連續(xù)時(shí)間Fourier變換 課件

第4章連續(xù)時(shí)間Fourier變換第4章連續(xù)時(shí)間Fourier變換上一章，我們研究了如何把周期信號(hào)分解為指數(shù)信號(hào)的線形疊加，這樣對(duì)于我們的信號(hào)處理是非常方便的。同時(shí)，也看到這一表示是如何用來描述LTI系統(tǒng)對(duì)這些信號(hào)的作用效果的。那么，能否對(duì)非周期信號(hào)進(jìn)行類似的處理？本章便是研究由周期信號(hào)推導(dǎo)到非周期信號(hào)的擴(kuò)展。2而對(duì)于非周期信號(hào)，它們則是在頻率上無限小地靠近的。將會(huì)看到，相當(dāng)廣泛的一類信號(hào)，其中包括全部有限能量的信號(hào)，也能夠經(jīng)由復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來表示。1對(duì)周期信號(hào)而言，這些復(fù)指數(shù)基本信號(hào)構(gòu)造單元全是成諧波關(guān)系的；4.0引言上一章，我們研究了如何把周期信號(hào)分解為指數(shù)信號(hào)的線形因此，作為線性組合表示所取的形式是一個(gè)積分，而不是求和。

處理原則：一個(gè)非周期信號(hào)能夠看成是周期無限長(zhǎng)的周期信號(hào)。在這種表示中所得到的系數(shù)譜稱為Fourier變換；而利用這些系數(shù)將信號(hào)表示為復(fù)指數(shù)信號(hào)線性組合的綜合積分本身則稱之為Fourier反變換。

更加確切些就是，在一個(gè)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示中，當(dāng)周期增加時(shí)，基波頻率就減少，成諧波關(guān)系的各分量在頻率上愈趨靠近。當(dāng)周期變成無窮大時(shí)，這些頻率分量就形成一個(gè)連續(xù)域，從而Fourier級(jí)數(shù)的求和也就變成了一個(gè)積分。因此，作為線性組合表示所取的形式是一個(gè)積分，而不是求傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——4.1非周期信號(hào)的表示：連續(xù)時(shí)間傅立葉變換為了對(duì)Fourier變換表示的實(shí)質(zhì)求得更深入地了解，我們先由研究過的連續(xù)時(shí)間方波的Fourier級(jí)數(shù)表示入手。該信號(hào)的基波周期是T，基波頻率就為.該方波信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)為：4.1非周期信號(hào)的表示：連續(xù)時(shí)間傅立葉變換為了對(duì)Fo圖4.2周期方波的Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)及其包絡(luò)，T1固定。T=8T1T=4T1T=16T1圖4.2周期方波的Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)及其包絡(luò)，T1固定-T/2T/2T/2-T/2頻譜演變的定性觀察-T/2T/2T/2-T/2頻譜演變的定性觀察

-T0T….….對(duì)非周期信號(hào)建立Fourier表示的基本思想當(dāng)周期信號(hào)的周期T趨于∞時(shí),就演變成了非周期信號(hào)-T頻率也變成連續(xù)變量。對(duì)周期信號(hào)當(dāng)周期信號(hào)的周期T趨于∞時(shí),就演變成了非周期信號(hào)頻率也變成連續(xù)變量。對(duì)周期信號(hào)當(dāng)周期信號(hào)的周期T趨于∞時(shí),傅立葉變換傅立葉逆變換（4月14日）傅立葉傅立葉（4月14日）與之間的關(guān)系：

周期信號(hào)的頻譜是非周期信號(hào)頻譜的抽樣；而非周期信號(hào)的頻譜是周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)。與之間的關(guān)系：周期信號(hào)的頻其中綜合公式4-8是由一個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻域表達(dá)式X(jω)求得其時(shí)域表達(dá)式x(t)的公式，稱為傅立葉反變換式。分析公式4－9是由一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式x(t)求得其頻域表達(dá)式X(jω)的公式，稱為傅立葉變換或傅立葉積分。由此得到非周期信號(hào)的傅立葉變換公式：當(dāng)時(shí)：Fourier變換對(duì)其中綜合公式4-8是由一個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻域表達(dá)式X(jω)這種一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式x(t)和頻域表達(dá)式X(jω)之間通過傅立葉變換與反變換建立聯(lián)系x(t)←→X(jω)，稱之為一個(gè)傅立葉變換對(duì).注意：1時(shí)域表達(dá)式x(t)是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，表達(dá)的是在不同時(shí)間點(diǎn)函數(shù)幅度值的不同，自變量為時(shí)間t；

2頻域表達(dá)式X(jω)表達(dá)的是把信號(hào)分解為不同頻率的指數(shù)信號(hào)的組合（只不過這些指數(shù)信號(hào)的頻率變化是連續(xù)的），這些不同頻率的指數(shù)信號(hào)在總信號(hào)中所占分量的大小,自變量為頻率ω。

