析:由向量的幾何表示可知,可以寫出12個向量,它們分別是答案:12探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖,B,C是線探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測尋找相等向量和共線向量例3如圖所示,四邊形ABCD為邊長為3的正方形,把各邊三等分后,共有16個交點,從中選取兩個交點作為向量的起點和終點,則與

平行且長度為2的向量有哪些?(在圖中標出相關(guān)字母,寫出這些向量)分析所求向量有以下兩個特征:(1)表示此向量的有向線段所在直線與AC平行或重合.(2)長度等于邊長為2的正方形的對角線的長度.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測尋找相等向量和共線向量分析探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量:先找與已知向量長度相等的向量,再確定哪些與已知向量同向.(2)尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點,起點為終點的向量.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟相等向量與共線探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測數(shù)形結(jié)合思想在向量中的應用典例已知A1,A2,…,A8是圓O的八個等分點,則在以A1,A2,…,A8以及圓心這九個點中的任意兩點為起點與終點的向量中,模等于半徑長的向量有多少個?模等于半徑長的

倍的向量有多少個?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測數(shù)形結(jié)合思想在向量中的應用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(2)以A1,A2,…,A8的一部分點為頂點的圓O的內(nèi)接正方形有兩個,一個是正方形A1A3A5A7,另一個是正方形A2A4A6A8.在所有的向量中,只有這兩個正方形的邊(看成有向線段,每一邊對應兩個向量)的長度為半徑長的

倍,所以模為半徑長的

倍的向量共有4×2×2=16(個).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(2)以A1,A2,…,A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.下列各量中是向量的是(

)A.時間 B.速度

C.面積 D.長度解析:速度既有大小又有方向,是向量,其余均是數(shù)量.答案:B2.給出以下說法:①零向量的長度為零,方向是任意的;②共線向量是在同一條直線上的向量;③向量

相等;④若兩個向量是相等向量,則它們一定是共線向量.其中正確說法的序號是(

)A.①④ B.② C.①③④ D.②③解析:根據(jù)零向量的定義可知①正確;共線向量可以是在同一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量,故②錯誤;向量

模相等,方向相反,故③錯誤.④顯然正確,故選A.答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.下列各量中是向量的是(探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測5.如圖,在正方形ABCD中,M,N分別為AB和CD的中點,在以A,B,C,D,M,N為起點與終點的所有有向線段表示的向量中,相等的非零向量共有多少對?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測5.如圖,在正方形ABCD探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測6.2.1向量的加法運算6.2.2

向量的減法運算

6.2.3

向量的數(shù)乘運算6.2.4

向量的數(shù)量積

6.2平面向量的運算6.2.1向量的加法運算6.2.2向量的減法運算6.2知識點一、向量的加法及其運算法則1.向量加法的定義:求兩個向量和的運算,叫做向量的加法,兩個向量的和仍然是一個向量.6.2.1向量的加法運算知識點一、向量的加法及其運算法則6.2.1向量的加法運算新教材-人教A版高中數(shù)學必修第二冊-第六章-平面向量及其應用課件4.三角形法則與平行四邊形法則的記憶口訣:(1)三角形法則:作平移,首尾連,由起點指終點;(2)平行四邊形法則:作平移,共起點,四邊形,對角線.5.規(guī)定:對于零向量與任意向量a,規(guī)定:a+0=0+a=a.4.三角形法則與平行四邊形法則的記憶口訣:點析

向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別與實質(zhì)區(qū)別有兩個:(1)三角形法則中強調(diào)“首尾相接”,平行四邊形法則中強調(diào)的是“共起點”;(2)三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和,而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個向量求和.三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半,當兩個向量不共線時,兩種加法法則在本質(zhì)上是一致的.點析向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別與實質(zhì)微思考

當向量a,b是兩個非零的共線向量時,如何求兩個向量的和向量?提示:當向量a,b是共線向量時,不能用平行四邊形法則作出兩個向量的和向量,但可以用三角形法則作出兩個向量的和向量,分兩向量同向和反向兩種情形:①同向微思考②反向

②反向微練習判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.(1)對于任意兩個向量,都可利用平行四邊形法則求出它們的和向量.(

