2018數(shù)競平面幾何講義教師版

平面幾何（四點共圓）沖刺講義 班 號 一、知識準(zhǔn)備以下簡單介紹講義可能涉及的一些簡單的知識：歐拉線：冶班:的垂心：，重心'■，外心*1■三點共線.此線稱為歐拉線，且有關(guān)系： ~氣宀九點圓定理：三角形的三條高的垂足、三邊的中點，以及垂心與頂點的三條連接線段的中點，共九點共圓。此圓稱為三角形的九點圓，或稱歐拉圓的九點圓的圓心是其外心與垂心所連線段的中點丄九點圓的半徑是汪以的外接圓半徑的-.三角形心與旁心的性質(zhì)： I：—的心為；，而-邊外的旁心分別為…''；AD皿CF分別是三條角平分線，交三角形外接圓于M，弘交于」V,則:①三角形過同一頂點的、外角平分線互相垂直；二、例題分析例1.''是■■-1（的外接圓的直徑，過「作圓J的切線交「于'’，連接并延長J分別交AB、畀匸于、R，求證：OM=ON

44OfBQfNl證明：過；作 的平行線分別交 匕；于、，則’ -.?。篨中點：，連接.眇OGP■90*,二P、PGQ四點共圓.^LODG=￡OPG，而由MV/ZZfA"，左SPG=3.譏ODG=gRG，了、r門F四點共圓.LOrDB，而乙O'DR=￡/iCJ3,EO’GR= ,OrGf/AC而「是'的中點，?’是，的中點，丁『C.陷OM=ON例2.等腰梯形］:」中,：」「',「，：-分別是「 ■1的心，廠是直線亠上的一點， ?」，的外接圓交的延長線于’-1證明：亠'.

LPFC=90°--ABCD=-(LCBD+LCDB)證明： 丄 二-LEAC+LECA-LPEC，故EFCP共圓，則LECP-LEFP-90n，因此^-PAQ^LPCQ-90“-LDCE，而才=〔貯j-yr'汀以J廠.￡血n-用.二花所以，、匚 '，由此，‘LI例3.在-中，?I「，心為：，切圓在］■<?■邊上的切點分別為廠’，廠，設(shè)二是D關(guān)于點/的對稱點，丄是E關(guān)于點/的對稱點.求證：mCa四點共圓.證明TOC\o"1-5"\h\z1的中點為「」U?(?設(shè)點廠在直線八/上的射影為 ,a+b+c…Th P~ =2b由于 則半周長 - ，于曰d； j：訂-?:;-.-I■''-:([:是 ，又汀=：工‘所以注fisM更卩，且相似比為-,熟知:'—汽=r。又ms所以’?，即"?是〉的中點進(jìn)而’? ， 「「"?'，所以」?- '都在以「'為圓心的同一個圓周上.上選取兩點C、D使得C、高中數(shù)學(xué)奧林匹克-2018年7月暑假培訓(xùn)班例4.設(shè)A、B為圓上兩點，上選取兩點C、D使得C、D、X依次位于同一直線上，且CAJBD，再設(shè)F、G分別為CA和BD、CD和AB的交點，H為AGX的中垂線與BD的交點.證明：X、F、G、H四點共圓.證明：設(shè)O為圓心，ABQXO=M.A?/△COAs/AM,/-OXXM=XA2=XCXD.???0、M、C、D四點共圓.???ZXMO=ZOCD=ZODC=JOMC.在CM上選取一點E使MX/DE,貝UMD=ME..CGCMCMCX"U77Ttj"UFP在GX上取點X，使ZGFD=ZDFX，在XF上取W使CF/GW.XBX'FXTXC* __ _ — 由"r( ■ 〔(得CGXD=XCGD.由上面兩式得=，故X=X./.ZGFD=ZXFD.又?/=<1和ZXPB=ZCDF<1./.H和B在CX的同一側(cè).X設(shè)H為直線BF與/GFX外接圓的交點，則XZHXG=ZHFG=ZHFX=ZHGX.?HG=HX,/.H=H.???X、F、G、H四點共圓，得證.注：上述證法比較麻煩，本題實質(zhì)如下：易知；'為調(diào)和點列，又-匚一??；，可得「門為丄吩的平分線，設(shè)L八外接圓交&」于」點，由“雞爪”定理知---m，從而?在"…的中垂線上,本題得證.例5.△ABC中，E、F分別為AB、AC中點，CM、BN為高，EF交MN于P,0、H分別為三角形的外心與垂心.求證：AP1OH.證明：由ZBMC=/BNC=90知B、C、N、M四點共圓.???AMAB=ANAC.又AE=AB,AF=AC,/-AMAE=ANAF，即E、F、N、M共圓.注意到由/AMH=ZANH=ZAEO=ZAFO=90知AH、AO分別為AAMN、△AEF外接圓的直徑.過AH中點H與AO中點O分別為△XMN與AAEF的外心，且易知OH/OH.?只需證APJOH，只需證A、O為AAMN、△AEF外接圓的等幕點即可.注意到A為兩圓公共點，而由E、F、N、M共圓知PMPN=PEPF.故P也為等幕點.綜上所述，原命題成立.