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兩者都是同一信號(hào)的不同表達(dá)方式，而不是不同的信號(hào)。兩者之間的轉(zhuǎn)換（即傅立葉變換與反變換）也是同一信號(hào)的由時(shí)域表達(dá)式推導(dǎo)頻域表達(dá)式或由頻域表達(dá)式推導(dǎo)時(shí)域表達(dá)式的過程。這種一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式x(t)和頻域表達(dá)式X(jω)之

(a)X(ω)是一個(gè)密度函數(shù)的概念(b)X(ω)是一個(gè)連續(xù)譜(c)X(ω)包含了從零到無限高 頻的所有頻率分量(d)各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系。注意：綜合公式(4.8)對(duì)非周期信號(hào)所起的作用與(3.38)式對(duì)周期信號(hào)的作用相同，因?yàn)閮烧叨枷喈?dāng)于把一個(gè)信號(hào)表示為一組復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。(a)X(ω)是一個(gè)密度函數(shù)的概念注意：綜合如果某非周期信號(hào)的總能量（即時(shí)域絕對(duì)值平方積分)有限,即則該信號(hào)傅立葉變換收斂?；蛘撸瑫r(shí)滿足下列三個(gè)條件的信號(hào)傅立葉變換也收斂：1在整個(gè)定義域絕對(duì)可積:2任何有限區(qū)間只有有限個(gè)起伏;3任何有限區(qū)間只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且每個(gè)不連續(xù)點(diǎn)都是有限值。4.12Fourier變換的收斂如果某非周期信號(hào)的總能量（即時(shí)域絕對(duì)值平方積分)有限,即4盡管這兩組條件都給出了一個(gè)信號(hào)存在Fourier變換的充分條件，但是下一節(jié)將會(huì)看到，倘若在變換過程中可以使用沖激函數(shù)，那么，在一個(gè)無限區(qū)間內(nèi)，既不絕對(duì)可積，又不具備平方可積的周期信號(hào)也可以認(rèn)為具有Fourier變換。這樣，就有可能把Fourier級(jí)數(shù)和Fourier變換納入到統(tǒng)一的框架內(nèi)。盡管這兩組條件都給出了一個(gè)信號(hào)存在Fourier變換的充4.1.3連續(xù)時(shí)間Fourier變換舉例4.1.3連續(xù)時(shí)間Fourier變換舉例一．矩形脈沖信號(hào)幅度頻譜：相位頻譜：一．矩形脈沖信號(hào)幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：二．單邊指數(shù)信號(hào)二．單邊指數(shù)信號(hào)頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：三．直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接用定義求三．直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接用定義求時(shí)域無限寬，頻帶無限窄時(shí)域無限寬，頻帶無限窄證明wO證明wO四．符號(hào)函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個(gè)雙邊函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件四．符號(hào)函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個(gè)雙邊函數(shù)不滿足絕頻譜圖頻譜圖五．升余弦脈沖信號(hào)五．升余弦脈沖信號(hào)頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。六．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對(duì)可積條件，不能用定義求。六．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不雖然在上一節(jié)我們的注意力主要是集中在非周期信號(hào)上，其實(shí)對(duì)于周期信號(hào)也能夠建立Fourier變換表示。這樣一來，就可以在統(tǒng)一框架內(nèi)考慮周期和非周期信號(hào)。事實(shí)上將會(huì)看到：4.2周期信號(hào)的傅立葉變換

1可以直接由周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示構(gòu)造出一個(gè)周期信號(hào)的Fourier變換；2所得到的變換在頻域是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于Fourier系數(shù)。雖然在上一節(jié)我們的注意力主要是集中在非周期信號(hào)上，其實(shí)對(duì)顯然，周期信號(hào)是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信號(hào)x(t)代入傅立葉變換公式，得到的積分結(jié)果也是無窮大。那么如何求它的傅立葉變換？教材上通過傅立葉反變換來求的。由于周期信號(hào)的傅立葉變換應(yīng)當(dāng)正比于其傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)，且根據(jù)計(jì)算又是無窮大，我們猜測(cè)是一個(gè)沖激。因此通過求頻域沖激信號(hào)的傅立葉反變換。