)(2)如果a,b是共線的非零向量,那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同.(

)(3)若a+b=0,則a=0且b=0.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×微練習知識點二、向量加法的運算律1.向量加法的交換律:a+b=b+a.2.向量加法的結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c.微練習

知識點二、向量加法的運算律微練習知識點三、|a+b|與|a|,|b|之間的關(guān)系對任意兩個向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當a,b方向相同時等號成立.微練習解析:根據(jù)公式|a+b|≤|a|+|b|直接計算可得.答案:13知識點三、|a+b|與|a|,|b|之間的關(guān)系微練習探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測已知向量作和向量例1如圖,已知向量a,b,c不共線,作向量a+b+c.分析利用三角形法則或平行四邊形法則→先作出兩個向量的和向量→再作出三個向量的和向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測已知向量作和向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

求作和向量的方法(1)利用三角形法則.在平面內(nèi)任取一點,以該點為始點,將兩向量平移到首尾相接,從該始點到另外一個終點的向量就是這兩個向量的和.一定要注意首尾相接.(2)利用平行四邊形法則.在平面內(nèi)任取一點,從此點出發(fā)分別作兩個向量等于已知向量,以這兩個向量所在線段為鄰邊作平行四邊形,以所取的點為始點的對角線所對應的向量就是這兩個向量的和.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟求作和向量的方探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量加法運算或化簡分析根據(jù)向量加法的交換律變?yōu)槭孜蚕嘟拥南蛄?然后利用結(jié)合律求解.反思感悟

解決向量加法運算時應關(guān)注兩點(1)可以利用向量的幾何表示,畫出圖形進行化簡或計算.(2)要靈活運用向量加法運算律,注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順序,特別注意勿將0寫成0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量加法運算或化簡反思感悟探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖,四邊形ABDC為等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E為CD的中點.試求:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖,四邊形AB探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量加法法則解決實際問題例3在某地抗震救災中,一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達B地接到受傷人員,然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院,求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和.分析解答本題先正確畫出方位圖,再根據(jù)圖形借助于向量求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量加法法則解決實際問探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

向量加法應用的關(guān)鍵及技巧(1)三個關(guān)鍵:一是搞清構(gòu)成平面圖形的向量間的相互關(guān)系;二是熟練找出圖形中的相等向量;三是能根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則作出向量的和向量.(2)應用技巧:①準確畫出幾何圖形,將幾何圖形中的邊轉(zhuǎn)化為向量;②將所求問題轉(zhuǎn)化為向量的加法運算,進而利用向量加法的幾何意義進行求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量加法應用的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

本例中,這架飛機到達C地醫(yī)院后,往正南方向飛行多大距離即可由此按正西方向飛回A地?解:如圖,由點C作垂線,垂足為D,因為∠BAC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,在Rt△ACD中,CD=ACsin

10°=800sin

10°(km).即往正南方向飛行800sin

10°

km,即可由此按正西方向飛回A地.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究本例中,這架飛機探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛(1)本題主要考查向量加法的多邊形法則和零向量.由于正n邊形繞圓心O旋轉(zhuǎn)

角度時,雖然各向量方向都改變了,但模沒有改變,正n邊形的位置不變,其和向量也沒有改變,由此判斷和向量為0.(2)零向量的方向是任意的,且零向量的模為0.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛(1)本題主要考查探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.若向量a表示向東北方向走5km,向量b表示向西北方向走5km,則向量a+b表示(

)A.向正北方向走5km B.向正北方向走5kmC.向正南方向走5km D.向正南方向走5km解析:由向量加法的平行四邊形法則可知,向量a+b表示向正北方向走5

km.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.若向量a表示向東北方向探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.下列等式錯誤的是(

)A.a+0=0+a=a答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.下列等式錯誤的是(探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:1探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:1探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,F為線段DE延長線上一點,DE∥BC,AB∥CF,連接CD,那么(在橫線上只填上一個向量):探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.如圖,在△ABC中,D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測5.如圖所示,設O為正六邊形ABCDEF的中心,化簡下列各式:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測5.如圖所示,設O為正六邊知識點一、相反向量

定義與向量a長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量性質(zhì)①零向量的相反向量仍是零向量②a+(-a)=(-a)+a=0③如果a,b互為相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=06.2.2

