離散型隨機(jī)變量及其分布課件

§2.2離散型隨機(jī)變量及其分布§2.2離散型隨機(jī)變量及其分布1

設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,….為了描述隨機(jī)變量X，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率.一、離散型隨機(jī)變量及其分布律1．離散型隨機(jī)變量的定義設(shè)X為一隨機(jī)變量，如X的全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量(discreterandomvariable)。設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,2其中(k=1,2,…)滿(mǎn)足：

k=1,2,…（1）（2）定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱(chēng)等式

k=1,2,……

為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布律，也稱(chēng)概率分布.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率函數(shù)其中(k=1,2,…)滿(mǎn)足：k=1,3證明:非負(fù)性顯然，下證規(guī)范性。設(shè)離散型r.v.

X的取值為x1,…,xn,…

則事件組{X=x1}，…，{X=xn}，…構(gòu)成了的一個(gè)劃分。分布律的性質(zhì)的證明證明:非負(fù)性顯然，下證規(guī)范性。設(shè)離散型r.v.X的取值為x4例1已知隨機(jī)變量X的分布律為X－2035P1/4a1/21/12試求（1）待定系數(shù)a，（2）概率P{X>－1/2}。即可求得a=1/6。（2）解:（1）由分布律的性質(zhì)可知例1已知隨機(jī)變量X的分布律為X－2035解:依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):P(X=k)≥0,

a≥0從中解得欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)應(yīng)有這里用到了常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.解:依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):P(X=k)≥0,a≥0從中62、表示方法（2）公式法（1）列表法：分布律可以用表格的形式表示：xn一般從小到大排列。XPx1x2…xn…p1p2…pn…2、表示方法（2）公式法（1）列表法：分布律可以用表格的形式7PXx1x2xk…（3）圖示法:分布律可以用圖形表示3、離散型隨機(jī)變量及其分布舉例PXx1x2xk…（3）圖示法:分布律可以用圖形表示3、8例2.

某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù).解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P(X=1)=P(A1)=p,為計(jì)算P(X=k)，k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是例2.某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)9可見(jiàn)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù).

P(X=1)=P(A1)=p,Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是可見(jiàn)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù).P(X=1)=P(A10

若隨機(jī)變量X的概率函數(shù)如上式，則稱(chēng)X具有幾何分布.不難驗(yàn)證:若隨機(jī)變量X的概率函數(shù)如上式，則稱(chēng)X具有幾何分11例3.一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等.以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求X的概率分布.解:依題意,X可取值0,1,2,3.

P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1例3.一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路12P(X=1)=P()=1/4

P(X=2)=P()=1/8X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)路口3路口2路口1路口3路口2路口1Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)P(X=1)=P()=1/4P(X=213=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即不難看到X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)=1/8P(X=3)=P()路口314例4重復(fù)獨(dú)立的進(jìn)行貝努力試驗(yàn)，直到事件A出現(xiàn)r(r1)次為止，求試驗(yàn)次數(shù)X的分布律.k=r,r+1,…稱(chēng)X服從Pascal分布。當(dāng)r=1時(shí)，X服從幾何分布。解：設(shè)每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為p,若當(dāng)?shù)趉次試驗(yàn)時(shí)，事件A出現(xiàn)r次，則前k-1次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)r-1次，于是例4重復(fù)獨(dú)立的進(jìn)行貝努力試驗(yàn)，直到事件A出現(xiàn)r(r115（1）已知隨機(jī)變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)：①設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=xk}=pk(k=1，2，…)

由概率的可列可加性可得X的分布函數(shù)為這里的和式是所有滿(mǎn)足xk≤x的k求和的。分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,…)處有跳躍，其躍跳值為pk=P{x=xk}。分布律與分布函數(shù)的關(guān)系（1）已知隨機(jī)變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)：這里的16②已知隨機(jī)變量X的分布律,亦可求任意隨機(jī)事件的概率。例如，求事件｛X∈B｝（B為實(shí)軸上的一個(gè)區(qū)間）的概率P{X∈B}時(shí)，只需將屬于B的X的可能取值找出來(lái)，把X取這些值的概率相加，即可得概率P{X∈B}，即因此，離散型隨機(jī)變量的分布律完整地描述它的概率分布情況。（2）已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，可求出X的分布律：②已知隨機(jī)變量X的分布律,亦可求任意隨機(jī)事件的概率17設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，并設(shè)F(x)的所有間斷為x1,x2,…，那么，X的分布律為例6:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為XP-1231/41/21/4

