新教材高中數(shù)學(xué) 第二章 等式與不等式 2.2.1 不等式及其性質(zhì) 新人教B必修1

2.2不等式2.2.1不等式及其性質(zhì)整理ppt整理ppt1.不等式與不等關(guān)系不等式的定義所含的兩個要點.(1)不等符號<，>，≤，≥或≠.(2)所表示的關(guān)系是不等關(guān)系.整理ppt【思考】(1)不等號“≤，≥”的讀法分別是什么？提示：“≤”讀作小于或者等于，“≥”讀作大于或者等于.整理ppt(2)不等式“a≤b”的含義是什么？只有當(dāng)“a<b”與“a=b”同時成立時，該不等式才成立，是嗎？提示：不等式a≤b應(yīng)讀作：“a小于或等于b”，其含義是指“或者a<b或者a=b”，等價于“a不大于b”，即若a<b與a=b之中有一個正確，則a≤b正確.整理ppt2.比較兩個實數(shù)大小的方法(1)畫數(shù)軸比較法依據(jù)①實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)②如果點P對應(yīng)的數(shù)為x，則x為點P的坐標(biāo)，并記作P(x)結(jié)論數(shù)軸上的點往數(shù)軸的正方向運動時，它所對應(yīng)的實數(shù)會變大.整理ppt(2)作差比較法依據(jù)如果a-b>0，那么a>b如果a-b<0，那么a<b如果a-b=0，那么a=b結(jié)論確定任意兩個實數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定它們的差a-b與0的大小關(guān)系整理ppt【思考】(1)在比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)中，a，b兩數(shù)是任意實數(shù)嗎？提示：是任意實數(shù).(2)若“b-a>0”，則a，b的大小關(guān)系是怎樣的？提示：b>a.整理ppt3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)1

a>b?a+c>b+c性質(zhì)2

a>b，c>0?ac>bc性質(zhì)3

a>b，c<0?ac<bc性質(zhì)4

a>b，b>c?a>c性質(zhì)5

a>b?b<a整理ppt4.不等式性質(zhì)的推論推論1

a+b>c?a>c-b推論2

a>b，c>d?a+c>b+d推論3

a>b>0，c>d>0?ac>bd推論4

a>b>0?an>bn(n∈N，n>1)推論5

a>b>0?>___整理ppt【思考】(1)性質(zhì)2，3可以概括為在不等式的兩邊同乘以一個不為零的數(shù)，不改變不等號的方向，對嗎？為什么？提示：不對.要看兩邊同乘以的數(shù)的符號，同乘以正數(shù)，不改變不等號的方向，但是同乘以負(fù)數(shù)時，要改變不等號的方向.整理ppt(2)推論1類似于解方程中的什么法則？提示：移項法則.(3)使用推論3，4，5時，要注意什么條件？提示：各個數(shù)均為正數(shù).整理ppt5.證明問題的常用方法(1)綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法.(2)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.整理ppt(3)反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不成立.反證法是一種間接證明的方法.整理ppt【思考】(1)綜合法與分析法有什么區(qū)別？提示：綜合法是從已知條件出發(fā)，逐步尋找的是必要條件，即由因?qū)Ч环治龇ㄊ菑拇蠼Y(jié)論出發(fā)，逐步尋找的是充分條件，即執(zhí)果索因.整理ppt(2)反證法的實質(zhì)是什么？提示：反證法的實質(zhì)就是否定結(jié)論，推出矛盾，從而證明原結(jié)論是正確的.整理ppt【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)不等式x≥2的含義是指x不小于2. (

)(2)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關(guān)系中的一種. (

)(3)若a>b，則ac2>bc2. (

)整理ppt(4)若a+c>b+d，則a>b，c>d. (

)整理ppt提示：(1)√.不等式x≥2表示x>2或x=2，即x不小于2.(2)√.任意兩數(shù)之間，有且只有a>b，a=b，a<b三種關(guān)系中的一種，沒有其他大小關(guān)系.(3)×.由不等式的性質(zhì)，ac2>bc2?a>b；反之，c=0時，a>bac2>bc2.整理ppt(4)×.取a=4，c=5，b=6，d=2，滿足a+c>b+d，但不滿足a>b，故此說法錯誤.整理ppt2.設(shè)b<a，d<c，則下列不等式中一定成立的是 (

)A.a-c>b-d B.ac>bdC.a+c>b+d D.a+d>b+c【解析】選C.因為b<a，d<c，所以b+d<a+c.整理ppt3.已知x<1，則x2+2與3x的大小關(guān)系為________.

【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1)，而x<1，所以x-2<0，x-1<0，所以x2+2-3x>0，所以x2+2>3x.答案：x2+2>3x整理ppt類型一作差法比較大小【典例】比較下列各式的大小：(1)當(dāng)x≤1時，比較3x3與3x2-x+1的大小.(2)當(dāng)x，y，z∈R時，比較5x2+y2+z2與2xy+4x+2z-2的大小.整理ppt【思維·引】利用作差法比較，先作差、化簡，再判斷差的符號.整理ppt【解析】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).因為x≤1，所以x-1≤0，而3x2+1>0.所以(3x2+1)(x-1)≤0，所以3x3≤3x2-x+1.整理ppt(2)因為5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2)=4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1=(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0，所以5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=且z=1時取到等號.整理ppt【素養(yǎng)·探】本例考查作差法比較大小，突出考查了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).本例(1)中，若把條件“x≤1”去掉，試比較所給兩式的大小.整理ppt【解析】去掉條件“x≤1”后需對差的符號進行討論.顯然3x2+1>0，所以當(dāng)x<1時，(3x2+1)(x-1)<0，所以3x3<3x2-x+1；當(dāng)x=1時，(3x2+1)(x-1)=0，所以3x3=3x2-x+1；當(dāng)x>1時，(3x2+1)(x-1)>0，所以3x3>3x2-x+1.整理ppt【類題·通】作差法比較大小的步驟整理ppt【習(xí)練·破】已知x，y∈R，P=2x2-xy+1，Q=2x-，試比較P，Q的大小.【解析】因為P-Q=2x2-xy+1-=x2-xy++x2-2x+1=+(x-1)2≥0，所以P≥Q.整理ppt【加練·固】比較下列各組中兩個代數(shù)式的大小：(1)x2+3與2x；(2)已知a，b為正數(shù)，且a≠b，比較a3+b3與a2b+ab2的大小.整理ppt【解析】(1)(x2+3)-2x=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，所以x2+3>2x.整理ppt(2)(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)，因為a>0，b>0，且a≠b，所以(a-b)2>0，a+b>0.所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0，即a3+b3>a2b+ab2.整理ppt類型二利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假【典例】下列命題中一定正確的是

