考研資料：線性代數(shù)

第二部分線性代數(shù)第一章行列式及矩陣(0,0,3分)若4階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為，」」一，則行列式|夕|一月=2345 1(93,4,3分)若a3aAec都是4維列向量，且4階行列式|6。20,刈=根夕2，。31=〃?則4階行列式6,4+閭=(A)〃z+〃 (B)-(〃/+〃)23.23.(04,,4分)設矩陣A=12020。矩陣8滿足A84,=2B4*+E,其中A*為A的01伴隨陣，則冏=1(05,2,4分)設%,%，%均為3維列向量，記矩陣4A=(即％4),8=(%+4+%,4+2%+4%,%+3%+9%)，如果同=1,,那么忸|=2X(+占+2x3=0(98,3分)齊次方程組xi+/Ix2-fx3=0的系數(shù)矩陣為A,若存在三階矩陣300使得X1+x2+2x3=048=0,則(A)2=—2且8=0； (B)丸=-2且8W0；(C)4=1且忸|=0； (D)2=1且冏/0(99,1,3分)設A是矩陣，B是"xah矩陣，則(A)當機>〃時，必有行列式|Afl|wO； (B)當/%>〃時，必有行列式=0；(C)當〃,m時，必有行列式|ab|w0； (D)當〃〉加時，必有行列式|ab|=o。

7.（99,3分）設A="I（1or）2001,而“22為正整數(shù)，貝i]A"-2A"T=12-28.（97,1,3分）設A二4t3,B為三階非零矩陣，且AB=O,則1=3-119（95,4,3分）設n維行向量a=（-,0,--,0,-）,矩陣4=七一（/&,8=七+2<//?,其中E為n階單位陣，則AB=100'10.（04,4,4分）設從=220,*是A的伴隨矩陣，則任尸=345設門階方陣人非奇異（〃22）,A?是4的伴隨矩陣，則（a）（a*）*=|a『Ta； （b）（a7=K+,a（O（A）=『A； （C）（A*）*=『A（05,4分）設矩陣A=（%L3,滿足A*=A"其中A*為A的伴隨陣，若a”,a.《3為三個相等的正數(shù)，則a”為（A）—；（B）3；（C）^-；（D）V33 3A0（02,4,3分）設A,B為n階矩陣，則。= 。貝i]C*=0B（A（A）]a[a*00\B\B\（B）同8*00|A|A*（C）ME00'\B\A*（D）'\b\a*00|ab,-0at0?000**014.（94,3分）設A=000??an-\一凡00一0其中《。0/=1,2,…幾，HOA-1=（97,6分）設A為n階非奇異矩陣，a為n維列向量，b為常數(shù)，記分塊矩陣E0E0-aTA,|A|,。=Aa

aTb⑴計算并化簡PQ⑵證明：矩陣Q可逆的充要條件是&74-力中人（92,4,3分）設A,B,A+B,AT+BT均為n階可逆矩陣，則（aT+^t廠等于(A)A'+B'; (B)A+B；(C)(A)A'+B'; (B)A+B；1 1 0 0-23 0(00,2,3分)設4=0-450 0-6(01,3分)設0;且B=(E+A)t(E-A)則(E+B)70l--100l--10000'P1=()010001000000100100100其中A可逆，則等于(A)A-'Plp2;(B)P^'P,;(C)初八(D)P.A'P,(04,4分)設n階矩陣A與B等價，貝I］必有A.當A|=a(a/0)時’B|=a； B當同=a(a00)時，冏=一。；C當|A"0時， 網(wǎng)=0；D當|A|=0時，冏=0。（06,4分）設A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B,再將B的第1列的-1倍加到第2列得C,記-110-p=010則001(A)C=p^Ap； (B)C=pApi；(c)C=Ap； (D)C=pApJo