向量的減法運算知識點一、相反向量定義與向量a長度相等,方向相反的向量,叫微練習如圖,四邊形ABCD

是平行四邊形,AC與BD相交于點O,下列互為相反向量的是(

)答案:C微練習答案:C知識點二、向量減法運算及其幾何意義

定義a-b=a+(-b),即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量作法已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點O,作=a,=b,則=a-b.如圖所示幾何意義如果把兩個向量a,b的起點放在一起,則a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量知識點二、向量減法運算及其幾何意義定義a-b=a+(-b)點析

(1)若向量a,b為非零不共線向量,則a,b與a-b圍成三角形,故稱這種作兩向量差的方法為向量減法的三角形法則.(2)求兩個向量的差就是要把兩個向量的始點放在一起,它們的差是以減向量的終點為始點,以被減向量的終點為終點的向量,可簡記為“共始點,連終點,指向被減.”點析微思考

當兩個非零向量a,b共線時,如何作圖得a-b?微思考微練習如圖,在正方形ABCD中,對角線相交于點O,則有:微練習探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量減法的幾何意義例1(1)如圖①所示,四邊形ABCD中,A.a-b+c

B.b-(a+c)C.a+b+c D.b-a+c(2)如圖②所示,已知向量a,b,c不共線,求作向量a+b-c.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量減法的幾何意義探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

求作兩個向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可.(2)也可以直接用向量減法的三角形法則,即把兩向量的起點重合,則差向量為連接兩個向量的終點,指向被減向量的終點的向量.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟求作兩個向量的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1如圖所示,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1如圖所示,已知向探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量的加法與減法運算例2化簡下列各向量的表達式:分析按照向量加法和減法的運算法則進行化簡,進行減法運算時,必須保證兩個向量的起點相同.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量的加法與減法運算探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

向量加減法化簡的兩種形式(1)首尾相連且為和;(2)起點相同且為差.做題時要注意觀察是否有這兩種形式,同時要注意逆向應用.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量加減法化簡探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2化簡下列向量表達式:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2化簡下列向量表達探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量減法幾何意義的應用A.菱形

B.矩形C.正方形 D.不確定探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量減法幾何意義的應用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

1.用向量法解決平面幾何問題的步驟(1)將平面幾何問題中的量抽象成向量.(2)轉(zhuǎn)化為向量問題,進行向量運算.(3)將向量問題還原為平面幾何問題.2.用向量法證明四邊形為平行四邊形的方法和解題關(guān)鍵(1)利用向量證明線段平行且相等,從而證明四邊形為平行四邊形,只需證明對應有向線段所表示的向量相等即可.(2)根據(jù)圖形靈活運用向量的運算法則,找到向量之間的關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟1.用向量法解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用已知向量表示未知向量典例如圖,解答下列各題:探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測利用已知向量表示未知向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛利用已知向量表示其他向量的一個關(guān)鍵及三點注意(1)一個關(guān)鍵關(guān)鍵是確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化渠道.(2)三點注意①注意相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形三向量之間的關(guān)系;②注意應用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律;③注意在封閉圖形中利用多邊形法則.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測方法點睛利用已知向量表示其探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.若非零向量a,b互為相反向量,則下列說法錯誤的是(

)A.a∥b

B.a≠bC.|a|≠|(zhì)b|

D.b=-a解析:根據(jù)相反向量的定義,大小相等,方向相反,可知|a|=|b|.答案:C答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.若非零向量a,b互為相探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測3.如圖,在△ABC中,D為BC的中點,則下列結(jié)論錯誤的是(

)答案:C答案:0探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測3.如圖,在△ABC中,D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測知識點一、向量的數(shù)乘運算

定義一般地,我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa長度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向與a的方向相同λ<0λa的方向與a的方向相反規(guī)定當λ=0或a=0時,λa=0點析

(1)λa的幾何意義就是把向量a沿著與a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸長(|λ|>1)或縮短(|λ|<1)到原來的|λ|倍或|λ|.(2)要注意實數(shù)與向量可以求積,但是不能進行加減運算,如:2+a,1-0無意義.6.2.3

向量的數(shù)乘運算知識點一、向量的數(shù)乘運算定義一般地,我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a微練習

微練習知識點二、數(shù)乘向量的運算律1.數(shù)乘向量的運算律(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.2.向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.向量線性運算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量a,b,以及任意實數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.知識點二、數(shù)乘向量的運算律微練習已知向量a,請通過作圖判斷以下結(jié)論是否成立.(1)3(2a)=6a;

(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.

