計量經濟學-隨機解釋變量問題課件

第7章隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題三、隨機解釋變量的后果四、工具變量法五、案例第7章隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題基本假設:解釋變量X1,X2,…,Xk是確定性變量。如果存在一個或多個隨機變量作為解釋變量，則稱原模型出現(xiàn)隨機解釋變量問題。假設X2為隨機解釋變量。對于隨機解釋變量問題，分三種不同情況：

一、隨機解釋變量問題對于模型

基本假設:解釋變量X1,X2,…,Xk是確定性變量。一、隨機

1.隨機解釋變量與隨機誤差項獨立(Independence)

2.隨機解釋變量與隨機誤差項同期無關(contemporaneouslyuncorrelated)，但異期相關。3.隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關(contemporaneouslycorrelated)。

1.隨機解釋變量與隨機誤差項獨立(Independ二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題

在實際經濟問題中，經濟變量往往都具有隨機性。但是在單方程計量經濟學模型中，凡是外生變量都被認為是確定性的。

于是隨機解釋變量問題主要表現(xiàn)于：用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題在實際經

例如：

（1）耐用品存量調整模型：

耐用品的存量Qt由前一個時期的存量Qt-1和當期收入It共同決定：

Qt=0+1It+2Qt-1+t

t=1,T這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關性，那么隨機解釋變量Qt-1只與t-1相關，與t不相關，屬于上述的第2種情況。例如：（1）耐用品存量調整

（2）合理預期的消費函數(shù)模型

合理預期理論認為消費Ct是由對收入的預期Yte所決定的：

預期收入Yte與實際收入Y間存如下關系的假設

容易推出Ct-1是一隨機解釋變量，且與(t-t-1)高度相關（Why?）。屬于上述第3種情況。（2）合理預期的消費函數(shù)模型合理預期理論認

計量經濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，且與隨機擾動項相關的話，如果仍采用OLS法估計模型參數(shù)，不同性質的隨機解釋變量會產生不同的后果。下面以一元線性回歸模型為例進行說明

三、隨機解釋變量的后果計量經濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，且與隨機擾動項相關的

隨機解釋變量與隨機誤差項相關圖

（a）正相關

（b）負相關

擬合的樣本回歸線可能低估截距項，而高估斜率項。

擬合的樣本回歸線高估截距項，而低估斜率項。隨機解釋變量與隨機誤差項相關圖（a）正相關（b）負相關

對一元線性回歸模型：

OLS估計量為1、如果X與相互獨立，得到的參數(shù)估計量仍然是無偏、一致估計量。

已經得到證明

隨機解釋變量X與隨機項的關系不同，參數(shù)OLS估計量的統(tǒng)計性質也會不同。

對一元線性回歸模型：OLS估計量為

2、如果X與同期不相關，異期相關，得到的參數(shù)估計量有偏、但卻是一致的。

kt的分母中包含不同期的X；由異期相關性知：kt與t相關，因此，但是2、如果X與同期不相關，異期相關，得到的參數(shù)估計3、如果X與同期相關，得到的參數(shù)估計量有偏、且非一致。

注意：如果模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，則當該滯后被解釋變量與隨機誤差項同期相關時，OLS估計量是有偏的、且是非一致的。即使同期無關，其OLS估計量也是有偏的，因為此時肯定出現(xiàn)異期相關。

2的證明中已得到3、如果X與同期相關，得到的參數(shù)估計量有偏、且非一致

模型中出現(xiàn)隨機解釋變量且與隨機誤差項相關時，OLS估計量是有偏的。如果隨機解釋變量與隨機誤差項異期相關，則可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估計量；但如果是同期相關，即使增大樣本容量也無濟于事。這時，最常用的估計方法是工具變量法（Instrumentvariables）。

四、工具變量法模型中出現(xiàn)隨機解釋變量且與隨機誤差項相關時，OL1、工具變量的選取

工具變量：在模型估計過程中被作為工具使用，以替代模型中與隨機誤差項相關的隨機解釋變量。選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：

（1）與所替代的隨機解釋變量高度相關；（2）與隨機誤差項不相關；（3）與模型中其它解釋變量不相關，以避免出現(xiàn)多重共線性。1、工具變量的選取工具變量：在模型估計過程中被作為

2、工具變量的應用

以一元回歸模型的離差形式為例說明如下：用OLS估計模型，相當于用xi去乘模型兩邊、對i求和、再略去xii項后得到正規(guī)方程：

(*)解得2、工具變量的應用以一元回歸模型的離差形式為

然而，如果Xi與i相關，即使在大樣本下，也不存在

(xii)/n0

，則在大樣本下也不成立，OLS估計量不具有一致性。由于Cov(Xi,i)=E(Xii)=0，意味著大樣本下

(xii)/n0

表明大樣本下成立，即OLS估計量具有一致性。然而，如果Xi與i相關，即使在大樣本下，也不存在(

如果選擇Z為X的工具變量，那么在上述估計過程可改為:利用E(zii)=0，在大樣本下可得到：

這種求模型參數(shù)估計量的方法稱為工具變量法(instrumentalvariablemethod)，相應的估計量稱為工具變量法估計量（instrumentalvariable(IV)estimator）。如果選擇Z為X的工具變量，那么在上述估計過程可改為:利