顯然，周期信號(hào)是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信考慮一個(gè)信號(hào)x(t)，其Fourier變換X(jw)是一個(gè)面積為出現(xiàn)在處的單獨(dú)的一個(gè)沖激，即由(4.8)式的反變換公式得到：將上面結(jié)果再加以推廣，如果X(jw)是在頻率上等間隔的一組沖激函數(shù)的線性組合，即那么利用(4.8)式，可得：考慮一個(gè)信號(hào)x(t)，其Fourier變換X(jw)是一因此，一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)為的周期信號(hào)的Fourier交換，可以看成是出現(xiàn)在成諧波關(guān)系的頻率上的一串沖激函數(shù)，發(fā)生于第k次諧波頻率上的沖激函數(shù)的面積是第k個(gè)Fourier級(jí)數(shù)系統(tǒng)的倍。因此，一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)為的周期信號(hào)例4.6再次考慮圖4.1的方波信號(hào)，其Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)為：因此，該信號(hào)的Fourier變換X(jw)是：例4.6再次考慮圖4.1的方波信號(hào)，其Fourier級(jí)數(shù)系不同的僅僅是比例因子以及用的是沖激函數(shù)而不是條線圖不同的僅僅是比例因子以及用的是沖激函數(shù)而不是條線圖4.3連續(xù)時(shí)間Fourier變換性質(zhì)本節(jié)主要介紹了連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以由兩大公式本身的運(yùn)算推導(dǎo)出來。熟練掌握不但有利于我們進(jìn)行變換與反變換，更有利于我們運(yùn)用傅立葉變換，解決以后的一些實(shí)際問題。4.3連續(xù)時(shí)間Fourier變換性質(zhì)本節(jié)主要介紹了連主要內(nèi)容對(duì)稱性質(zhì)

線性性質(zhì)奇偶虛實(shí)性

尺度變換性質(zhì)時(shí)移特性

頻移特性

微分性質(zhì)

時(shí)域積分性質(zhì)主要內(nèi)容對(duì)稱性質(zhì)線性性質(zhì)意義傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；利用性質(zhì)求X(ω)；了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。意義傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示一．對(duì)稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義一．對(duì)稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡(luò)例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡(luò)二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例3-7-3二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例3-7-3三．奇偶虛實(shí)性在“傅里葉變換的表示”中曾介紹過。由定義可以得到證明：三．奇偶虛實(shí)性在“傅里葉變換的表示”中曾介紹過。由定義可以得設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）顯然設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）顯然四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮時(shí)移加尺度變換證明時(shí)移加尺度變換證明(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時(shí)間增加a倍，變化慢了，信號(hào)在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時(shí)間增加a持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比，有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞，要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮，則要以展開頻帶為代價(jià)。（2）a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量連續(xù)時(shí)間Fourier變換尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因?yàn)槌叨茸儞Q性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因?yàn)槲澹畷r(shí)移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時(shí)移加尺度變換五．時(shí)移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時(shí)移加尺度變換時(shí)移加尺度變換證明時(shí)移加尺度變換證明例3-7-4（時(shí)移性質(zhì)）求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解：

例3-7-4（時(shí)移性質(zhì)）求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的因?yàn)槊}沖個(gè)數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變。因?yàn)槊}沖個(gè)數(shù)增多，頻譜例3-7-5方法一：先標(biāo)度變換，再時(shí)延方法二：先時(shí)延再標(biāo)度變換相同例3-7-5方法一：先標(biāo)度變換，再時(shí)延方法二：先2．證明

1．性質(zhì)

六．頻移特性2．證明1．性質(zhì)六．頻移特性3．說明4．應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。3．說明4．應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。例3-7-6已知矩形調(diào)幅信號(hào)

解：因?yàn)槔?-7-6已知矩形調(diào)幅信號(hào)解：因?yàn)轭l譜圖頻譜圖七．微分性質(zhì)時(shí)域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)或七．微分性質(zhì)時(shí)域微分性質(zhì)或1．時(shí)域微分注意1．時(shí)域微分注意注意如果f(t)中有確定的直流分量，應(yīng)先取出單獨(dú)求傅里葉變換，余下部分再用微分性質(zhì)。注意如果f(t)中有確定的直流分量，應(yīng)先取出單獨(dú)求時(shí)域微分性質(zhì)證明即時(shí)域微分性質(zhì)證明即求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7分析X分析X第65