微練習新教材-人教A版高中數(shù)學必修第二冊-第六章-平面向量及其應用課件知識點三、共線向量定理1.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ,使b=λa.2.要證明向量a(a≠0),b共線,只需證明存在實數(shù)λ,使得b=λa即可.名師點析

該定理中a≠0的原因(1)若a=b=0,則實數(shù)λ存在,但λ并不唯一,此時定理不成立.(2)若b≠0,a=0,則不存在實數(shù)λ,使b=λa,此時定理也不成立.知識點三、共線向量定理微練習若向量e1,e2不共線,則下列各組中,向量a,b共線的有

.(填序號)

①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.解析:①中,a=-b,所以a,b共線;②中,b=-2a,所以a,b共線;③中,a=4b,所以a,b共線;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共線.答案:①②③微練習探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量的線性運算例1(1)化簡下列各向量表達式:(2)已知2x+3y=a,x-4y=2b,試用a,b表示x,y.分析(1)根據(jù)向量的線性運算法則求解.(2)運用實數(shù)的二元一次方程組的解法求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量的線性運算探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

向量數(shù)乘運算的方法向量的數(shù)乘運算類似于多項式的代數(shù)運算,如實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”指向量,實數(shù)看作是向量的系數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量數(shù)乘運算的探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示為a=

,b=

.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測A.2a-b B.2b-a探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測用已知向量表示未知向量

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測用已知向量表示未知向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分析先用向量加減法的幾何意義設計好總體思路,然后利用平面圖形的特征和數(shù)乘向量的幾何意義表示.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測分析先用向量加減法的幾何意探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

用已知向量表示其他向量的一般步驟

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟用已知向量表示探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

本例(1)中,設AC與BD相交于點O,F是線段OD的中點,AF的延長線交DC于點G,試用a,b表示探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究本例(1)中,設探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量共線問題

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測向量共線問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

1.證明或判斷三點共線的方法2.利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實數(shù)λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共線求λ,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應向量系數(shù)相等求解,利用待定系數(shù)法建立方程,從而解方程求得λ的值.若兩向量不共線,必有向量的系數(shù)為零.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟1.證明或判斷探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(1)求證:A,B,M三點共線;(2)若點B在線段AM上,求實數(shù)λ的取值范圍.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測(1)求證:A,B,M三點探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解決三角形的四心問題

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測解決三角形的四心問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.設a是非零向量,λ是非零實數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a與λa的方向相同 B.a與-λa的方向相反C.a與λ2a的方向相同 D.|λa|=λ|a|解析:因為λ≠0,所以λ2>0,于是向量a與λ2a的方向相同.答案:C2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(

)A.a-2b B.aC.a-6b D.a-8b解析:原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.設a是非零向量,λ是非探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.已知兩個非零向量a,b不共線,且ka+3b與2a+kb共線,求實數(shù)k的值.解:因為ka+3b與2a+kb共線,所以存在實數(shù)λ,使ka+3b=λ(2a+kb),即ka+3b=2λa+λkb,即(k-2λ)a=(λk-3)b.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.已知兩個非零向量a,b探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測知識點一、向量數(shù)量積的定義1.向量a與向量b的夾角(1)夾角的定義:已知兩個非零向量a,b,O是平面上的任意一點,作6.2.4

向量的數(shù)量積知識點一、向量數(shù)量積的定義6.2.4向量的數(shù)量積2.向量的數(shù)量積(1)定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cosθ.(2)零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(3)向量數(shù)量積的大小與兩個向量的長度及其夾角有關(guān).名師點析

兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種運算,與實數(shù)乘實數(shù)、數(shù)乘向量的乘法有著本質(zhì)的區(qū)別,書寫時一定要注意用a·b表示,不能用a×b或ab表示.2.向量的數(shù)量積微思考

兩個向量的數(shù)量積結(jié)果是向量還是數(shù)量?提示:是數(shù)量.微練習答案:(1)-2

(2)8微思考答案:(1)-2(2)8知識點二、向量a在向量b上的投影向量

知識點二、向量a在向量b上的投影向量新教材-人教A版高中數(shù)學必修第二冊-第六章-平面向量及其應用課件微練習(1)若|a|=3,|b|=4,a與b的夾角是120°,與b方向相同的單位向量為e,則向量a在向量b上的投影向量為

.