21(04,I4分)設A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換到B,再把B的第2列2加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為010010010010A.100B.101101001'010''o1rC.100D.100011001,4分),4分)設A為n(〃N2)階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,4,8分別為A,B的伴隨矩陣，則A.交換A”的第1列與第2列得8*B.交換A?的第I行與第2行得"C.交換A*的第1列與第2列得D.交換A*的第1行與第2行得-8*(97,1,5分)設A是n階可逆方陣，將A的第i行和第j行對換后得到的矩陣記為B。⑴證明B可逆 ⑵求j0O-(98,3分)設A,B滿足A*BA=284-8E,,其中A=0-20,則B=001(05,4,,4分)設A,B,C均為n階矩陣，8=E+48,C=A+C4,則B-C為(A)E(B)-E(C)A(D)-A(94,3分)設A是帆x〃矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r,矩陣B=AC的秩為(，貝A.r>{ B.r<4 C.r= D.r與4的關系依C而定(95,3分).設矩陣A“x”的秩r(A)=m<"，下述結論中正確的是A的任意m個列向量必線性無關：A的任意一個m階子式不等于零；若矩陣B滿足BA=O,貝?。軧=0：A通過初等變換，必可化為(E”,,。)形式。

[cia aa\a???a28.(98,3分）設n（〃N3）階矩陣。A—2a\???aJ若r（A）=〃-laaa???\A.lB.1\-nC.-11D. n-1'k11129.(01,3分）設矩陣A=11k11k11且r(A)=3,則k=_11(IIbkb30.(03,4分）設3階矩陣A=hab.若A的伴隨陣的秩等于1,則必有bhi則a必為(A)a=b^a+2b=0(B)a=b^a+2b^0-010o-31.（07,4分）設矩陣A=0000I0()1,則川的秩為0000(c)ax6且a+2b=0(D)a豐b且a+2b00第二章向量.（99,3分）設向量/7可由向量組四,二2,…線性表示，但不能由向量組（I）a,,?2,-線性表示，記向量組（11）：%,&2,…a,“T，〃則A.a,“不能由（I）線性表示，也不能由（II）線性表示；B.a”,不能由（I）線性表示，但可由（II）線性表示；C.a,“可由（I）線性表示，也可由（II）線性表示：D.a,“可由（I）線性表示，但不可由（II）線性表示。.（00,8分）設向量組/=（。,2,10）7,4=（-2,1,5），,%=（-1,1,4）',夕=（1,。,。）7,試問：當a,b,c滿足什么條件時，⑴,可由4,。2，。3線性表示，且表示唯一？⑵/不能由%。2，。3線性表出？⑶/可由線性表示，但表示不唯一？并求出一般表示式。.（04,13分）設％=（l,2,0）\a2=（La+2,-3a）T,%=（-\-b-2,a+2b）r,J3=（1,3,-3）-r?試討論當a,b為何值時，⑴月不能由4,%,cr,線性表示⑵?可由卬,。2，。3唯一地線性表示，并求出表示式。⑶戶可由區(qū),。2，。3線性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。.（03,4,13分）設有向量組（I）：q=（1,0,2）、%=（1,1,3）7,?3=（l,—l,a+2）r和向量組（II）：4=（12a+3）r,耳=（2La+6f血=（21,a+4y,試問：當a為何值時，向量組⑴與（II）等價？當a為何值時，向量組（I）與（II）不等價？.（05,2,9分）確定常數(shù)a,使向量組名，可由向量組仇=（1],",22=（-2,。,4）,血=（一2必”線性表示，但向量組回血血不能由向量組四,。2，。3線性表示。.（971,7分）設向量組線性相關，向量組%，％，％線性無關，問:⑴能否由線性表出？證明你的結論。⑵%能否由線性表出？證明你的結論。.（96,3分）設有任意兩個n維向量組1???,4〃和…，凡若存在兩組不全為零的數(shù)4,…,4n和占,…,"使（4+占卜1+…+（4“+&）?,“+（4-卜幫、+…+（4”-￡”）/??,=0,則A.a,“和4,…，萬都線性相關；.a”…,a,“和4,…,萬皿都線性無關；eq+京,…,am+/?,?>ax—px"',am—Pm.線性無關D-a\+1，…,%+0m，%-自…,a,“-4線性相關。.（96,8分）設向量區(qū),。2,…,區(qū)是齊次方程組AX=0的一個基礎解系，向量尸不是方程組AX=0的解，即4￡40。試證明：向量組戶，夕+四,夕+。2,…，夕+%線性無關。.（97,3分）設向量組%,%,a,線性無關，則下列向量組中線性無關的是A.錯誤!未找到引用源。