頁解X第65頁解X2．頻域微分性質(zhì)或推廣2．頻域微分性質(zhì)或推廣例3-7-8解：例3-7-8解：例3-7-9解：例3-7-9解：八．時(shí)域積分性質(zhì)也可以記作：八．時(shí)域積分性質(zhì)也可以記作：時(shí)域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時(shí)移的單位階躍的無限積分表示，成為交換積分順序，即先求時(shí)移的單位階躍信號(hào)的傅里葉變換時(shí)域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時(shí)移的單位階躍的無限連續(xù)時(shí)間Fourier變換九、帕斯瓦爾定理改變一下積分次序，有帕斯瓦爾定理表明了時(shí)域和頻域總能量的積分在數(shù)值上的關(guān)系。有時(shí)候可以用來解決一些問題。該式稱為帕斯瓦爾定理?，F(xiàn)證明如下:設(shè)x(t)和X(jw)是一對(duì)Fourier變換，則得:九、帕斯瓦爾定理改變一下積分次序，有帕斯瓦爾定理表明了4.4卷積性質(zhì)在第3章已經(jīng)知道，如果一個(gè)周期信號(hào)用一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)來表示，也就是按(3.38)式：作為成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來表示，那么，一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)這個(gè)輸入的響應(yīng)也能夠用一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)來表示。因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，所以輸出的Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)是輸入的那些系數(shù)乘以對(duì)應(yīng)諧波頻率上的系統(tǒng)頻率響應(yīng)的值。現(xiàn)將這一結(jié)論推廣到非周期信號(hào)去。4.4卷積性質(zhì)在第3章已經(jīng)知道，如果一個(gè)周期信號(hào)用一個(gè)Fo卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。例如：在頻繁選擇性濾波中，可以對(duì)限制相關(guān)頻率的過濾通過。卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。卷積定H(jw)=0消除或衰減掉H(jw)=1通過H(jw)=0消除或衰減掉H(jw)=1通過4.4.1舉例例4.184.4.1舉例例4.18連續(xù)時(shí)間Fourier變換4.5相乘性質(zhì)頻域卷積定理卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。4.5相乘性質(zhì)頻域卷積定理卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)時(shí)域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時(shí)移性質(zhì)時(shí)域卷積定理的證明因此所以卷積交換積分次序時(shí)移一個(gè)信號(hào)去乘另外一個(gè)信號(hào)可以理解為用一個(gè)信號(hào)去調(diào)制,另一個(gè)信號(hào)的振幅，因此兩個(gè)信號(hào)相乘又稱幅度調(diào)制，故相乘性質(zhì)又稱調(diào)制性質(zhì)S(t)的變換P(t)=cosw0tr(t)=s(t)p(t)一個(gè)信號(hào)去乘另外一個(gè)信號(hào)可以理解為用一個(gè)信號(hào)去調(diào)制,另一個(gè)信設(shè)信號(hào)s(t)的頻譜S(jw)如圖4.23(a)所示，信號(hào)p(t)那么設(shè)信號(hào)s(t)的頻譜S(jw)如圖4.23(a)所示，信號(hào)4.5.1具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波相乘性質(zhì)應(yīng)用：（1）在通信系統(tǒng)中的幅度調(diào)制；（2）在中心頻率可調(diào)的頻率選擇性帶通濾波器的實(shí)現(xiàn)上，其中心頻率可以很簡(jiǎn)單地用一個(gè)調(diào)諧旋鈕來調(diào)節(jié)。利用一個(gè)固定特性的頻率選擇濾波器，然后恰當(dāng)?shù)匾苿?dòng)信號(hào)頻譜的辦法來改變?yōu)V波器的中心頻率，其中就要用到正弦幅度調(diào)制的原理。4.5.1具有可變中心頻率的頻率選擇性濾波相乘性質(zhì)應(yīng)用：（連續(xù)時(shí)間Fourier變換連續(xù)時(shí)間Fourier變換求系統(tǒng)的響應(yīng)。將時(shí)域求響應(yīng)，轉(zhuǎn)化為頻域求響應(yīng)。二．應(yīng)用用時(shí)域卷積定理求頻譜密度函數(shù)。求系統(tǒng)的響應(yīng)。將時(shí)域求響應(yīng)，轉(zhuǎn)化為頻域求響應(yīng)。二．應(yīng)用例3-8-1X例3-8-1X4.6傅立葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對(duì)一覽表本節(jié)采用列表方式給出了連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的一些基本特性，和一些常見的重要的信號(hào)的傅立葉變換對(duì)，應(yīng)該牢記掌握4.6傅立葉變換性質(zhì)和基本傅立葉變換對(duì)一覽表本節(jié)4.7用線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)如第二章所說，線性常系數(shù)微分方程可以表征系統(tǒng)的特征。但從時(shí)域計(jì)算的方法要解出這個(gè)方程，或者要由輸入求輸出，輸出求輸入都是很麻煩的計(jì)算。但引入頻域的傅立葉變換后，大大簡(jiǎn)化了我們的工作。4.7用線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)如第二章所說，*頻率響應(yīng)的求法：1.用微分方程表征的系統(tǒng)*頻率響應(yīng)的求法：1.用微分方程表征的系統(tǒng)例：由微分方程所描述的系統(tǒng)通過求頻率響應(yīng)可直接求出其單位沖激響應(yīng)。例：由微分方程所描述的系統(tǒng)通過求頻率響應(yīng)可直接例4.24一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由下列微分方程所表征：利用公式：得：例4.24一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由下列微分方程所表征：利用公式：例4.25一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由下列微分方程所表征：利用公式：得：例4.25一穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)由下列微分方程所表征：利用公式：例4.26設(shè)例4.25系統(tǒng)的輸入為：于是得：例4.26設(shè)例4.25系統(tǒng)的輸入為：于是得：例：2.以方框圖表征的系統(tǒng)例：2.以方框圖表征的系統(tǒng)*級(jí)聯(lián)