求X的分布函數(shù)，并求解:由概率的有限可加性，得所求分布函數(shù)為設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，并設(shè)F18

F（x）的圖形如下圖所示，它是一條階梯形的曲線(xiàn)，在x＝－1，2，3處有跳躍點(diǎn)，跳躍值分別為1/4，1/2，1/4。-10123xP1F（x）的圖形如下圖所示，它是一條階梯形的曲線(xiàn)，在x19于是于是201.（0－1）分布：設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律為P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0，1.(0<p<1)

則稱(chēng)X服從（0－1）分布,記為X（0－1）分布。（0－1）分布的分布律用表格表示為：X01P1-p

p易求得其分布函數(shù)為：二、三種常用離散型隨機(jī)變量的分布1.（0－1）分布：X01P1-21

2.二項(xiàng)分布（binomialdistribution)：定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布律為其中0<p<1,q=1-p,則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為Xb(n,p).即X服從二項(xiàng)分布。(1)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停涸趎重貝努利試驗(yàn)中，若以X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則X是一隨機(jī)變量，X可能取的值為0，1，2，…，n，由二項(xiàng)概率公式可得X的分布律為2.二項(xiàng)分布（binomialdistribution)22（2）因?yàn)?，其?/p>

恰為二項(xiàng)式的一般項(xiàng)，故稱(chēng)為二項(xiàng)分布。（3）當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布為（0－1）分布，即

Xb(１,p)。

（4）二項(xiàng)分布分布律的圖形為：Px

（2）因?yàn)?，其?3對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值；([x]表示不超過(guò)x

的最大整數(shù))n=10,p=0.7nPk對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)24對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.課下請(qǐng)自行證明上述結(jié)論.n=13,p=0.5Pkn0對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)253、泊松分布的定義及圖形特點(diǎn)設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().3、泊松分布的定義及圖形特點(diǎn)設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取26泊松分布的圖形特點(diǎn)：X~P()泊松分布的圖形特點(diǎn)：X~P()27n重Bernoulli試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪墙?jīng)常遇到的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。但?dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，二項(xiàng)概率的計(jì)算非常麻煩，如為解決諸如此類(lèi)的問(wèn)題，我們可以采用泊松分布或者正態(tài)分布進(jìn)行近似計(jì)算.事實(shí)上，這兩種分布最初都是作為二項(xiàng)分布的近似被引入的.n重Bernoulli試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪墙?jīng)常遇到的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?8歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松（Poisson)引入的.二項(xiàng)分布的泊松近似證明略.歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)29定理的條件意味著當(dāng)n很大時(shí)，pn必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n很大，p很小時(shí)有以下近似式：其中n100,np10時(shí)近似效果就很好實(shí)際計(jì)算中，也就是，n很大時(shí)，B(n,p)≈P(np)定理的條件意味著當(dāng)n很大時(shí)，pn必定很小.30容易理解，當(dāng)p不是很小，而是很大(接近于1)，可將問(wèn)題略為轉(zhuǎn)換一下，仍然可以應(yīng)用泊松近似.當(dāng)n很大時(shí)，p不是很小，而是很大(接近于1)時(shí)，能否應(yīng)用二項(xiàng)分布的泊松近似？下面我們看一個(gè)應(yīng)用的例子.容易理解，當(dāng)p不是很小，而是很大(接近于1)31例7為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)獨(dú)立工作，且發(fā)生故障的概率都是0.01。若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理，問(wèn)至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：例7為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)32300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理.問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，對(duì)300臺(tái)設(shè)備工作的考察可以看成是300重貝努里試驗(yàn).X~B(n,p)，n=300,p=0.01因此，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.0133300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理.問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01設(shè)需配備N(xiāo)個(gè)維修人員，則要求的是滿(mǎn)足的最小的N.300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.0134解：設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，n=300,p=0.01設(shè)需配備N(xiāo)個(gè)維修人員，所求的是滿(mǎn)足P(X>N)<0.01的最小的N.