(2)若a·b=-6,|a|=8,與a方向相同的單位向量為e,則向量b在向量a上的投影向量為

.

微練習知識點三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b=0.(3)當a與b同向時,a·b=|a||b|;當a與b反向時,a·b=-|a||b|.特別知識點三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)微練習已知|a|=7,則a·a=

.

解析:a·a=|a|2=72=49.答案:49微練習知識點四、平面向量數(shù)量積的運算律

交換律a·b=b·a數(shù)乘的結(jié)合律(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)分配律(a+b)·c=a·c+b·c名師點析

(1)向量數(shù)量積的運算不適合約分,即a·b=a·cb=c.(2)向量數(shù)量積運算也不適合結(jié)合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個與a共線的向量.知識點四、平面向量數(shù)量積的運算律交換律a·b=b·a數(shù)乘的微練習

答案:(1)A

(2)A微練習答案:(1)A(2)A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求平面向量的數(shù)量積角度1

數(shù)量積的簡單計算例1已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為120°,求:(1)a·b;(2)a2-b2;(3)(2a-b)·(a+3b).分析依據(jù)數(shù)量積、模、夾角的定義→逐一進行計算即可(2)a2-b2=|a|2-|b|2=4-9=-5.(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2=2|a|2+5|a||b|cos

120°-3|b|2=8-15-27=-34.反思感悟

求向量的數(shù)量積時,需明確兩個關(guān)鍵點:相關(guān)向量的模和夾角.若相關(guān)向量是兩個或兩個以上向量的線性運算,則需先利用向量數(shù)量積的運算律及多項式乘法的相關(guān)公式進行化簡.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求平面向量的數(shù)量積探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測角度2

幾何圖形中向量數(shù)量積的計算例2(2019天津高考)在四邊形ABCD中,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測角度2幾何圖形中向探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:-1探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:-1探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

平面向量的數(shù)量積在平面幾何中的應用(1)解決幾何圖形中的向量的數(shù)量積運算問題,要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟平面向量探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求向量的投影向量例3如圖,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是邊BC的中點,求:探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測求向量的投影向量探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

投影向量的求解策略求投影向量要搞清是求哪一個向量在哪一個向量上的投影向量,在正確理解其定義的同時,找準兩向量之間的夾角是關(guān)鍵.確定兩向量的夾角時,一定要注意“共始點”.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟投影向量探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測向量模的相關(guān)問題角度1

利用數(shù)量積求向量的模例4(1)已知向量a,b滿足|a|=|b|=5,且a與b的夾角為60°,則|2a+b|=

.

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測向量模的相關(guān)問題探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

向量模的求解方法根據(jù)數(shù)量積的定義a·a=|a||a|cos

0°=|a|2,得

這是求向量的模的一種方法.即要求一個向量的模,先求這個向量與自身的數(shù)量積(一定非負),再求它的算術(shù)平方根.對于復雜的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)·(a+b),再取其算術(shù)平方根即為|a+b|.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量模的探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|.解:因為|a+b|=4,所以|a+b|2=42,所以a2+2a·b+b2=16.①因為|a|=2,|b|=3,所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.又因為(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知向量a探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測角度2

與模有關(guān)的最值問題例5(1)若平面向量a,b,c滿足:|a|=|c|=1,|b|=2,且c·(a-b)=0,則|b-c|的取值范圍是(

)(2)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,則|a+b-c|的最小值為(

)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測角度2與模有關(guān)的最探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

向量模的最值問題的求法涉及向量模的最值問題,一般是把模平方,利用平面向量的數(shù)量積運算,把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個量的函數(shù),進而求出最值.需要掌握向量模的一些簡單幾何意義:①|(zhì)a|為正值,則說明當表示向量的有向線段的起點確定后,其終點在以起點為圓心,以|a|為半徑的圓上運動;②若|a+b|=|a-b|,則有a⊥b;③若(a+b)·(a-b)=0,則|a|=|b|.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟向量模的探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4若兩個單位向量a,b的夾角為120°,k∈R,則|a-kb|的最小值為(