*并聯(lián)H1(j)H2(j)H3(j)H1(j)H2(j)H3(j)3.互聯(lián)系統(tǒng)的H(jw)*級(jí)聯(lián)*并聯(lián)H1(j)H2(j)H3(4反饋聯(lián)結(jié)4反饋聯(lián)結(jié)本章小結(jié)本章完成的主要任務(wù)是，首先，在上一章周期信號(hào)“分解”成用指數(shù)信號(hào)線形疊加表示的基礎(chǔ)上，通過周期趨向無窮大的極端推導(dǎo)，得出非周期信號(hào)的分解——傅立葉變換。從而引入了信號(hào)的頻域表達(dá)式的概念。時(shí)域表達(dá)與頻域表達(dá)是同一信號(hào)的不同表達(dá)方式，因此可以通過傅立葉變換和傅立葉反變換來相互轉(zhuǎn)換。由于傅立葉變換具有的各個(gè)性質(zhì)，尤其是線性、微分性質(zhì)和卷積與相乘性質(zhì)，可以非常方便地處理一些在時(shí)域比較麻煩的問題，如線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)的問題。本章小結(jié)本章完成的主要任務(wù)是，首先，在上一章周期信號(hào)本章要求掌握以下知識(shí)點(diǎn)1傅立葉變換和頻域表達(dá)式的概念；2傅立葉變換和傅立葉反變換的公式；3傅立葉變換的收斂判定；4周期信號(hào)的傅立葉變換方法；5傅立葉變換九大性質(zhì)；6常用傅立葉變換對(duì)；運(yùn)用常用傅立葉變換對(duì)和變換性質(zhì)解決變換與反變換的題目8用傅立葉變換解線性常系數(shù)微分方程；

本章要求掌握以下知識(shí)點(diǎn)1傅立葉變換和頻域表達(dá)式的概念；第4章連續(xù)時(shí)間Fourier變換第4章連續(xù)時(shí)間Fourier變換上一章，我們研究了如何把周期信號(hào)分解為指數(shù)信號(hào)的線形疊加，這樣對(duì)于我們的信號(hào)處理是非常方便的。同時(shí)，也看到這一表示是如何用來描述LTI系統(tǒng)對(duì)這些信號(hào)的作用效果的。那么，能否對(duì)非周期信號(hào)進(jìn)行類似的處理？本章便是研究由周期信號(hào)推導(dǎo)到非周期信號(hào)的擴(kuò)展。2而對(duì)于非周期信號(hào)，它們則是在頻率上無限小地靠近的。將會(huì)看到，相當(dāng)廣泛的一類信號(hào)，其中包括全部有限能量的信號(hào)，也能夠經(jīng)由復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來表示。1對(duì)周期信號(hào)而言，這些復(fù)指數(shù)基本信號(hào)構(gòu)造單元全是成諧波關(guān)系的；4.0引言上一章，我們研究了如何把周期信號(hào)分解為指數(shù)信號(hào)的線形因此，作為線性組合表示所取的形式是一個(gè)積分，而不是求和。

處理原則：一個(gè)非周期信號(hào)能夠看成是周期無限長(zhǎng)的周期信號(hào)。在這種表示中所得到的系數(shù)譜稱為Fourier變換；而利用這些系數(shù)將信號(hào)表示為復(fù)指數(shù)信號(hào)線性組合的綜合積分本身則稱之為Fourier反變換。

更加確切些就是，在一個(gè)周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示中，當(dāng)周期增加時(shí)，基波頻率就減少，成諧波關(guān)系的各分量在頻率上愈趨靠近。當(dāng)周期變成無窮大時(shí)，這些頻率分量就形成一個(gè)連續(xù)域，從而Fourier級(jí)數(shù)的求和也就變成了一個(gè)積分。因此，作為線性組合表示所取的形式是一個(gè)積分，而不是求傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和”——傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)——4.1非周期信號(hào)的表示：連續(xù)時(shí)間傅立葉變換為了對(duì)Fourier變換表示的實(shí)質(zhì)求得更深入地了解，我們先由研究過的連續(xù)時(shí)間方波的Fourier級(jí)數(shù)表示入手。該信號(hào)的基波周期是T，基波頻率就為.該方波信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)為：4.1非周期信號(hào)的表示：連續(xù)時(shí)間傅立葉變換為了對(duì)Fo圖4.2周期方波的Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)及其包絡(luò)，T1固定。T=8T1T=4T1T=16T1圖4.2周期方波的Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)及其包絡(luò)，T1固定-T/2T/2T/2-T/2頻譜演變的定性觀察-T/2T/2T/2-T/2頻譜演變的定性觀察

-T0T….….對(duì)非周期信號(hào)建立Fourier表示的基本思想當(dāng)周期信號(hào)的周期T趨于∞時(shí),就演變成了非周期信號(hào)-T頻率也變成連續(xù)變量。對(duì)周期信號(hào)當(dāng)周期信號(hào)的周期T趨于∞時(shí),就演變成了非周期信號(hào)頻率也變成連續(xù)變量。對(duì)周期信號(hào)當(dāng)周期信號(hào)的周期T趨于∞時(shí),傅立葉變換傅立葉逆變換（4月14日）傅立葉傅立葉（4月14日）與之間的關(guān)系：