P(X>N)n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似下面給出正式求解過(guò)程：解：設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，35即至少需配備8個(gè)維修人員.查泊松分布表得N+19,即N8我們求滿(mǎn)足的最小的N.即至少需配備8個(gè)維修人員.查泊松分布表得N+19,即36例8設(shè)有80臺(tái)設(shè)備,每臺(tái)設(shè)備情況如上例。（1）若由一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)設(shè)備，求這80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，而不能及時(shí)修理的概率；

（2）若由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)，求設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)修理的概率。解：（1）設(shè)X為1個(gè)人負(fù)責(zé)的20臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的機(jī)器數(shù),則X~B(20，0.01)。因?yàn)橐蝗酥荒苄抟慌_(tái)機(jī)器，故這20臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為：故所求概率為：例8設(shè)有80臺(tái)設(shè)備,每臺(tái)設(shè)備情況如上例。（1）若由一個(gè)37（2）設(shè)X為發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，X~B(80，0.01)

X取值：0，1，2，…，80。結(jié)論：（1）>>（2），說(shuō)明盡管情況2任務(wù)重了（一個(gè)人修27臺(tái)），但工作質(zhì)量提高了，也說(shuō)明，概率方法可用來(lái)討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)中某些問(wèn)題，以使達(dá)到更有效地使用人力、物力、資源的目的，這是運(yùn)籌學(xué)的任務(wù)，概率論是解決運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題的有力工具。（2）設(shè)X為發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，X~B(80，0.01)

38例9（壽險(xiǎn)）在保險(xiǎn)公司里有2500個(gè)同一年齡和同社會(huì)階層的人參加人壽保險(xiǎn)，其中每人在一年里死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在一月一日付12元保險(xiǎn)費(fèi)，而死亡時(shí)家屬可由保險(xiǎn)公司領(lǐng)2000元。（1）求公司虧本的概率（2）求獲利不小于10000元的概率。解；（1）公司一年總收入2500*12=30000，

X：一年中死亡人數(shù)。

X~b(2500,0.002),要2000X>30000例9（壽險(xiǎn)）在保險(xiǎn)公司里有2500個(gè)同一年齡和同社會(huì)階層的39(2)(2)40近數(shù)十年來(lái)，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一.在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布.近數(shù)十年來(lái)，泊松分布日益顯示在實(shí)41由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱(chēng)作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)42在自然界和人們的現(xiàn)實(shí)生活中,經(jīng)常要遇到在隨機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)的某種事件.我們把在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列,叫做隨機(jī)事件流.

若事件流具有平穩(wěn)性、無(wú)后效性、普通性，則稱(chēng)該事件流為泊松事件流（泊松流）.*泊松分布產(chǎn)生的一般條件下面簡(jiǎn)要解釋平穩(wěn)性、無(wú)后效性、普通性.在自然界和人們的現(xiàn)實(shí)生活中,經(jīng)常要遇到在隨機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)43平穩(wěn)性:在任意時(shí)間區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生k次(k≥0)的概率只依賴(lài)于區(qū)間長(zhǎng)度而與區(qū)間端點(diǎn)無(wú)關(guān).無(wú)后效性:普通性:在不相重疊的時(shí)間段內(nèi)，事件的發(fā)生是相互獨(dú)立的.如果時(shí)間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的概率可忽略不計(jì).平穩(wěn)性:在任意時(shí)間區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生k次(k≥0)的無(wú)44都可以看作泊松流.某電話(huà)交換臺(tái)收到的電話(huà)呼叫數(shù)；到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù);一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù);一臺(tái)紡紗機(jī)的斷頭數(shù);

