正弦定理教案20201218204237

課題:

第1課時§1．1．1正弦定理●講課目的知識與技術(shù)：經(jīng)過對隨意三角形邊長和角度關(guān)系的研究，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同研究在隨意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，指引學(xué)生經(jīng)過察看，推導(dǎo)，比較，由特別到一般概括出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。感神情度與價值觀：培育學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下辦理解三角形問題的運(yùn)算能力；培育學(xué)生合情推理研究數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，經(jīng)過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)目積等知識間的聯(lián)系來表現(xiàn)事物之間的廣泛聯(lián)系與辯證一致?！裰v課要點(diǎn)正弦定理的研究和證明及其基本應(yīng)用?！裰v課難點(diǎn)已知兩邊和此中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)?！裰v課過程Ⅰ.課題導(dǎo)入如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著極點(diǎn)C轉(zhuǎn)動。A思慮：C的大小與它的對邊AB的長度之間有如何的數(shù)目關(guān)系明顯，邊AB的長度跟著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個等式把這類關(guān)系精準(zhǔn)地表示出來CBⅡ.講解新課[研究研究](圖1．1-1)在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下邊就第一來商討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,依據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定asinAbsinBsinC1c義，有c，c，又c,Aabcc則sinAsinBsinCbcabc進(jìn)而在直角三角形ABC中，sinAsinBsinCCaB(圖1．1-2)思慮：那么關(guān)于隨意的三角形，以上關(guān)系式能否仍舊建立（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1．1-3，當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，依據(jù)隨意角三角函數(shù)的定義，ab有CD=asinBbsinA,則sinAsinB，Ccb同理可得sinCsinB，baabc進(jìn)而sinAsinBsinCAcB(圖1．1-3)思慮：能否能夠用其余方法證明這一等式因?yàn)椴斑呴L問題，進(jìn)而能夠考慮用向量來研究這個問題。uruuur（證法二）：過點(diǎn)A作jAC，Cuuruuuruur由向量的加法可得ABACCBuruurur(uuuruur則jABjAC)ABCBuruururuuururuurur∴jABjACjCBjruuurruuurCjABcos900A0jCBcos900ac∴csinAasinC，即sinAsinCruuurbc同理，過點(diǎn)C作jBC，可得sinBsinCabc進(jìn)而sinAsinBsinC近似可推出，當(dāng)ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍舊建立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上邊的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比率系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使aksinA，bksinB，cksinC；abcabcbac（2）sinAsinBsinC等價于sinAsinB，sinCsinB，sinAsinC進(jìn)而知正弦定理的基本作用為：bsinAa①已知三角形的隨意兩角及其一邊能夠求其余邊，如sinB；sinAasinB②已知三角形的隨意兩邊與此中一邊的對角能夠求其余角的正弦值，如b。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其余的邊和角的過程叫作解三角形。[例題分析]例1．在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。解：依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；依據(jù)正弦定理，basinB080.1(cm)sinAsin32.00；依據(jù)正弦定理，casinC074.1(cm).sinAsin32.00討論：關(guān)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2．在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精準(zhǔn)到10，邊長精確到1cm）。解：依據(jù)正弦定理，sinBbsinA28sin4000.8999.a20因?yàn)?0＜B＜1800，因此B640，或B1160.⑴當(dāng)B640時，C1800(AB)1800(400640)760，asinC20sin760csinAsin40030(cm).⑵當(dāng)B1160時，C1800(AB)1800(4001160)240，casinC20sin24013(cm).sinAsin400討論：應(yīng)注意已知兩邊和此中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情況。Ⅲ.講堂練習(xí)答案ACCAADDD[增補(bǔ)練習(xí)]已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）Ⅳ.課時小結(jié)（由學(xué)生概括總結(jié)）abcabckk0（1）定理的表示形式：sinAsinBsinCsinAsinBsinC；或aksinA，bksinB，cksinC(k0)2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知兩角和任一邊，求其余兩邊及一角；②已知兩邊和此中一邊對角，求另一邊的對角。正弦定理練習(xí)題1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，則b等于()D．262．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()A．42B．43C．463．在△中，角、、的對邊分別為a、、，＝60°，＝43，＝42，則角BABCABCbcAab為()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不對4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不確立5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若A＝105°，B＝45°，b＝2，則c＝()A．1C．2cosAb6．在△ABC中，若cosB＝a，則△ABC是()A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積為()或33或28．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，則a等于()B．2C.3π9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝3，則A＝________.4310．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.311．在△中，已知∠＝30°，∠＝120°，＝12，則a＋＝________.ABCABbc12．在△ABC中，a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．＋＋c13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，則sinA＋sinB＋sinC＝________，c＝________.a－2＋C＝________.14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，則sinA－2sinB＋sin115．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝3，S△ABC＝43，則b＝________.16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，則此三角形有________組解．17．△ABC中，ab＝603，sinB＝sinC，△ABC的面積為153，求邊b的長．§正弦定理(二)課時目標(biāo)