Bq+%，%+%，%+2。2+3%.ax+2a2,2。2+3a33^+6D.%+%+%，2al—3%+22%，36+5%—5%-12-210（02,3分）設A=21 2,a=（a,l,l）r,已知4a與a線性相關，則a=30411.（05,4分）設九4是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為4,%，則%,皿0+。2）線性無關的充要條件是A.錯誤！未找到引用源。 B./l2Ho C.4=0D.22=012.（05,4分）設行向量組（2,1,1,1）,（2,1,a,a）,（3,2,l,a）,（4,3,2,1）線性相關，且awl,則。=13（06,4分）設囚,。?，…a*均為n維列向量，A是/矩陣，下列選項正確的是:A.若…a,線性相關，則錯誤!未找到引用源。線性相關；B.若…見線性相關，則Aa”Aa2,…Aa,線性無關；C.若4,a2,…a,線性無關，則A%,Aa2,…4%線性相關；D.若冬,a2，.-1*線性無關，則Aa”4。2，一.4&,線性無關。14.（07,4分）設向量組q,a2,出線性無關，則下列向量組線性相關的是A.0Cy—a、,ctf—a、,a、—B.a}4-,a2+6z3,a3+axC.%-2a2，%一2a3,4D.ax+2。2，。2+2。3，。3+2囚15（93,1,6分）設A是〃xaw矩陣，B是mx〃矩陣，其中〃vm,,E是n階單位陣，若AB=E,證明B的列向量線性無關。.（01,4,8分）設％=（%,小,…,4J（i=1,…是n維實向量，且%,a2，…,火線性無關，已知〃=魚也,???也）,是線性方程組a}lx}+tz12x2H Falnxn=0a2[X[+a22X2H H^2nXn=0可丙+ar2x2H 1-amxn—0的非零解向量，試判斷向量組4,a2,…,a,,/的線性相關性。.（95,9分）已知向量組（I）：%,。2，%；（II）：at,a2,a3,a4；（III）：at,a2,a3,a5,如果各向量組的秩分別為r（I）=r（II）=3.r（III）=4.證明向量組外,二2，二3，二5-&4的秩為4..（06,13分） 設4維向量組at=（1+a,1,1,1），,a,=（2,2+a,2,2）7,a3=（3,3,3+a,3），,%=（4,4,4,4+a），＞問a為何值時，囚,。2，。3，。4線性相關？當囚,。2，。3，。4線性相關時，求其一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表出。.（94,4,3分）設有向量組%=（1,T,2,4）t,a2=（0,3,1,2）r,a3=（3,0,7,14）r,<z4=（l,-2,2,0）r%=（2,1,5,10），,則該向量組的極大無關組是A.%%，％ B.a,,a2,cr4 C.apa2,a5 D.apa2,a4,a5.（99,2,8分）設向量組%=（1,1,1,3），,?=（-l,-3,5,l）7,a3=（3,2,-1,尸+2），,<z4=（-2,-6,10,P）t.⑴P為何值時，該向量組線性無關？并在此時將向量a=（4,1力JO），用區(qū),。2,％,線性表出。⑵P為何值時，該向量組線性相關？并在此時求出它的秩和一個極大無關組。第三章線性方程組.（02,3分）設A是mx〃矩陣，B是〃x機矩陣，則線性方程組（AB）X=OA.當〃＞加時僅有零解； B.當〃＞加時必有非零解；C.當相〉〃時僅有零解； D.當772時必有非零解（02,8分）設齊次線性方程組iaxx+bx2+???姐=0bX[+3+…bXn=0bx、+bx2H Paxn=0其中axO,bwO,〃N2,試討論a/為何值時，方程組僅有零解，有無窮多解？在有無窮多解時，求出全部解，并用基礎解系表示全部解。（a+b）&+a2x2+a3x3+???anxn=0

qX]+（a,+b）x2+a3x3H 1-anxn=03已知齊次線性方程組,qx+々工2+（%+》）》3+…+。,占=0qX+a2x2+%退+???+（??+/?）xn=0〃其中工0。試討論6,4,…?！ê蚥滿足何種關系時，i=1⑴方程組僅有零解：⑵方程組有非零解，在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系。4.設n階矩陣A的伴隨陣A*￥0,若。,與，△，或是非齊次線性方程組AX=6的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組AX=0的基礎解系A.不存在；A.不存在；C.含有兩個線性無關的解向量:5.（94,11分）設線性方程組B.僅含有一個非零解向量；D.含有三個線性無關的解向量2 1X4-a]x2+qx3=a,2X]+Cl^X-y4~d1X3=2Xj+a3x3+/&=%di+a4x4+a42x4=a43⑴證明：若。|,。2，。3，。4兩兩不相等，則此線性方程組無解;⑵設4=%=攵,%=%=-攵化工°），且已知外河是該方程組的兩個解，其中