…一放射性源放射出的粒子數(shù)；例如都可以看作泊松流.某電話(huà)交換臺(tái)收到的電話(huà)呼叫數(shù)；到某機(jī)場(chǎng)降落45對(duì)泊松流，在任意時(shí)間間隔(0,t)內(nèi),事件(如交通事故)出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布.稱(chēng)為泊松流的強(qiáng)度.對(duì)泊松流，在任意時(shí)間間隔(0,t)內(nèi),事件46（?。┏瑤缀畏植?/p>

設(shè)一堆同類(lèi)產(chǎn)品共N件，其中有M個(gè)次品，現(xiàn)從中任取n個(gè)(為方便計(jì)算。假定n≤N-M)，則這n個(gè)中所含的次品數(shù)X是個(gè)離散型隨機(jī)變量，X的分布律為其中L=min(M，n),這個(gè)概率分布稱(chēng)為超幾何分布。三、其它常見(jiàn)分布簡(jiǎn)述（ⅰ）超幾何分布

設(shè)一堆同類(lèi)產(chǎn)品共N件，其中有M個(gè)次品47(ⅱ)幾何分布在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為p，記X為A首次發(fā)生時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)。則不難驗(yàn)證，X具有如下分布律這個(gè)概率分布稱(chēng)為幾何分布。（ⅲ）帕斯卡分布在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若記X為A在第r次發(fā)生時(shí)的

試驗(yàn)次數(shù),則X的分布律為這個(gè)分布稱(chēng)為帕斯卡分布。(ⅱ)幾何分布這個(gè)概率分布稱(chēng)為幾何分布。（ⅲ）帕斯48對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率函數(shù),也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.在這個(gè)意義上，我們說(shuō)這一講，我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其概率分布,以及幾種離散型分布.離散型隨機(jī)變量由它的概率函數(shù)唯一確定.下一節(jié)，我們將向大家介紹連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率函數(shù),49§2.2離散型隨機(jī)變量及其分布§2.2離散型隨機(jī)變量及其分布50

設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,….為了描述隨機(jī)變量X，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率.一、離散型隨機(jī)變量及其分布律1．離散型隨機(jī)變量的定義設(shè)X為一隨機(jī)變量，如X的全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量(discreterandomvariable)。設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,51其中(k=1,2,…)滿(mǎn)足：

k=1,2,…（1）（2）定義1：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱(chēng)等式

k=1,2,……

為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布律，也稱(chēng)概率分布.用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率函數(shù)其中(k=1,2,…)滿(mǎn)足：k=1,52證明:非負(fù)性顯然，下證規(guī)范性。設(shè)離散型r.v.

X的取值為x1,…,xn,…

則事件組{X=x1}，…，{X=xn}，…構(gòu)成了的一個(gè)劃分。分布律的性質(zhì)的證明證明:非負(fù)性顯然，下證規(guī)范性。設(shè)離散型r.v.X的取值為x53例1已知隨機(jī)變量X的分布律為X－2035P1/4a1/21/12試求（1）待定系數(shù)a，（2）概率P{X>－1/2}。即可求得a=1/6。（2）解:（1）由分布律的性質(zhì)可知例1已知隨機(jī)變量X的分布律為X－20354解:依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):P(X=k)≥0,

a≥0從中解得欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)應(yīng)有這里用到了常見(jiàn)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式例2.設(shè)隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.解:依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):P(X=k)≥0,a≥0從中552、表示方法（2）公式法（1）列表法：分布律可以用表格的形式表示：xn一般從小到大排列。XPx1x2…xn…p1p2…pn…2、表示方法（2）公式法（1）列表法：分布律可以用表格的形式56PXx1x2xk…（3）圖示法:分布律可以用圖形表示3、離散型隨機(jī)變量及其分布舉例PXx1x2xk…（3）圖示法:分布律可以用圖形表示3、57例2.

某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù).解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P(X=1)=P(A1)=p,為計(jì)算P(X=k)，k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是例2.某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)58可見(jiàn)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù).