1.熟記正弦定理的相關(guān)變形公式；

2.能夠運(yùn)用正弦定理進(jìn)行簡單的推理與證明．a(chǎn)bc1．正弦定理：sinA＝sinB＝sinC＝2R的常有變形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝________；ab＝ca＋b＋c＝______；(2)＝＝sinAsinBsinCsinA＋sinB＋sinC(3)a＝__________，b＝________，c＝____________；(4)sinA＝__________，sinB＝__________，sinC＝__________.2．三角形面積公式：＝____________＝____________＝____________.S一、填空題1．在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等________．a(chǎn)bcC，則△ABC的形狀是________．2．在△ABC中，若cosA＝cosB＝cos3．在△ABC中，sin3A＝，a＝10，則邊長c的取值范圍是________．44．在△中，＝2cos，則這個三角形必定是________三角形．ABCabC5．如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝45°，則圓O的面積等于________．6．已知三角形面積為1________．4，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為7．在△中，已知＝32，cos＝1，△ABC＝43，則＝________.ABCaC3Sb8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝60°，a＝3，b＝1，則c＝________.ab2c9．在單位圓上有三點(diǎn)，，，設(shè)△三邊長分別為，，，則＋＋ABCABCabcsinA2sinBsinC________.a＋b＋c10．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，則sinA＋sinB＋sinC＝________，c＝________.二、解答題a－ccosBsinB11．在△ABC中，求證：b－ccosA＝sinA.12．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，試判斷△ABC的形狀．能力提高13．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(3＋1)∶2，則最大角為________．πB14．在△ABC中，a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若a＝2，C＝4，cos2＝25，求△ABC的面積S.1．在△ABC中，有以下結(jié)論：A＋B＋C＝π；(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；A＋B＋C＝π；222＋BC＋BC＋B1C.(4)sin2＝cos2，cos2＝sin2，tan2＝tan2§正弦定理(二)答案知識梳理(3)2RsinA2RsinB2RsinCabc1.(1)a∶b∶c(2)2R(4)2R2R2R11absinC2bcsinA2casinB作業(yè)設(shè)計(jì)7∶5∶3分析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，b＋cc＋aa＋b∴4＝5＝6.b＋c＝c＋a＝a＋b＝k(k>0)，4567a＝2kb＋c＝4k5則c＋a＝5k，解得b＝2k.a＋b＝6k3c＝2ksinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3.2．等邊三角形sinAsinBsinC分析由正弦定理知：cosA＝cosB＝cosC，∴tanA＝tanB＝tanC，∴A＝B＝C.ca404040分析∵sinC＝sinA＝3，∴c＝3sinC．∴0<c≤3.4．等腰分析由a＝2bcosC得，sinA＝2sinBcosC，sin(B＋C)＝2sinBcosC，sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，sin(B－C)＝0，∴B＝C.5．8π∵2R＝sin42分析45°＝42，∴R＝22.∴S＝πR＝8π.6．1分析設(shè)三角形外接圓半徑為R，則由21abcabcπR＝π，得R＝1，由S△＝absinC＝4R＝2414，∴abc＝1.7．231221分析∵cosC＝3，∴sinC＝3，∴2absinC＝43，∴b＝23.8．2ab311分析由正弦定理sinA＝sinB，得sin60°＝sinB，∴sinB＝2，故B＝30°或150°.a>b，得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，由勾股定理得c＝2.9．7分析∵△ABC的外接圓直徑為2R＝2，csinA＝sinB＝sinC＝2R＝2，aab2csinA＋2sinB＋sinC＝2＋1＋4＝7.10．126a＋b＋ca63分析sinA＋sinB＋sinC＝sinA＝3＝12.2∵S△ABC＝1absinC＝1×63×12sinC＝183，22∴sinC＝1，∴c＝a＝12，∴c＝6.2sinCsinAabcC＝2R，11．證明因?yàn)樵凇鰽BC中，sinA＝sinB＝sin2RsinA－2RsinCcosBsinB＋C－sinCcosBsinBcosCsinB因此左側(cè)＝2RB－2RCcosA＝sinA＋C－sinCcosA＝sinAcosC＝sinAsinsin＝右側(cè)．a(chǎn)－ccosBsinB因此等式建立，即b－ccosA＝sinA.12．解設(shè)三角形外接圓半徑為R，則a2tanB＝b2tanAa2sinBb2sinA4R2sin2AsinB4R2sin2BsinA?cosB＝cosA?cosB＝cosA?sinAcosA＝sinBcosBπ?sin2A＝sin2B?2A＝2B或2A＋2B＝π?A＝