2023年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試模擬 六數(shù)學(xué)試題（含答案）

第12頁/共12頁2023年廣東省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)模擬測試卷（六）（時(shí)間90分鐘，總分150分）一、選擇題（本大題共15小題，每小題6分，共90分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)并集定義可直接求解得到結(jié)果.【詳解】由并集定義得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.函數(shù)的定義域是（）A.（-∞，2） B.[1，2） C.[1，2] D.[1，+∞）【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的真數(shù)大于0即可求解.【詳解】由題意得，∴．故選:A．3.如圖所示，在正方體中，下列直線與垂直的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由平行關(guān)系可確定的垂線即為的垂線，由此可確定結(jié)果.【詳解】四邊形為正方形故選：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線垂直的判斷，關(guān)鍵是明確通過平行關(guān)系將異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為相交直線所成角的問題.4.已知A(2，-3)，=(3，-2)，則點(diǎn)B和線段AB的中點(diǎn)M坐標(biāo)分別為()A.B(5，-5)，M(0，0) B.B(5，-5)，MC.B，M(0，0) D.B，M【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)向量的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系求出的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到的中點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】設(shè)，，，，，；；即；線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為：，即，；故選：B5.計(jì)算×－＋lne2－2lg2－lg25＝（）A.20 B.21C.9 D.11【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)和對數(shù)的運(yùn)算法則求解.【詳解】原式，，故選：B6.袋中裝有質(zhì)地、形狀和大小完全相同的五個(gè)小球，其中黑球、紅球、黃球各一個(gè)，白球兩個(gè).從中任取一個(gè)球，則“取出的球是白球或黑球”的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先確定基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【詳解】從袋中任取一個(gè)球共有種結(jié)果，取出的球是白球或黑球共有種結(jié)果所求概率故選：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.7.已知向量，，若向量與垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直關(guān)系得到，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】與垂直又，解得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵是明確兩向量垂直，則數(shù)量積為零.8.某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，調(diào)查其平均一周使用互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），根據(jù)調(diào)查結(jié)果制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中使用時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為.根據(jù)直方圖，這100名學(xué)生中平均一周使用互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)間不少于12小時(shí)的人數(shù)為（）A.5 B.10 C.20 D.80【答案】C【解析】【分析】利用頻率分布直方圖可求得平均一周使用互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)間不少于小時(shí)的頻率，根據(jù)頻率和頻數(shù)、總數(shù)之間的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由頻率分布直方圖知：平均一周使用互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為平均一周使用互聯(lián)網(wǎng)的時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)為人故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用頻率分布直方圖求解頻率、頻數(shù)的問題，關(guān)鍵是明確在頻率分布直方圖中，每組數(shù)據(jù)對應(yīng)的頻率即為對應(yīng)矩形的面積.9.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依次判斷各個(gè)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷得到結(jié)果.【詳解】由題意得：定義域?yàn)?且在定義域上為增函數(shù),故至多一個(gè)零點(diǎn),；；零點(diǎn)所在區(qū)間為故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間的問題，屬于基礎(chǔ)題.10.在中，角的對邊分別為.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理邊化角可求得，結(jié)合可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊化角的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.11.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（）A. B. C.2 D.7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)直接運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12.函數(shù)（且）的圖象如圖所示，其中為常數(shù).下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)單調(diào)性和在軸截距可判斷出的范圍.【詳解】函數(shù)圖象單調(diào)遞增又函數(shù)在軸截距在之間故選：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的圖象判斷參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性和截距來得到參數(shù)所滿足的不等關(guān)系.13.在空間中，設(shè)l是一條直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論正確的是（）A.若lα，lβ，則αβ B.若l⊥α，l⊥β，則αβC.若lα，αβ，則lβ D.若lα，α⊥β，則l⊥β【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面平行、面面平行及線面垂直的條件判斷即可．【詳解】解：A．由于一條直線與兩個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面可以平行，也可以相交，本選項(xiàng)不符合題意；B．根據(jù)垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行，本選項(xiàng)符合題意；C．