例6.設(shè)△KBC接于圓O,過A作切線PD,D在射線BC上，P在射線DA上，過P作圓O的割線PU，U在BD上，PU交圓O于Q、T且交AB、AC于R、S.證明：若QR=ST,貝UPQ=UT.證明：過O作OK_LPU=K,OF_LBU=F，連結(jié)AK延長交OO于另一點E,過C作CH/PU交AE于G,交AB于H，連GF、OP、OU、OA、OE.由垂徑定理知BF=FC,QK=KT,且QR=ST.???RK=KS即K是RS的中點，且CH/PU..?.== ==1HG=GC.由中位線定理知FG//BH.???/FGE=ZBAE=ZBCEF、G、C、E共圓.?ZEFC=ZEGC=ZAGH=AJKG.?ZEFO+JOKE=ZOFC+ZCFE+ZOKE=90+JUKG+JOKE=90+90=.?K、O、F、E四點共圓…①又'//OKU+ZOFU=2X90=,?K、O、F、U四點共圓…②結(jié)合①②知K、O、F、E、U五點共圓，??ZKUO=:ZKEO又/PA為OO切線OAJPA，且OKJPUZKEO:=JKAO?ZKPO=ZKUOOP=OU.又/OK_LPU,.PK=UK.而QK=TU,/-PQ=UT,得證.OP為以P點為圓心、PD為半徑的圓.證明：C點在伯MP外接圓與OP為以P點為圓心、PD為半徑的圓.證明：C點在伯MP外接圓與OP的根軸上.證明：作PRAAC，其延長線交BC延長線于S.?/JDMA=ZOBA=ZOCA=90,???A、C、0、M、B五點共圓.???/BMP=ZBMA+90=ZBCA+90-ZRSC.?B、M、P、S四點共圓.例7.AB、AC為OO切線，ADE為一條割線,M為DE例7.AB、AC為OO切線，ADE為一條割線,?C對少MP外接圓的幕為一CBCS=—2CACR.而C對OP的幕為CP2—PD2=CP2—AP2—ADAE=CP2—AP2+AC2=CR2+RP2—PR2—AR2+AC2=CR2—CR+CA2+CA2=—2RCCA.???C點對OP的幕等于C點到少MP外接圓的幕.???C點在上述兩圓根軸上，得證.例8.設(shè)H為△KBC的垂心，D、E、F為△ABC的外接圓上三點，使AD/BE/CF,S、T、U分別為D、E、F關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點.求證：S、T、U、H四點共圓.證明：先證引理：ABC外接圓OO與它的九點圓OV關(guān)于△ABC的垂心H位似，且位似比為.引理的證明：設(shè)AH、BH、CH分別交邊BC、CA、AB于O、E、F，交OO于D、E、F.易知HD=HD,HE=HE,HF=HF.?△DEF與A)EF關(guān)于H位似，位似比為.?△DEF外接圓與△DEF外接圓關(guān)于H位似，即OO與OV關(guān)于H位似，位似比為.回到原題：設(shè)BC、CA、AB中點分別為X、Y、乙過D作DP/BC,交OO于P,設(shè)PH中點為W.易知SDJBC，設(shè)PS交BC于X，則由SD關(guān)于BC對稱知SX=XD.???X為BC中點，即X與X重合，即同理P與U、T分別關(guān)于Z、Y對稱.?四邊形USHT與四邊形ZYWX對稱.由引理知Z、X、Y、W四點共圓.P與S關(guān)于X對稱.C?U、T、P與S關(guān)于X對稱.C例9.