)答案:B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練4若兩個單位探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用數(shù)量積解決向量的夾角與垂直問題例6(1)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,則a與b的夾角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°(2)已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,求a與a+b的夾角及a與a-b的夾角.分析(1)將已知條件展開變形后利用數(shù)量積的定義求解.(2)可采用數(shù)形結(jié)合的方法構(gòu)造平面圖形求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用數(shù)量積解決向量的探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(1)解析:因為(2a+b)⊥b,所以(2a+b)·b=0,所以2a·b+|b|2=0.設a,b的夾角為θ,則2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又|a|=|b|,所以2|b|2cos

θ+|b|2=0,因此cos

θ=-,從而θ=120°.選C.答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(1)解析:因為(2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

求平面向量夾角的方法(1)求向量的夾角,主要是利用公式cos

θ=求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,a·b三者之間的關(guān)系,然后代入求解.(2)求向量的夾角,還可結(jié)合向量線性運算、模的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟求平面向探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究

本例(1)中,若非零向量a,b的夾角為60°,且|a|=|b|,當(a+2b)⊥(ka-b)時,求實數(shù)k的值.解:因為(a+2b)⊥(ka-b),所以(a+2b)·(ka-b)=0,即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究本例(1)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量的數(shù)量積判斷幾何圖形的形狀A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形ABC的形狀是(

)A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.以上都不對探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測利用向量的數(shù)量積判斷探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:(1)B

(2)A探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:(1)B(2探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

能夠?qū)?/p>

,并熟練地運用向量的減法,是本題獲解的關(guān)鍵.依據(jù)向量的數(shù)量積的有關(guān)知識判斷平面圖形的形狀的關(guān)鍵是由已知條件建立向量的數(shù)量積、模、夾角等之間的關(guān)系,其中移項、平方是常用手段,可以出現(xiàn)向量的數(shù)量積及模等信息.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟能夠?qū)⑻骄恳惶骄慷骄咳骄克乃仞B(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:B2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夾角為30°,則a在b上的投影向量的模為(

)答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:B2.若|a探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.若向量a與b的夾角為60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,則|a|=(

)A.2 B.4 C.6 D.12解析:因為(a+2b)·(a-3b)=-72,所以a2-a·b-6b2=-72,即|a|2-|a||b|cos

60°-6|b|2=-72,所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6.答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.若向量a與b的夾探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測5.已知兩個單位向量a,b的夾角為60°,若(2a+b)⊥(a+λb),則λ=

.

解析:∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)·(a+λb)=0,∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0.∵|a|=|b|=1,且a與b的夾角為60°,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測5.已知兩個單位向量探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:22探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測答案:226.3.1

平面向量基本定理

6.3.2

平面向量的正交分解及坐標表示6.3.3

平面向量加、減運算的坐標表示

6.3.4

平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

6.3.5

平面向量數(shù)量積的坐標表示

6.3平面向量基本定理及坐標表示6.3.1平面向量基本定理

6.3.2平面向量的正交分解知識點一、平面向量基本定理

定理條件e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2基底若e1,e2不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底點析

對平面向量基本定理的理解(1)基底具備兩個主要特征:①基底是由兩個不共線的向量構(gòu)成的;②基底的選擇是不唯一的.(2)基底e1,e2確定后,平面內(nèi)任一向量a的分解式是唯一的,特別地,a1e1+a2e2=0時,恒有a1=a2=0.(3)用向量解決幾何問題時,可以選擇適當?shù)幕?將問題中涉及的向量向基底化歸.知識點一、平面向量基本定理定理條件e1,e2是同一平面內(nèi)的微思考

a=λ1e1+λ2e2中的一對實數(shù)λ1,λ2是否唯一?提示:當e1,e2不共線時,由平面向量基本定理知,λ1,λ2是唯一的;當e1,e2共線時,λ1,λ2不唯一.微練習下列說法正確的是(