周期信號(hào)的頻譜是非周期信號(hào)頻譜的抽樣；而非周期信號(hào)的頻譜是周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)。與之間的關(guān)系：周期信號(hào)的頻其中綜合公式4-8是由一個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻域表達(dá)式X(jω)求得其時(shí)域表達(dá)式x(t)的公式，稱為傅立葉反變換式。分析公式4－9是由一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式x(t)求得其頻域表達(dá)式X(jω)的公式，稱為傅立葉變換或傅立葉積分。由此得到非周期信號(hào)的傅立葉變換公式：當(dāng)時(shí)：Fourier變換對(duì)其中綜合公式4-8是由一個(gè)連續(xù)信號(hào)的頻域表達(dá)式X(jω)這種一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式x(t)和頻域表達(dá)式X(jω)之間通過傅立葉變換與反變換建立聯(lián)系x(t)←→X(jω)，稱之為一個(gè)傅立葉變換對(duì).注意：1時(shí)域表達(dá)式x(t)是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，表達(dá)的是在不同時(shí)間點(diǎn)函數(shù)幅度值的不同，自變量為時(shí)間t；

2頻域表達(dá)式X(jω)表達(dá)的是把信號(hào)分解為不同頻率的指數(shù)信號(hào)的組合（只不過這些指數(shù)信號(hào)的頻率變化是連續(xù)的），這些不同頻率的指數(shù)信號(hào)在總信號(hào)中所占分量的大小,自變量為頻率ω。

3

兩者都是同一信號(hào)的不同表達(dá)方式，而不是不同的信號(hào)。兩者之間的轉(zhuǎn)換（即傅立葉變換與反變換）也是同一信號(hào)的由時(shí)域表達(dá)式推導(dǎo)頻域表達(dá)式或由頻域表達(dá)式推導(dǎo)時(shí)域表達(dá)式的過程。這種一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式x(t)和頻域表達(dá)式X(jω)之

(a)X(ω)是一個(gè)密度函數(shù)的概念(b)X(ω)是一個(gè)連續(xù)譜(c)X(ω)包含了從零到無限高 頻的所有頻率分量(d)各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系。注意：綜合公式(4.8)對(duì)非周期信號(hào)所起的作用與(3.38)式對(duì)周期信號(hào)的作用相同，因?yàn)閮烧叨枷喈?dāng)于把一個(gè)信號(hào)表示為一組復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合。(a)X(ω)是一個(gè)密度函數(shù)的概念注意：綜合如果某非周期信號(hào)的總能量（即時(shí)域絕對(duì)值平方積分)有限,即則該信號(hào)傅立葉變換收斂?；蛘?，同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的信號(hào)傅立葉變換也收斂：1在整個(gè)定義域絕對(duì)可積:2任何有限區(qū)間只有有限個(gè)起伏;3任何有限區(qū)間只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且每個(gè)不連續(xù)點(diǎn)都是有限值。4.12Fourier變換的收斂如果某非周期信號(hào)的總能量（即時(shí)域絕對(duì)值平方積分)有限,即4盡管這兩組條件都給出了一個(gè)信號(hào)存在Fourier變換的充分條件，但是下一節(jié)將會(huì)看到，倘若在變換過程中可以使用沖激函數(shù)，那么，在一個(gè)無限區(qū)間內(nèi)，既不絕對(duì)可積，又不具備平方可積的周期信號(hào)也可以認(rèn)為具有Fourier變換。這樣，就有可能把Fourier級(jí)數(shù)和Fourier變換納入到統(tǒng)一的框架內(nèi)。盡管這兩組條件都給出了一個(gè)信號(hào)存在Fourier變換的充4.1.3連續(xù)時(shí)間Fourier變換舉例4.1.3連續(xù)時(shí)間Fourier變換舉例一．矩形脈沖信號(hào)幅度頻譜：相位頻譜：一．矩形脈沖信號(hào)幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：頻譜圖幅度頻譜相位頻譜頻寬：二．單邊指數(shù)信號(hào)二．單邊指數(shù)信號(hào)頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：頻譜圖幅度頻譜：相位頻譜：三．直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接用定義求三．直流信號(hào)不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接用定義求時(shí)域無限寬，頻帶無限窄時(shí)域無限寬，頻帶無限窄證明wO證明wO四．符號(hào)函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個(gè)雙邊函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件四．符號(hào)函數(shù)處理方法：tea-tea-做一個(gè)雙邊函數(shù)不滿足絕頻譜圖頻譜圖五．升余弦脈沖信號(hào)五．升余弦脈沖信號(hào)頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。頻譜圖其頻譜比矩形脈沖更集中。六．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不滿足絕對(duì)可積條件，不能用定義求。六．沖激函數(shù)沖激函數(shù)積分是有限值，可以用公式求。而u(t)不雖然在上一節(jié)我們的注意力主要是集中在非周期信號(hào)上，其實(shí)對(duì)于周期信號(hào)也能夠建立Fourier變換表示。這樣一來，就可以在統(tǒng)一框架內(nèi)考慮周期和非周期信號(hào)。事實(shí)上將會(huì)看到：4.2周期信號(hào)的傅立葉變換

