幾何背景入手代數(shù)方法出來

幾何背景入手，代數(shù)方法出來——由浙江2010年高考理科數(shù)學(xué)第21題談解析幾何解題策略奉化高級中學(xué)胡尤摘要：解析幾何題一直以來是高考的重頭戲，對考生而言也是個“燙手的山芋”。算不快、算不對、沒有思路等等問題始終困擾著考生，且影響著考分。歸根結(jié)底，關(guān)鍵之處在于條件的轉(zhuǎn)化與化歸，而這其中很重要一點就是幾何條件的轉(zhuǎn)化，本文以浙江2010年高考TOC\o"1-5"\h\z理科數(shù)學(xué)第21題為載體來談解析幾何解題策略之“幾何背景入手，代數(shù)方法出來”.關(guān)鍵詞：幾何條件、代數(shù)方法、優(yōu)化22mx2案例：（2010浙江，21）已知m>1,直線l：x—my———=0,橢圓C:丁+y=1,F1,F22m分別為橢圓C的左、右焦點.（1）當(dāng)直線l過右焦點F2時，求直線l的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點，△AF1F2,ABF[F2的重心分別為G,H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.、考查知識點第（1）小題考查橢圓的幾何性質(zhì)。第（2）小題為取值范圍問題，主要考查直線與橢圓、點與圓的位置關(guān)系。知識要求：.能解決點與圓，直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系等問題^.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角二、解題分析.解題思路探索：（1）引參數(shù)（題目已給出一一m）（2）由題目所給幾何條件建立關(guān)于m的不等式（函數(shù)法本題不適合）.確定解題突破點：（1）如何把已知幾何條件“原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)”轉(zhuǎn)化為代數(shù)操作性強的不等關(guān)系。（2）如何把幾何不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式。解1.（I）略(n)解：設(shè)A(xi,yi),Bd,y2),x=my由2x2m2y2x=my由2x2m2y2

m

+—,2消去x得二122y2myi=042則由=m2

m

-8(——-i)--m4+8>0知2m:二82mm2mm—,yiy2=28由AG=2GO,BH=2HO,可知G吟t),H(V，333_2|GH|=(xi-_2|GH|=(xi-x2)22（yi-y2）口，一」,-—LL,設(shè)M是GH的中點，則9xix2M(-——26yiy2)6：：：：：：（xi-x2）2.(yi-y2)29xix22y1y22TOC\o"1-5"\h\z由題意可知，2|MO|<|GH|得4[(二一2)+(---)]66即x1x2-y1y2:::0,22而gy1y-my手(my2my1y2=(m2i)(i所以——一<0,即m2c4.82又因為m>1且&A0,所以1<m<2,所以m的取值范圍是（1,2）。此解法把點在圓內(nèi)這個幾何條件轉(zhuǎn)化為了“點到圓心的距離小于半徑”，從而得到2|MOHGH|,是對題意較為直接的闡釋。解2.（優(yōu)化幾何條件）因為O在以HG為直徑的圓內(nèi)，所以/HOG為鈍角或平角則OHOG<0,即上至十匕&<0,即x1x2+y1y2<0,以下同解1.333此解法就把“點在圓內(nèi)”的幾何條件轉(zhuǎn)化為與直徑兩端點的連線夾角為鈍角或平角的問題，進而輔以向量解決，較解1剩了很多計算步驟。解3（偷換NHOG）.因為G、H分別在OA、OB上，則NHOG為鈍角或平角也即/AOB為鈍角或平角，所以O(shè)AOB<0,則xix2+yiy2<0,以下同解1.此解法較解2就更加直接。