)A.平面內(nèi)的任一向量a,都可以用平面內(nèi)的兩個非零向量e1,e2表示B.當a與兩個不共線的非零向量e1,e2之一平行時,a不能用e1,e2表示C.零向量可以作為基底中的向量D.平面內(nèi)的基底是不唯一的解析:根據(jù)平面向量基本定理可知,只要是不共線的兩個向量就可以作為基底,因此基底是不唯一的.答案:D微思考知識點二、平面向量的正交分解及坐標表示1.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐標表示(1)基底:在平面直角坐標系中,設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底.(2)坐標:對于平面內(nèi)的任意一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=xi+yj.這樣,平面內(nèi)的任一向量a都可由x,y唯一確定,我們把有序?qū)崝?shù)對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y),其中,x叫做a在

x軸上的坐標,y叫做向量a在

y軸上的坐標.(3)坐標表示:a=(x,y)叫做向量a的坐標表示.(4)特殊向量的坐標:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).知識點二、平面向量的正交分解及坐標表示微思考

在直角坐標平面內(nèi),O為原點,向量

的坐標與點A的坐標有什么關(guān)系?微練習在平面直角坐標系中,若i,j是與x軸、y軸正方向相同的單位向量,且a=2i-6j,b=5j,c=-4i,則向量a,b,c的坐標分別是

,

,

.

答案:(2,-6)

(0,5)

(-4,0)微思考探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測對平面向量基本定理的理解例1給出下列說法:①若向量e1,e2不共線,則平面內(nèi)的零向量不能用e1,e2表示;②若向量e1,e2共線,則平面內(nèi)任一向量a都不能用e1,e2表示為a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式;③若向量e1,e2是一組基底,則e1+e2與e1-e2也可以作為一組基底.其中正確說法的序號是

.

解析:①錯誤.零向量也可以用一組基底來線性表示.②錯誤.當e1,e2共線時,平面內(nèi)的有些向量可以表示為λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,有些向量則不可以.③正確.當e1,e2不共線時,e1+e2與e1-e2一定不共線,可以作為基底.答案:③探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測對平面向量基本定理的理解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

平面向量基本定理的四個要點①不共線的向量e1,e2;②平面內(nèi)的任意向量a;③存在唯一一對實數(shù)λ1,λ2;④a=λ1e1+λ2e2.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟平面向量基本定探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測A.①② B.①③

C.①④ D.③④

答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測A.①② B.①③ C.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測平面向量基本定理的應用例2在△ABC中.分析根據(jù)平面向量基本定理,結(jié)合向量的線性運算進行求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測平面向量基本定理的應用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟

用基底表示向量的方法將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟用基底表示向量探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測平面向量的坐標表示例3已知i,j分別是與x軸、y軸正方向相同的單位向量,a=3i-2j,b=-i+5j,求向量a+4b的坐標.分析將a+4b先用i,j表示,再轉(zhuǎn)化為坐標的形式.解:因為a=3i-2j,b=-i+5j,所以a+4b=(3i-2j)+4(-i+5j)=3i-2j-4i+20j=-i+18j,因此向量a+4b的坐標為(-1,18).反思感悟

求平面向量坐標的方法(1)若i,j是分別與x軸、y軸同方向的單位向量,則當a=xi+yj時,向量a的坐標即為(x,y).(2)求向量的坐標一般轉(zhuǎn)化為求點的坐標.解題時,常常結(jié)合幾何圖形,利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進行計算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測平面向量的坐標表示探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測巧用直線的向量參數(shù)方程式解題

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測巧用直線的向量參數(shù)方程式解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.設{e1,e2}是平面內(nèi)一個基底,則(

)A.零向量不能用e1,e2表示B.對實數(shù)λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在該平面內(nèi)C.對平面內(nèi)任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實數(shù)λ1,λ2有無數(shù)對D.若實數(shù)λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0解析:由平面向量基本定理可知D項正確,這是由于0=0e1+0e2,而λ1,λ2是唯一的,所以λ1=λ2=0.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測1.設{e1,e2}是平面探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.已知

=(-2,4),則下面說法正確的是(

)A.點A的坐標是(-2,4)B.點B的坐標是(-2,4)C.當B是原點時,點A的坐標是(-2,4)D.當A是原點時,點B的坐標是(-2,4)解析:由任一向量的坐標的定義可知,當點A是原點時,點B的坐標是(-2,4).答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測2.已知=探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測答案:A探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.已知e1,e2不共線,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若{a,b}不能作為基底,則k等于

.

答案:1探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當堂檢測4.已知e1,e2不共