對于矩陣形式：

Y=X+采用工具變量法（假設X2與隨機項相關，用工具變量Z替代）得到的正規(guī)方程組為：

參數(shù)估計量為：

其中稱為工具變量矩陣對于矩陣形式：采用工具變量法（假設X2與隨機項相關，用3、工具變量法估計量是一致估計量

一元回歸中，工具變量法估計量為如果工具變量Z選取恰當，即有

兩邊取概率極限得：

因此：

3、工具變量法估計量是一致估計量一元回歸中，工具變量

1、在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的。

注意：

2、工具變量并沒有替代模型中的解釋變量，只是在估計過程中作為“工具”被使用。

上述工具變量法估計過程可等價地分解成下面的兩步OLS回歸：

第一步，用OLS法進行X關于工具變量Z的回歸：

1、在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的。注意

容易驗證仍有:

因此，工具變量法仍是Y對X的回歸，而不是對Z的回歸。

3、如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量。但是，一旦工具變量選定，它們在估計過程被使用的次序不影響估計結果(Why？)。容易驗證仍有:因此，工具變量法仍是Y對X的回歸4、OLS可以看作工具變量法的一種特殊情況。

5、如果1個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了廣義矩方法（GeneralizedMethodofMoments,GMM）。在GMM中，矩條件大于待估參數(shù)的數(shù)量，于是如何求解成為它的核心問題。工具變量法是GMM的一個特例。

6、要找到與隨機擾動項不相關而又與隨機解釋變量相關的工具變量并不是一件很容易的事

可以用Xt-1作為原解釋變量Xt的工具變量。

4、OLS可以看作工具變量法的一種特殊情況。5、如五、案例——中國居民人均消費函數(shù)

例4.4.1

在例2.5.1的中國居民人均消費函數(shù)的估計中，采用OLS估計了下面的模型：

由于：居民人均消費支出（CONSP）與人均國內生產總值（GDPP）相互影響，因此，容易判斷GDPP與同期相關（往往是正相關），OLS估計量有偏并且是非一致的（低估截距項而高估計斜率項）。

五、案例——中國居民人均消費函數(shù)例4.4.1在例2.OLS估計結果：

(13.51)(53.47)R2=0.9927F=2859.23DW=0.5503SSR=23240.7

如果用GDPPt-1為工具變量，可得如下工具變量法估計結果：

(14.84)(56.04)R2=0.9937F=3140.58DW=0.6691SSR=18366.5

OLS估計結果：GMM是近20年計量經濟學理論方法發(fā)展的重要方向之一。IV是GMM的一個特例。

如果1個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了廣義矩方法（GMM）。在GMM中，矩條件大于待估參數(shù)的數(shù)量，于是如何求解成為它的核心問題。GMM是近20年計量經濟學理論方法發(fā)展的重要方向之一。如計量經濟學-隨機解釋變量問題課件第7章隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題三、隨機解釋變量的后果四、工具變量法五、案例第7章隨機解釋變量問題一、隨機解釋變量問題基本假設:解釋變量X1,X2,…,Xk是確定性變量。如果存在一個或多個隨機變量作為解釋變量，則稱原模型出現(xiàn)隨機解釋變量問題。假設X2為隨機解釋變量。對于隨機解釋變量問題，分三種不同情況：

一、隨機解釋變量問題對于模型

基本假設:解釋變量X1,X2,…,Xk是確定性變量。一、隨機

1.隨機解釋變量與隨機誤差項獨立(Independence)

2.隨機解釋變量與隨機誤差項同期無關(contemporaneouslyuncorrelated)，但異期相關。3.隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關(contemporaneouslycorrelated)。

1.隨機解釋變量與隨機誤差項獨立(Independ二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題

在實際經濟問題中，經濟變量往往都具有隨機性。但是在單方程計量經濟學模型中，凡是外生變量都被認為是確定性的。

于是隨機解釋變量問題主要表現(xiàn)于：用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。二、實際經濟問題中的隨機解釋變量問題在實際經

例如：

（1）耐用品存量調整模型：

耐用品的存量Qt由前一個時期的存量Qt-1和當期收入It共同決定：

Qt=0+1It+2Qt-1+t

t=1,T這是一個滯后被解釋變量作為解釋變量的模型。但是，如果模型不存在隨機誤差項的序列相關性，那么隨機解釋變量Qt-1只與t-1相關，與t不相關，屬于上述的第2種情況。例如：（1）耐用品存量調整