寫出此方程組的通解。6.(00,2,6分)設a=寫出此方程組的通解。6.(00,2,6分)設a=求解方程282A?X=A4X+8'X+7其中4wa}(i#j,i,j=1,2,.??,n),則線性方程組=B的解是8.（02,；,6分）已知4階方陣均為4維列向量，其中口2，。3。4線性無關，％=2。2-&3,如果〃=q+。2+%+%，，求線性方程組AX=夕的通解。9.（04,4,13分）設線性方程組（X14-Ax2+—+34=02%1+12+工3+2工4=03玉+（2+/I）/+（4+〃）七+4又4=1已知（1,一1,1,-1）,是該方程組的一個解。試求：⑴方程組的全部解，并用對應的齊次方程組的基礎解系表示全部解。⑵該方程組滿足W=芻的全部解。10.（06,2，9分）已知非齊次方程組j4%+3與+5芻一%4=一1有3個線性無關的解ox1+%+3&+bx4=1⑴證明方程組系數(shù)矩陣A的秩r（A）=2⑵求a,b的值及方程組的通解。11.（00,3分）設是4元非齊次方程組AX=Zj的三個解向量，且r(A)=3,a,=(1,2,3,4)r,a2+a3=(0,1,2,3)T,C為任意常數(shù)，則線性方程組AX=b的通解X=

無解，則。=.(01,3分)設A是n階方陣，a是n維列向量。若/_ =/(A),則線性方程組a0JAX=a必有無窮多解；AX=a必有唯一解：-Aa~\[X~一T =0僅有零解：aTa][x]=0必有非[a。」團.(00,3分)設A為n階實矩陣，則對于線性方程組⑴：AX=0和(口)：大AX=0,必有A.(n)的解是⑴的解，⑴的解也是(n)的解B.(n)的解是⑴的解，但⑴的解不是(n)的解c.⑴的解不是(n)的解,(n)的解也不是⑴的解d.⑴的解是(n)的解,(n)的解不是⑴的解16.(07,11分)設線性方程組X+工2+W=0<%+2%+叱=0與方程組X]+29+&=。-1有公共解，求。的值及所有公共解。Xj+4x2+。2芻=0/、1M+尤，=0 /、.(94,1,8分)設4元齊次線性方程組?2_又己知某齊次線性方程組(口)的通[x2—x4=0解為匕(0,1』,0)7+&(-1,2,2,1)'⑴求齊次線性方程組(I)的基礎解系;⑵問方程組(i)和(n)是否有非零公共解？若有，求出所有非零公共解，若沒有，說明理由。.(98,4,7分)已知下列非齊次線性方程組(I)和(FI)：%!+x2—2x4=—6(I)<4x]-x2—x3-x4=13x)-x2-x3=3(Xy4-nvc2-x3-x4=0nx2-x3-2x4=0x3-2x4=-r+l⑴求解方程組(I),用齊次方程組基礎解系表示通解⑵當參數(shù)m,n,t為何值時，方程組(I)與(n)同解。第四章特征值與特征向量1 (98,9分)設向量a=(6,/,…M“)r,夕=他也都是非零向量，且滿足條件aTp=Q,記〃階矩陣A=a￡T,求⑴工；(2)矩陣A的特征值和特征向量。a—1 c2設矩陣A=5b3,其行列式M=-1,又A*有一個特征值%,屬于人的1—c0-a一個特征向量為。=(-1,-1,l)r求a,仇c和4的值。3 (02,3分)設A是〃階實對稱矩陣，P是〃階可逆矩陣，己知〃維列向量a是A屬于特征值義的特征向量。則矩陣(P-MP),屬于特征值2的特征向量是(A)p-'a(B)PTa(C)Pa(D)(P-1)rtz4(98,1,3分)設A為〃階矩陣網(wǎng)#0,若4有特征值4,貝|(A*)2+E必有特征值010P=010P=101,B^P'XP,求8+2E的特0015(03,1,10分)設矩陣A=232223征值與特征向量。0(0(94,8分)設A=x11y有三個線性無關的特征向量，求x和y應滿足的條件。007(99,3分)設A,6為〃階矩陣，且AaB,則(A)AE-A=(A)AE-A=AE-Bi(8)A與8有相同的特征值和特征向量(C)A與8都相似于一個對角矩陣：(O)對Vf/E-A與小一3相似。1b???bb1???b8.(04,13分)設n階矩陣A=bb■■■I(I)求A的特征值和特征向量：(II)求可逆矩陣P,使得P-AP為對角陣。