給定銳角SBC,過A作BC的垂線，垂足為D，記A\BC的垂心為H，在△ABC的外接圓上任取一動點P，延長PH交△KPD的外接圓于Q.求Q點的軌跡.解：Q點軌跡為△ABC的九點圓.如圖，取AH、BH、PH的中點M、N、K,延長AD交△ABC外接圓于G.則熟知HD=DG,連接KN、MN、KD、PB、PG.因為各取中點有ZNKD=ZBPG,ZNMD=ZBAG.???K、N、M、D四點共圓.又Q在△APD的外接圓上，PHHQ=AHHD，即2KHHQ=2MHHD.KHHQ=MHHD.于是有K、D、Q、M、N五點共圓.又QMN外接圓為九點圓，所以Q在九點圓上.反之，在如上所述九點圓上任取一點 Q，設(shè)QH延長線交AABC外接圓于P，取PH中點R,同上可證R在九點圓上.故2RHHQ=2MHHD，即PHHQ=AHHD.因此Q在D外接圓上.得證.例10.在SBC中，D是BC邊上的一點，設(shè)Oi、02分別是AABD、AACD的外心，O是經(jīng)過A、Oi、02三點的圓的圓心.求證：ODJBCAD恰好經(jīng)過△KBC的九點圓心.證明：連AOi、BOi、A02、C02,作AB、AC垂直平分線交于點0.???厶02C=2ZADB=ZAOiB,AOi=BOi,AO2=CO2,/?△\0iBSZ02C.???△AOiO2szabc.???厶OiO=—ZAOiB=—厶O2C=—ZAO2O.故0在OO上，0是△KBC的外心，故△KO0szAOiB.又ZADB=/i,ZOiAB=ZOAO=ZOOA.?0DJBC ZBAOi=ZADO ZADO=ZODAA、0、0、D共圓ZAO0=—ZADO=ZADB+ZODCZADB=ZODCvZAO0=2ZADB如圖，設(shè)OH與AD交于點K，作BC中垂線OM，交AD延長線于點M,OM與BC交于點L.由ZADB=ZODCDL=LMOM=20L=AH△AKH也ZIKO OK=KHK為九點圓心AD經(jīng)過ZABC的九點圓心.綜上所述，命題得證.例11.」圧〔接于了丿，自?作3P的切線，又以?為圓心，I為半徑作匕'交直線用爵于務(wù)例11.」圧〔接于了丿，自?作3P的切線，又以?為圓心，I為半徑作匕'交直線用爵于務(wù)◎,交直線/于拆，場;則四邊形；-的四條邊所在直線分別通過 '「的心及三個旁心?以下，我們?nèi)园? ?情況給出圖形和解答（其實在所有情形下結(jié)論都成立）證明：’、如圖，設(shè) 的平分線交 于；，因' ''，則點' 關(guān)于直線.丿對稱，又因 ―在V'上,則上*冷，因此’共圓,由于'為衛(wèi)「的切線，則匚匕時 又由-「所以'、據(jù)條件知為矩形,設(shè)角平分線「交直線?'于?，連，由⑴知，點'關(guān)于直線■'對稱，故斤心"卞邙.二&’則'為 的外角平分線，因此'為］邊外的旁心.'、設(shè)一“:!「的外角平分線交直線'■于，由廠-代-「訃」y' ?共圓.S+CS+CEFJ打=LF{Al2■90°-UAFy' 2故'；共線，因此'為邊外的旁心?-+/?- -LAEJ-LABI■LE.IB匕丿2 ' '■、設(shè)m的外角平分線交直線于，連「yI?，因ns-— ■、設(shè)m的外角平分線交直線于，連「yI?，因ns-— ■-■.：■■■■■|故“即I共圓.5再?wl口工解-"的-5E、■匚R1、E\.