(

)世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號A.若a>b且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1整理pptC.若a>b，且a+c>b+d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則以c>d整理ppt【思維·引】利用不等式的性質(zhì)和特殊值檢驗求解.整理ppt【解析】選A.對于A項，因為，所以>0，即>0，又a>b，所以b-a<0，所以ab<0，所以a>0，b<0；對于B項，當(dāng)a>0，b<0時，有<0<1，故B項錯；對于C項，當(dāng)a=10，b=3時，雖有10+1>3+2，但1<2，故C項錯；整理ppt對于D項，當(dāng)a=-1，b=-2時，有(-1)×(-1)>(-2)×7，但-1<7，故D項錯.整理ppt【素養(yǎng)·探】利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假，突出考查了邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).對于實數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是 (

)A.若a>b，則ac2>bc2 B.若a>b>0，則C.若a<b<0，則 D.若a>|b|，則a2>b2整理ppt【解析】選D.當(dāng)c=0時，有ac2=bc2，故A為假命題；當(dāng)a>b>0，有，故B為假命題；a<b<0?-a>-b>0??，故C為假命題；若a>|b|≥0，則a2>b2，故D為真命題.整理ppt【類題·通】1.運用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的技巧(1)運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能隨意捏造性質(zhì).整理ppt(2)解有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.整理ppt2.倒數(shù)性質(zhì)：(1)若a>b>0，則.(2)若0>a>b，則.即a>b，ab>0?.整理ppt【習(xí)練·破】若a>b>c，則下列不等式成立的是 (

)A. B.C.ac>bc D.ac<bc【解析】選B.因為a>b>c，所以a-c>b-c>0.所以.整理ppt【加練·固】

設(shè)a>1>b>-1，則下列不等式中恒成立的是 (

)A. B.C.a2>2b D.a>b2整理ppt【解析】選D.A錯，例如a=2，b=-時，，=-2，此時，；B錯，例如a=2，b=時，，=2，此時，；C錯，例如時， ，此時a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2.整理ppt類型三利用不等式的性質(zhì)證明不等式角度1綜合法【典例】已知a>b>0，c<d<0，e<0，求證：.整理ppt【思維·引】本題可利用不等式的性質(zhì)進行證明，也可以作差進行證明.整理ppt【證明】方法一：因為c<d<0，所以-c>-d>0，因為a>b>0，所以a-c>b-d>0，所以0<，又因為e<0，所以.方法二：，因為a>b>0，c<d<0，所以-c>-d>0，所以a-c>0，b-d>0，整理pptb-a<0，c-d<0，又e<0，所以>0，所以

.整理ppt【素養(yǎng)·探】本題主要考查不等式的基本性質(zhì)，同時考查了邏輯推理的核心素養(yǎng).本例條件不變，結(jié)論改為求證，請證明.整理ppt【證明】因為c<d<0，所以-c>-d>0，因為a>b>0，所以a-c>b-d>0，所以(a-c)2>(b-d)2>0，所以0<，又e<0，所以.整理ppt角度2分析法與反證法【典例】證明：. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號【思維·引】根據(jù)問題特點可選用分析法證明，也可用反證法證明.整理ppt【證明】方法一：分析法：要證，只需證，只需證，展開得，只需證，即證14<18，顯然成立，所以.整理ppt方法二：反證法：假設(shè)，則，兩邊平方得，所以，即14≥18，顯然不成立，所以假設(shè)錯誤.所以.整理ppt方法三：運用變形后再證.整理ppt【類題·通】1.利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式的實質(zhì)及注意點(1)實質(zhì)：就是根據(jù)性質(zhì)把不等式變形.(2)注意點：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；整理ppt②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.整理ppt2.證明不等式常選用綜合法，對于不方便用綜合法證明的不等式可以靈活選擇分析法與反證法.整理ppt【習(xí)練·破】1.將下面用分析法證明≥ab的步驟補充完整：要證≥ab，只需證a2+b2≥2ab，也就是證________，即證________，由于________顯然成立，因此原不等式成立.整理ppt【解析】用分析法證明≥ab的步驟為：要證≥ab成立，只需證a2+b2≥2ab，也就是證a2+b2-2ab≥0，即證(a-b)2≥0.由于(a-b)2≥0顯然成立，所以原不等式成立.答案：a2+b2-2ab≥0

(a-b)2≥0

(a-b)2≥0整理ppt2.用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則∠A=∠B=90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設(shè)∠A、∠B、∠C中有兩個角是直角，不妨設(shè)∠A=∠B=90°.正確順序的序號排列為________.

整理ppt【解析】根據(jù)反證法證題的三步驟：否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾、得出結(jié)論.答案：③①②整理ppt【加練·固】

已知x，y>0