1-11.（00,4,9分）設矩陣A=x4y,已知A有3個線性無關的特征向量，4=2是A-3-35_的二重特征值，試求可逆矩陣P,使得尸么「為對角陣。'220'.（03,2,10分）若矩陣A=82a相似于對角陣A,試確定常數(shù)。的值，并求可逆矩006.（05,4,13分）設A為3階矩陣，是線性無關的三維列向量，且滿足Aat=%+a2+cx3.Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3a3（I）求矩陣B,使4（1，02，4）=（%，02，%）8（ID求矩陣A的特征值；（III）求可逆矩陣P,使得P-AP為對角陣。1112(04,21112(04,2,9分)設矩陣A=-1~14-3的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可對角化。-1'~2-12~13.(97,1,6分)已知J=1是矩陣A=5a3的一個特征向量。-1—1b—2⑴試確定參數(shù)及特征向量J所對應的特征值;⑵問A能否相似于對角陣？說明理由。14.設三階實對稱矩陣A的特征值是1,2,3。矩陣A屬于特征值1,2的特征向量分別是a,=(-l,-l,l)r,a2=(l-2,-l)r⑴求A的屬于特征值3的特征向量;⑵求矩陣AI15.(01,9分I15.(01,9分)設矩陣A=1aa1,/3=1,已知線性方程組AX=/有解但不唯一,11J[-2試求:⑴a的值： ⑵正交陣。，使Q'AQ=A.（02,8分）設A為3階實對稱矩陣，且滿足條件A2+2A=0。已知A的秩r（A）=2。⑴求A的全部特征值；⑵當出為何值時，矩陣A+也為正定矩陣。.（06,13分）設3階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量/=（一1,2,-1），=（0,-1,if是線性方程組AX=0的兩個解。⑴求A的特征值與特征向量；⑵求正交矩陣。和對角矩陣A,使Q'AQ=A；⑶求A及.（07,11分）設3階實對稱矩陣A的特征值4=1,否=2,Z,=-2,卬=（1,—LI），是A的屬于4的特征向量，記B=A5—4A3+E。⑴驗證必是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；⑵求矩陣B..（04,4,13分）設三階實對稱矩陣的秩為2,4=4=6是A的二重特征值，若a,=（1,1,0）7。2=（2，1，1）,，&3=（-1,2,-3）,都是屬于特征值6的特征向量。⑴求A的另一特征值和對應的特征向量；⑵求矩陣A'a1 1'20.（02,4,8分）設實對稱矩陣A=\a,求可逆矩陣P,使為對角陣，并-1a求同_耳21（11.1,11分）設A為3階實對稱矩陣，r（A）=2,且（I）求A的所有特征值與特征向量；（II）求矩陣A。第五章二次型.（95,10分）已知二次型/=4x；-3x；+4M工2-4%/3+8*2%3⑴寫出二次型f的矩陣表達式；⑵用正交變換把二次型/化為標準形，并寫出相應的正交矩陣。.（03,13分）設二次型f=X7X=以；+2x；-2x；+2如七力>0其中二次型的矩陣A的特征值之和為1,特征值之積為-12.⑴求a,Z?的值；⑵用正交變換化二次型為標準形，并寫出所用正交變換及正交陣。.（04,4分）二次型/=（石+/）一+（/—七y+（七+%）一的秩r=.（02,1,3分）已知二次型f +考+）+4x,x2+你七+4x2x3經(jīng)正交變換X-PY化成標準形7=6寸則。=.（90,18分）求一個正交變換，化二次型/=*+4*+4xj-4xtx2+4xtx3-8x2x3為標準形。.（05,1,9分）已知二次型/=（1—a）%2+（1—a）考+2x；+2（1+?）^%2的秩為2.⑴求a