若lα，αβ，則lβ或l?β，本選項(xiàng)不符合題意；D．若lα，α⊥β，則l⊥β或lβ或l?β，本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．14.下列函數(shù)中，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用輔助角公式化簡中的，利用代入檢驗(yàn)的方法可知正確、錯(cuò)誤；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可確定錯(cuò)誤.【詳解】中，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，正確；中，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不單調(diào)，錯(cuò)誤；中，，當(dāng)時(shí)，不單調(diào)，錯(cuò)誤；中，，當(dāng)時(shí)，不單調(diào)，錯(cuò)誤.故選：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)性的求解問題，涉及到輔助角公式化簡三角函數(shù)的問題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握代入檢驗(yàn)的方法，根據(jù)整體對應(yīng)的情況，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得結(jié)果.15.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減.若，則使成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和上的單調(diào)性得到在上的單調(diào)性，同時(shí)得到；利用單調(diào)性可將所求不等式轉(zhuǎn)化為或，由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】在上單調(diào)遞減且為奇函數(shù)在上單調(diào)遞減又定義域?yàn)橛傻茫夯?，解得：或的解集為故選：【點(diǎn)睛】本題考查利用單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，涉及到對數(shù)不等式的求解；關(guān)鍵是能夠通過奇偶性得到對稱區(qū)間的單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞康拇笮￡P(guān)系.二、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）16.已知是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么______.【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算將化簡，由是實(shí)數(shù)得到方程求出參數(shù)，即可得解；【詳解】解：設(shè)，則是實(shí)數(shù)，所以，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.17.一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該球的體積為，則該正方體的表面積為___________________.【答案】24【解析】【詳解】試題分析：設(shè)正方體的外接球的半徑為,由：，解得：,設(shè)該正方體的邊長為，根據(jù)解得，所以正方體的表面積為：，所以答案為.考點(diǎn)：1.求的體積公式；2.正方體的外接球；3.球的表面積和體積公式.18.已知關(guān)于x不等式的解集中的一個(gè)元素為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式即可求解.【詳解】由題意可知:是不等式的解，所以，即，解得．故答案為：19.如圖為函數(shù)的圖象的一部分，則函數(shù)的解析式為______.【答案】【解析】【分析】由已知，結(jié)合圖像，可由函數(shù)圖像的最大值確定，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離確定函數(shù)的最小正周期，從而確定，最后再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于的等量關(guān)系，根據(jù)題意給的的范圍即可完成求解.【詳解】由圖可得：，所以，，所以，又，所以，此時(shí)，函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，代入解析式得：，所以，即，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的解析式為.故答案為：.三、解答題（本大題共3小題，共36分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）20.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為平行四邊形，E為棱DD1的中點(diǎn)．求證：BD1∥平面ACE．【答案】答案見解析【解析】【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，可得EO∥BD1，結(jié)合直線與平面平行的判定定理即可得證.【詳解】連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為DD1中點(diǎn)，所以EO為△BD1D的中位線，所以EO∥BD1，又因?yàn)锽D1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE．21.某學(xué)校有初級教師21人,中級教師14人,高級教師7人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這這些教師中抽取6人對績效工資情況進(jìn)行調(diào)查.(1)求應(yīng)從初級教師,中級教師,高級教師中分別抽取的人數(shù);(2)若從抽取的6名教師中隨機(jī)抽取2名做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析,求抽取的2名教師均為初級教師的概率.【答案】（1）3,2,1；（2）.【解析】【分析】(1)先求出每位教師被抽到的概率，再用每層的教師數(shù)乘以每位教師被柚到的概率，即得應(yīng)從每層教師中抽取的人數(shù)；(2)從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數(shù)為3,2,1，列出抽取2名教師的所有可能結(jié)果，以及從6名教師中抽取的2名教師均為初級教師的結(jié)果，利用古典概型的概率公式計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）從初級教師、中級教師、高級教師中分別抽取的人數(shù)為3,2,1.(2)在抽取到的6名教師中，3名初級教師分別記為A1，A2，A3,2名中級教師分別記為A4，A5，高級教師記為A6，則抽取2名教師的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．從6名教師中抽取的2名教師均為初級教師(記為事件B)的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種．所以P(B)＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣與古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.22.已知函數(shù)f(x)＝x2＋2|x－a|，a∈R．（1）若f(x)為偶函數(shù)，求a的值；（2）若函數(shù)g(x)＝af(x)＋2的最小值為8，求a的值．【答案】（1）0（2）2【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義，列出關(guān)系式，即可求出a的值；（2）化簡函數(shù)為分段函數(shù)，通過討論a范圍，列出關(guān)系式求解即可．【小問1詳解】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，故x2＋2|－x－a|＝x2＋2|x－a|，所以|x＋a|＝|x－a|，即x2＋2ax＋a2＝x2－2ax＋a2，化簡得4ax＝0，因?yàn)閤∈R，所以a＝0．【小問2詳解】①若a＝0，則g(x)＝2，不合題意；②若a＜0，則g(x)無最小值，不合題意；③