（2）合理預期的消費函數(shù)模型

合理預期理論認為消費Ct是由對收入的預期Yte所決定的：

預期收入Yte與實際收入Y間存如下關系的假設

容易推出Ct-1是一隨機解釋變量，且與(t-t-1)高度相關（Why?）。屬于上述第3種情況。（2）合理預期的消費函數(shù)模型合理預期理論認

計量經濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，且與隨機擾動項相關的話，如果仍采用OLS法估計模型參數(shù)，不同性質的隨機解釋變量會產生不同的后果。下面以一元線性回歸模型為例進行說明

三、隨機解釋變量的后果計量經濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，且與隨機擾動項相關的

隨機解釋變量與隨機誤差項相關圖

（a）正相關

（b）負相關

擬合的樣本回歸線可能低估截距項，而高估斜率項。

擬合的樣本回歸線高估截距項，而低估斜率項。隨機解釋變量與隨機誤差項相關圖（a）正相關（b）負相關

對一元線性回歸模型：

OLS估計量為1、如果X與相互獨立，得到的參數(shù)估計量仍然是無偏、一致估計量。

已經得到證明

隨機解釋變量X與隨機項的關系不同，參數(shù)OLS估計量的統(tǒng)計性質也會不同。

對一元線性回歸模型：OLS估計量為

2、如果X與同期不相關，異期相關，得到的參數(shù)估計量有偏、但卻是一致的。

kt的分母中包含不同期的X；由異期相關性知：kt與t相關，因此，但是2、如果X與同期不相關，異期相關，得到的參數(shù)估計3、如果X與同期相關，得到的參數(shù)估計量有偏、且非一致。

注意：如果模型中帶有滯后被解釋變量作為解釋變量，則當該滯后被解釋變量與隨機誤差項同期相關時，OLS估計量是有偏的、且是非一致的。即使同期無關，其OLS估計量也是有偏的，因為此時肯定出現(xiàn)異期相關。

2的證明中已得到3、如果X與同期相關，得到的參數(shù)估計量有偏、且非一致

模型中出現(xiàn)隨機解釋變量且與隨機誤差項相關時，OLS估計量是有偏的。如果隨機解釋變量與隨機誤差項異期相關，則可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估計量；但如果是同期相關，即使增大樣本容量也無濟于事。這時，最常用的估計方法是工具變量法（Instrumentvariables）。

四、工具變量法模型中出現(xiàn)隨機解釋變量且與隨機誤差項相關時，OL1、工具變量的選取

工具變量：在模型估計過程中被作為工具使用，以替代模型中與隨機誤差項相關的隨機解釋變量。選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：

（1）與所替代的隨機解釋變量高度相關；（2）與隨機誤差項不相關；（3）與模型中其它解釋變量不相關，以避免出現(xiàn)多重共線性。1、工具變量的選取工具變量：在模型估計過程中被作為

2、工具變量的應用

以一元回歸模型的離差形式為例說明如下：用OLS估計模型，相當于用xi去乘模型兩邊、對i求和、再略去xii項后得到正規(guī)方程：

(*)解得2、工具變量的應用以一元回歸模型的離差形式為

然而，如果Xi與i相關，即使在大樣本下，也不存在

(xii)/n0

，則在大樣本下也不成立，OLS估計量不具有一致性。由于Cov(Xi,i)=E(Xii)=0，意味著大樣本下

(xii)/n0

表明大樣本下成立，即OLS估計量具有一致性。然而，如果Xi與i相關，即使在大樣本下，也不存在(

如果選擇Z為X的工具變量，那么在上述估計過程可改為:利用E(zii)=0，在大樣本下可得到：

這種求模型參數(shù)估計量的方法稱為工具變量法(instrumentalvariablemethod)，相應的估計量稱為工具變量法估計量（instrumentalvariable(IV)estimator）。如果選擇Z為X的工具變量，那么在上述估計過程可改為:利

對于矩陣形式：

Y=X+采用工具變量法（假設X2與隨機項相關，用工具變量Z替代）得到的正規(guī)方程組為：

參數(shù)估計量為：

其中稱為工具變量矩陣對于矩陣形式：采用工具變量法（假設X2與隨機項相關，用3、工具變量法估計量是一致估計量

一元回歸中，工具變量法估計量為如果工具變量Z選取恰當，即有

兩邊取概率極限得：

因此：

3、工具變量法估計量是一致估計量一元回歸中，工具變量

1、在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的。

注意：

2、工具變量并沒有替代模型中的解釋變量，只是在估計過程中作為“工具”被使用。

上述工具變量法估計過程可等價地分解成下面的兩步OLS回歸：

第一步，用OLS法進行X關于工具變量Z的回歸：

1、在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的。注意

容易驗證仍有:

因此，工具變量法仍是Y對X的回歸，而不是對Z的回歸。

3、如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量。但是，一旦工具變量選定，它們在估計過程被使用的次序不影響估計結果(Why？)。容易驗證仍有:因此，工具變量法仍是Y對X的回歸4、OLS可以看作工具變量法的一種特殊情況。

5、如果1個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了廣義矩方法（GeneralizedMethodofMoments