3.方法比較IHGI解1把幾何條件轉(zhuǎn)化為|OM|＜七/，用兩點間距離公式解2把幾何條件轉(zhuǎn)化為/HOG為鈍角或平角，并利用向量方法。解3/HOG為鈍角或平角直接轉(zhuǎn)化為了/AOB為鈍角或平角，同時用了向量方法。三種方法通過對“原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)”這一幾何條件步步遞進的轉(zhuǎn)化，并利用向量運算，使得代數(shù)運算量逐步降低，達到了解析幾何“減少運算量”的目的。因此如何轉(zhuǎn)化題目中的幾何條件來簡化運算成了解析幾何題一個很重要的解題手段，也是學(xué)生的難點之一。三、教學(xué)啟發(fā)1.學(xué)生的困惑：(1)重心坐標(biāo)及重心在三角形中的位置不熟悉；(2)向量法在平面幾何中的應(yīng)用不熟練。2.教學(xué)歸納：(1)重視圖形幾何性質(zhì)的最優(yōu)轉(zhuǎn)化。(2)重視向量在平面幾何問題中的應(yīng)用——夾角解析幾何是用代數(shù)方法解決幾何問題，其難點是繁瑣的代數(shù)運算，通過這個題目的解題思路我們能感悟出某種簡化代數(shù)運算的方法嗎一一本題給我們的啟發(fā)和綱要性總結(jié)應(yīng)當(dāng)是：解析幾何一一先析“幾何”，再解“代數(shù)”，輔以“向量”！那么這種思想方法在書本上是否有體現(xiàn)呢？四、回歸課本出處所在課本習(xí)題(人教版數(shù)學(xué)必修2,第124頁習(xí)題4.1第5題)：已知圓上一條直線端點分別是A(x1,y1),B(x2,y2),求證：此圓的方程是(x-X1)(x-X2)(y—y1)(y-y)=0.分析設(shè)動點為m，利用MA，MB=o,立即可得.同時，我們可得以下三個定性結(jié)論：(1)m在圓上uMAMB=0

⑵M在圓內(nèi)uMA-MB>0(3)M在圓外uMA-MB<0同時，我們根據(jù)圓方程的向量表示，還可以得到另一種解法另解.(利用圓方程的向量表示)以HG為直徑的圓的方程為：(x—')(x—9)+(y—")(x—左)=0TOC\o"1-5"\h\z3333因為O在以HG為直徑的圓內(nèi)，所以(0—±)(0—上)+(0—")(0—2)=03333也即xx2+y1y2<0.下面同解1.五、知識拓展22(12福建)如圖，橢圓E:勺+與=1(aAb>0)的ab1—左焦點為Fi,右焦點為F2,離心率e=—。過Fi的2直線交橢圓于A,B兩點，且她852的周長為8。(1)求橢圓E的方程。(2)設(shè)動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相較于點Q。試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。22解1：(1)橢圓E的方程為—+—=1.(詳略)43(2)方法1(2)方法1.由x24得(4k23)x28kmx4m2-12=0因為動直線l與橢圓E有且僅有一個公共點P(xo,yo),所以m。0,且△=0即64k2m2-4(4k2+3)(4m2—12)=0,化簡得4k2-m2+3=0.(*)TOC\o"1-5"\h\z…4km4k,34k3、此時Xo=——7―=一—,y°=kx0+m,所以P(——,—)4k3mmmm,x=4一由』彳4Q(4,4k+m)y=kx+m

一一4k3.一一設(shè)圓上任息一點為M(x,y),則MP=(———x,—),MQ=(4—x,4k+m)mm16k4kxc12k由MPMQ=0導(dǎo)圓方程為：—N.竺x—4xx2&3=0mmm『k9人f4x—4=0『一「」」提取參數(shù)得k(4x_4)_4x+x2+3=0令1得x=0,即圓過定點(1,0)mx2-4x+3=0此解法循規(guī)蹈矩，要求學(xué)生的基本功要求也很高，那么能否通過幾何條件來簡化運算呢？方法2.假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性可知，點M必在x軸上.取k=Qm=陰，此時P(0,73),Q(4,曲),以PQ為直徑的圓方程為(x-2)2+(y—J3)2=4,交x軸于點Mi(1,0),M2(3,0)什1取k=—,m=2,此時易求M3(1,0),M4(4,0)2所以若符合條件的點M存在，則M點必為(1,0),以下證明M就是滿足條件的點：因為M(1,0),則而=(-4k-1,—),MQ=(3,4k+m)mm12k12k..一一,從而MPMQ=———-3+——+3=0,故MP_LMQ,即證.mm方法總結(jié)：方法1.(直接法一一用參數(shù)表示圓方程)(1)先析幾何：應(yīng)用圓上點滿足MPMQ=0(2)再解代數(shù)：求出P,Q點坐標(biāo)及圓的向量方程(3)輔以向量：用向量形式化簡圓方程方法2.(先求后證)(1)先析幾何：先用圖形的幾何性質(zhì)分析定點的位置在x軸上(2)再解代數(shù)：用特殊的兩組k,m求出定點坐標(biāo)(3)輔以向量