1可以直接由周期信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示構(gòu)造出一個(gè)周期信號(hào)的Fourier變換；2所得到的變換在頻域是由一串沖激所組成，各沖激的面積正比于Fourier系數(shù)。雖然在上一節(jié)我們的注意力主要是集中在非周期信號(hào)上，其實(shí)對(duì)顯然，周期信號(hào)是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信號(hào)x(t)代入傅立葉變換公式，得到的積分結(jié)果也是無窮大。那么如何求它的傅立葉變換？教材上通過傅立葉反變換來求的。由于周期信號(hào)的傅立葉變換應(yīng)當(dāng)正比于其傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)，且根據(jù)計(jì)算又是無窮大，我們猜測(cè)是一個(gè)沖激。因此通過求頻域沖激信號(hào)的傅立葉反變換。

顯然，周期信號(hào)是不滿足上面的收斂判斷式的，而且把周期信考慮一個(gè)信號(hào)x(t)，其Fourier變換X(jw)是一個(gè)面積為出現(xiàn)在處的單獨(dú)的一個(gè)沖激，即由(4.8)式的反變換公式得到：將上面結(jié)果再加以推廣，如果X(jw)是在頻率上等間隔的一組沖激函數(shù)的線性組合，即那么利用(4.8)式，可得：考慮一個(gè)信號(hào)x(t)，其Fourier變換X(jw)是一因此，一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)為的周期信號(hào)的Fourier交換，可以看成是出現(xiàn)在成諧波關(guān)系的頻率上的一串沖激函數(shù)，發(fā)生于第k次諧波頻率上的沖激函數(shù)的面積是第k個(gè)Fourier級(jí)數(shù)系統(tǒng)的倍。因此，一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)為的周期信號(hào)例4.6再次考慮圖4.1的方波信號(hào)，其Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)為：因此，該信號(hào)的Fourier變換X(jw)是：例4.6再次考慮圖4.1的方波信號(hào)，其Fourier級(jí)數(shù)系不同的僅僅是比例因子以及用的是沖激函數(shù)而不是條線圖不同的僅僅是比例因子以及用的是沖激函數(shù)而不是條線圖4.3連續(xù)時(shí)間Fourier變換性質(zhì)本節(jié)主要介紹了連續(xù)時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)。這些性質(zhì)都可以由兩大公式本身的運(yùn)算推導(dǎo)出來。熟練掌握不但有利于我們進(jìn)行變換與反變換，更有利于我們運(yùn)用傅立葉變換，解決以后的一些實(shí)際問題。4.3連續(xù)時(shí)間Fourier變換性質(zhì)本節(jié)主要介紹了連主要內(nèi)容對(duì)稱性質(zhì)

線性性質(zhì)奇偶虛實(shí)性

尺度變換性質(zhì)時(shí)移特性

頻移特性

微分性質(zhì)

時(shí)域積分性質(zhì)主要內(nèi)容對(duì)稱性質(zhì)線性性質(zhì)意義傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示了信號(hào)的時(shí)域特性和頻域特性之間的確定的內(nèi)在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質(zhì)，目的在于：了解特性的內(nèi)在聯(lián)系；利用性質(zhì)求X(ω)；了解在通信系統(tǒng)領(lǐng)域中的應(yīng)用。意義傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質(zhì)揭示一．對(duì)稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義一．對(duì)稱性質(zhì)1．性質(zhì)2．意義例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡(luò)例3-7-1例3-7-2相移全通網(wǎng)絡(luò)二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例3-7-3二．線性性質(zhì)1．性質(zhì)2．例3-7-3三．奇偶虛實(shí)性在“傅里葉變換的表示”中曾介紹過。由定義可以得到證明：三．奇偶虛實(shí)性在“傅里葉變換的表示”中曾介紹過。由定義可以得設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）顯然設(shè)f(t)是實(shí)函數(shù)（為虛函數(shù)或復(fù)函數(shù)情況相似，略）顯然四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。(2)a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。四．尺度變換性質(zhì)意義(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮時(shí)移加尺度變換證明時(shí)移加尺度變換證明(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時(shí)間增加a倍，變化慢了，信號(hào)在頻域的頻帶壓縮a倍。高頻分量減少，幅度上升a倍。(1)

0<a<1時(shí)域擴(kuò)展，頻帶壓縮。脈沖持續(xù)時(shí)間增加a持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降a倍。此例說明：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)占有頻帶成反比，有時(shí)為加速信號(hào)的傳遞，要將信號(hào)持續(xù)時(shí)間壓縮，則要以展開頻帶為代價(jià)。（2）a>1時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。持續(xù)時(shí)間短，變化快。信號(hào)在頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量連續(xù)時(shí)間Fourier變換尺度變換性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因?yàn)槌叨茸儞Q性質(zhì)證明綜合上述兩種情況因?yàn)槲澹畷r(shí)移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時(shí)移加尺度變換五．時(shí)移特性幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，時(shí)移加尺度變換時(shí)移加尺度變換證明時(shí)移加尺度變換證明例3-7-4（時(shí)移性質(zhì)）求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的頻譜。解：