P(X=1)=P(A1)=p,Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是可見(jiàn)這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù).P(X=1)=P(A59

若隨機(jī)變量X的概率函數(shù)如上式，則稱(chēng)X具有幾何分布.不難驗(yàn)證:若隨機(jī)變量X的概率函數(shù)如上式，則稱(chēng)X具有幾何分60例3.一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等.以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求X的概率分布.解:依題意,X可取值0,1,2,3.

P(X=0)=P(A1)=1/2,Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1例3.一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路61P(X=1)=P()=1/4

P(X=2)=P()=1/8X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)路口3路口2路口1路口3路口2路口1Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)P(X=1)=P()=1/4P(X=262=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即不難看到X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)Ai={第i個(gè)路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)=1/8P(X=3)=P()路口363例4重復(fù)獨(dú)立的進(jìn)行貝努力試驗(yàn)，直到事件A出現(xiàn)r(r1)次為止，求試驗(yàn)次數(shù)X的分布律.k=r,r+1,…稱(chēng)X服從Pascal分布。當(dāng)r=1時(shí)，X服從幾何分布。解：設(shè)每次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)的概率為p,若當(dāng)?shù)趉次試驗(yàn)時(shí)，事件A出現(xiàn)r次，則前k-1次試驗(yàn)事件A出現(xiàn)r-1次，于是例4重復(fù)獨(dú)立的進(jìn)行貝努力試驗(yàn)，直到事件A出現(xiàn)r(r164（1）已知隨機(jī)變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)：①設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=xk}=pk(k=1，2，…)

由概率的可列可加性可得X的分布函數(shù)為這里的和式是所有滿(mǎn)足xk≤x的k求和的。分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,…)處有跳躍，其躍跳值為pk=P{x=xk}。分布律與分布函數(shù)的關(guān)系（1）已知隨機(jī)變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)：這里的65②已知隨機(jī)變量X的分布律,亦可求任意隨機(jī)事件的概率。例如，求事件｛X∈B｝（B為實(shí)軸上的一個(gè)區(qū)間）的概率P{X∈B}時(shí)，只需將屬于B的X的可能取值找出來(lái)，把X取這些值的概率相加，即可得概率P{X∈B}，即因此，離散型隨機(jī)變量的分布律完整地描述它的概率分布情況。（2）已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，可求出X的分布律：②已知隨機(jī)變量X的分布律,亦可求任意隨機(jī)事件的概率66設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，并設(shè)F(x)的所有間斷為x1,x2,…，那么，X的分布律為例6:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為XP-1231/41/21/4

求X的分布函數(shù)，并求解:由概率的有限可加性，得所求分布函數(shù)為設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，并設(shè)F67

F（x）的圖形如下圖所示，它是一條階梯形的曲線(xiàn)，在x＝－1，2，3處有跳躍點(diǎn)，跳躍值分別為1/4，1/2，1/4。-10123xP1F（x）的圖形如下圖所示，它是一條階梯形的曲線(xiàn)，在x68于是于是691.（0－1）分布：設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律為P{X=k}=pk(1-p)1-k,k=0，1.(0<p<1)

則稱(chēng)X服從（0－1）分布,記為X（0－1）分布。（0－1）分布的分布律用表格表示為：X01P1-p

p易求得其分布函數(shù)為：二、三種常用離散型隨機(jī)變量的分布1.（0－1）分布：X01P1-70

2.二項(xiàng)分布（binomialdistribution)：定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布律為其中0<p<1,q=1-p,則稱(chēng)X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為Xb(n,p).即X服從二項(xiàng)分布。(1)試驗(yàn)?zāi)Ｐ停涸趎重貝努利試驗(yàn)中，若以X表示事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則X是一隨機(jī)變量，X可能取的值為0，1，2，…，n，由二項(xiàng)概率公式可得X的分布律為2.二項(xiàng)分布（binomialdistribution)71（2）因?yàn)?，其?/p>

恰為二項(xiàng)式的一般項(xiàng)，故稱(chēng)為二項(xiàng)分布。（3）當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布為（0－1）分布，即