所以「共線,即是一卜的外角平分線,因此'為’「邊外的旁心.例12.三角形 中，, ?=是」的中點，出戈匸分別是■-邊上的點,證明：=A.CPD且」 的外接圓交線段川于’若點?；’滿足：拴'證明：在圓丄J 中，由于弦’ ：故圓周角LAPE=LAPF=丄（1耳護(hù)-A）=LABC=LACB因此，八?與■'…'分別共圓，于曰運打一「口--■m于是設(shè)點7在邊小」?"上的射影分別為■■'1,則△'」? ,故由f得，「-「匕.o1設(shè)△I的心為今證:,1-{-四點共圓：連?’.6J-?因■■- I-■■- ■■■.分另U共圓，則乙％此1沁 一'農(nóng)'/■:i,/7?團(tuán)T又由o1, 「"',所以△ ' 又由o1, 「"',所以△ ' “因此二送攔「上匕而e 「:"込「:.所以■ 1因為——W1叭LPBC}=LPBI+LJBA,LIC8=-=-=LIBA.22故得d-::m，因此二u.四點共圓，LBPC-LBIC-9On+-=]8O°-R,于是 -延長il交土空匸的外接圓于'貝M?為該外接圓的直徑于是m丄卞:；亠:"■.且「「二=：■.■■■'.因此，點O是■■'■.'■ 所在圓的圓心，從而a皿為上-的切線?延長L.〕交上’于T,則MCPsUTT,所以/PPC又由\AiiPsMTE,AHBT BTCT得： ',因鳥歹二宀;二故 ■... ②延長?’J到（，使’「 ’?，^y八‘…為平行四邊形LBTC-18『-LRPC-LPBG...③BT_PB_PB由②得「 ■'"：.……④由③、④得；「廠s?.所以，匚RPHTRC-ETPC,即LBPM-LCPD三、鞏固訓(xùn)練「為正三角形 ■的邊」上的任意一點，設(shè),\I.-與\「的心分別為'，外心分別為一共圓,^47,￡>=90°+—=120°一共圓,證明：如圖，據(jù)心性質(zhì)，有2 ，所以證明：如圖，據(jù)心性質(zhì)，有而— ’，得點「也在W上，即一?’五點共圓.圓的圓心即為0''：|的圓心‘；注巳D?意」注巳D?意」的平分垂線，即「宀：打1共LDip--LDI.A+LAlp{-LDI.A+LACOX-120°+30°-150°.;TOC\o"1-5"\h\z同理有… ’五點共圓，圓心為'，因此' '「’，且W .由于LI.DL=90°LO.DO,=60°則LI.DO,+LhDO2=30n.又在八’中， 「JJ；；在、「中，m :所以mpQ.ZgQD、LI}Op-LI2DO2于是M、DQ\3QD從而'J- （， ?，由于在直角三角形'中，‘. ',所以有 .△KBC切圓與BC切于K,AD是BC邊上的高，M為AD中點，MK與△ABC切圓交于K、N.求證：△BNC外接圓與AABC切圓切于N.證明：設(shè)AABC關(guān)于ZBAC的旁切圓為OIa,半徑為「a,AABC心為I,OI半徑為r,OIa切BC于T,KI交OI于K、S,貝U?/==,|aT〃S均垂直于BC,「.A、S、T共線.???I為SK中點，M為AD中點，SK/AD,「.T、I、M共線.?/===,IK//aT,.「M、K、Ia三點共線.設(shè)OI關(guān)于點K、N切線交于Q,則QIJNK.設(shè)QI交NK于R,則?IB平分ZABC,IaB平分ZABC外角，「./IBIa=90.又t/RIa