例3-7-4（時(shí)移性質(zhì)）求圖(a)所示三脈沖信號(hào)的因?yàn)槊}沖個(gè)數(shù)增多，頻譜包絡(luò)不變，帶寬不變。因?yàn)槊}沖個(gè)數(shù)增多，頻譜例3-7-5方法一：先標(biāo)度變換，再時(shí)延方法二：先時(shí)延再標(biāo)度變換相同例3-7-5方法一：先標(biāo)度變換，再時(shí)延方法二：先2．證明

1．性質(zhì)

六．頻移特性2．證明1．性質(zhì)六．頻移特性3．說明4．應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。3．說明4．應(yīng)用通信中調(diào)制與解調(diào)，頻分復(fù)用。例3-7-6已知矩形調(diào)幅信號(hào)

解：因?yàn)槔?-7-6已知矩形調(diào)幅信號(hào)解：因?yàn)轭l譜圖頻譜圖七．微分性質(zhì)時(shí)域微分性質(zhì)頻域微分性質(zhì)或七．微分性質(zhì)時(shí)域微分性質(zhì)或1．時(shí)域微分注意1．時(shí)域微分注意注意如果f(t)中有確定的直流分量，應(yīng)先取出單獨(dú)求傅里葉變換，余下部分再用微分性質(zhì)。注意如果f(t)中有確定的直流分量，應(yīng)先取出單獨(dú)求時(shí)域微分性質(zhì)證明即時(shí)域微分性質(zhì)證明即求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)．例3-7-7分析X分析X第163

頁解X第65頁解X2．頻域微分性質(zhì)或推廣2．頻域微分性質(zhì)或推廣例3-7-8解：例3-7-8解：例3-7-9解：例3-7-9解：八．時(shí)域積分性質(zhì)也可以記作：八．時(shí)域積分性質(zhì)也可以記作：時(shí)域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時(shí)移的單位階躍的無限積分表示，成為交換積分順序，即先求時(shí)移的單位階躍信號(hào)的傅里葉變換時(shí)域積分性質(zhì)證明變上限積分用帶時(shí)移的單位階躍的無限連續(xù)時(shí)間Fourier變換九、帕斯瓦爾定理改變一下積分次序，有帕斯瓦爾定理表明了時(shí)域和頻域總能量的積分在數(shù)值上的關(guān)系。有時(shí)候可以用來解決一些問題。該式稱為帕斯瓦爾定理。現(xiàn)證明如下:設(shè)x(t)和X(jw)是一對(duì)Fourier變換，則得:九、帕斯瓦爾定理改變一下積分次序，有帕斯瓦爾定理表明了4.4卷積性質(zhì)在第3章已經(jīng)知道，如果一個(gè)周期信號(hào)用一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)來表示，也就是按(3.38)式：作為成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合來表示，那么，一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)這個(gè)輸入的響應(yīng)也能夠用一個(gè)Fourier級(jí)數(shù)來表示。因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，所以輸出的Fourier級(jí)數(shù)系數(shù)是輸入的那些系數(shù)乘以對(duì)應(yīng)諧波頻率上的系統(tǒng)頻率響應(yīng)的值。現(xiàn)將這一結(jié)論推廣到非周期信號(hào)去。4.4卷積性質(zhì)在第3章已經(jīng)知道，如果一個(gè)周期信號(hào)用一個(gè)Fo卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。例如：在頻繁選擇性濾波中，可以對(duì)限制相關(guān)頻率的過濾通過。卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積對(duì)應(yīng)頻域頻譜密度函數(shù)乘積。卷積定H(jw)=0消除或衰減掉H(jw)=1通過H(jw)=0消除或衰減掉H(jw)=1通過4.4.1舉例例4.184.4.1舉例例4.18連續(xù)時(shí)間Fourier變換4.5相乘性質(zhì)頻域卷積定理卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)算關(guān)系，在通信系統(tǒng)和信號(hào)處理研究領(lǐng)域中得到大量應(yīng)用。4.5相乘性質(zhì)頻域卷積定理卷積定理揭示了時(shí)間域與頻率域的運(yùn)時(shí)域卷積定理的證明因此所以卷積定義交換積分次序時(shí)移性質(zhì)時(shí)域卷積定理的證明因此所以卷積交換積分次序時(shí)移一個(gè)信號(hào)去乘另外一個(gè)信號(hào)可以理解為用一個(gè)信號(hào)去調(diào)制,另一個(gè)信號(hào)的振幅，因此兩個(gè)信號(hào)相乘又稱幅度調(diào)制，