Xb(１,p)。

（4）二項(xiàng)分布分布律的圖形為：Px

（2）因?yàn)?，其?2對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值；([x]表示不超過(guò)x

的最大整數(shù))n=10,p=0.7nPk對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)73對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.課下請(qǐng)自行證明上述結(jié)論.n=13,p=0.5Pkn0對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)743、泊松分布的定義及圖形特點(diǎn)設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~P().3、泊松分布的定義及圖形特點(diǎn)設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取75泊松分布的圖形特點(diǎn)：X~P()泊松分布的圖形特點(diǎn)：X~P()76n重Bernoulli試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪墙?jīng)常遇到的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?。但?dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，二項(xiàng)概率的計(jì)算非常麻煩，如為解決諸如此類(lèi)的問(wèn)題，我們可以采用泊松分布或者正態(tài)分布進(jìn)行近似計(jì)算.事實(shí)上，這兩種分布最初都是作為二項(xiàng)分布的近似被引入的.n重Bernoulli試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪墙?jīng)常遇到的試驗(yàn)?zāi)Ｐ?7歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松（Poisson)引入的.二項(xiàng)分布的泊松近似證明略.歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)78定理的條件意味著當(dāng)n很大時(shí)，pn必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n很大，p很小時(shí)有以下近似式：其中n100,np10時(shí)近似效果就很好實(shí)際計(jì)算中，也就是，n很大時(shí)，B(n,p)≈P(np)定理的條件意味著當(dāng)n很大時(shí)，pn必定很小.79容易理解，當(dāng)p不是很小，而是很大(接近于1)，可將問(wèn)題略為轉(zhuǎn)換一下，仍然可以應(yīng)用泊松近似.當(dāng)n很大時(shí)，p不是很小，而是很大(接近于1)時(shí)，能否應(yīng)用二項(xiàng)分布的泊松近似？下面我們看一個(gè)應(yīng)用的例子.容易理解，當(dāng)p不是很小，而是很大(接近于1)80例7為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)獨(dú)立工作，且發(fā)生故障的概率都是0.01。若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理，問(wèn)至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：例7為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)81300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理.問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，對(duì)300臺(tái)設(shè)備工作的考察可以看成是300重貝努里試驗(yàn).X~B(n,p)，n=300,p=0.01因此，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.0182300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理.問(wèn)至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01設(shè)需配備N(xiāo)個(gè)維修人員，則要求的是滿(mǎn)足的最小的N.300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.0183解：設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，n=300,p=0.01設(shè)需配備N(xiāo)個(gè)維修人員，所求的是滿(mǎn)足P(X>N)<0.01的最小的N.

P(X>N)n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似下面給出正式求解過(guò)程：解：設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，84即至少需配備8個(gè)維修人員.查泊松分布表得N+19,即N8我們求滿(mǎn)足的最小的N.即至少需配備8個(gè)維修人員.查泊松分布表得N+19,即85例8設(shè)有80臺(tái)設(shè)備,每臺(tái)設(shè)備情況如上例。（1）若由一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)設(shè)備，求這80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，而不能及時(shí)修理的概率；

（2）若由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)，求設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)修理的概率。解：（1）設(shè)X為1個(gè)人負(fù)責(zé)的20臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的機(jī)器數(shù),則X~B(20，0.01)。因?yàn)橐蝗酥荒苄抟慌_(tái)機(jī)器，故這20臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障不能及時(shí)維修的概率為：故所求概率為：例8設(shè)有80臺(tái)設(shè)備,每臺(tái)設(shè)備情況如上例。（1）若由一個(gè)86（2）設(shè)X為發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，X~B(80，0.01)

X取值：0，1，2，…，80。結(jié)論：（1）>>（2），說(shuō)明盡管情況2任務(wù)重了（一個(gè)人修27臺(tái)），但工作質(zhì)量提高了，也說(shuō)明，概率方法可用來(lái)討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)中某些問(wèn)題，以使達(dá)到更有效地使用人力、物力、資源的目的，這是運(yùn)籌學(xué)的任務(wù)，概率論是解決運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題的有力工具。（2）設(shè)X為發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，