2010年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編-立體幾何

PAGE2010年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——立體幾何（2010浙江理數(shù)）（6）設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（A）若，，則（B）若，，則（C）若，，則（D）若，，則解析：選B，可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)檢查。本題主要考察了立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及其中的公理和判定定理，也蘊(yùn)含了對(duì)定理公理綜合運(yùn)用能力的考察，屬中檔題（2010全國(guó)卷2理數(shù)）（11）與正方體的三條棱、、所在直線的距離相等的點(diǎn)（A）有且只有1個(gè)（B）有且只有2個(gè)（C）有且只有3個(gè)（D）有無(wú)數(shù)個(gè)【答案】D【解析】直線上取一點(diǎn)，分別作垂直于于則分別作，垂足分別為M，N，Q，連PM，PN，PQ，由三垂線定理可得，PN⊥PM⊥；PQ⊥AB，由于正方體中各個(gè)表面、對(duì)等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三條棱AB、CC1、A1D1.所在直線的距離相等所以有無(wú)窮多點(diǎn)滿足條件，故選D.（2010全國(guó)卷2理數(shù)）（9）已知正四棱錐中，，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為（A）1（B）（C）2（D）3【答案】C【命題意圖】本試題主要考察椎體的體積，考察告辭函數(shù)的最值問(wèn)題.【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高所以體積，設(shè)，則，當(dāng)y取最值時(shí)，，解得a=0或a=4時(shí)，體積最大，此時(shí)，故選C.（2010陜西文數(shù)）8.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 [B] （A）2 （B）1 （C） （D）解析：本題考查立體圖形三視圖及體積公式如圖，該立體圖形為直三棱柱所以其體積為（2010遼寧文數(shù)）（11）已知是球表面上的點(diǎn)，，，，，則球的表面積等于（A）4（B）3（C）2（D）解析：選A.由已知，球的直徑為，表面積為（2010遼寧理數(shù)）(12)(12)有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是(A)（0,）(B)（1,）(C)(,）(D)（0,）【答案】A【命題立意】本題考查了學(xué)生的空間想象能力以及靈活運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力?！窘馕觥扛鶕?jù)條件，四根長(zhǎng)為2的直鐵條與兩根長(zhǎng)為a的直鐵條要組成三棱鏡形的鐵架，有以下兩種情況：（1）地面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，三條側(cè)棱長(zhǎng)為2，a，a，如圖，此時(shí)a可以取最大值，可知AD=，SD=，則有<2+，即，即有a<(2)構(gòu)成三棱錐的兩條對(duì)角線長(zhǎng)為a，其他各邊長(zhǎng)為2，如圖所示，此時(shí)a>0;綜上分析可知a∈（0,）（2010全國(guó)卷2文數(shù)）（11）與正方體ABCD—A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1（A）有且只有1個(gè)（B）有且只有2個(gè)（C）有且只有3個(gè)（D）有無(wú)數(shù)個(gè)【解析】D：本題考查了空間想象能力∵到三條兩垂直的直線距離相等的點(diǎn)在以三條直線為軸，以正方體邊長(zhǎng)為半徑的圓柱面上，∴三個(gè)圓柱面有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，（2010全國(guó)卷2文數(shù)）（8）已知三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，垂直于底面，=3，那么直線與平面所成角的正弦值為（A）(B)(C)(D)【解析】D：本題考查了立體幾何的線與面、面與面位置關(guān)系及直線與平面所成角。ABCSEF過(guò)A作AE垂直于BC交BC于E，連結(jié)SE，過(guò)A作AF垂直于SE交SE于F，連BF，∵正三角形ABC，∴E為BC中點(diǎn)，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF為直線AB與面SBC所成角，由正三角形邊長(zhǎng)3，∴，AS=3，∴SE=，AF=，∴ABCSEF（2010江西理數(shù)）10.過(guò)正方體的頂點(diǎn)A作直線L，使L與棱,,所成的角都相等，這樣的直線L可以作A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】D【解析】考查空間感和線線夾角的計(jì)算和判斷，重點(diǎn)考查學(xué)生分類、劃歸轉(zhuǎn)化的能力。第一類：通過(guò)點(diǎn)A位于三條棱之間的直線有一條體對(duì)角線AC1，第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2條棱夾角相等，有3條，合計(jì)4條。（2010安徽文數(shù)）（9）一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積是（A）372（B）360（C）292（D）2809.B【解析】該幾何體由兩個(gè)長(zhǎng)方體組合而成，其表面積等于下面長(zhǎng)方體的全面積加上面長(zhǎng)方體的4個(gè)側(cè)面積之和。.【方法技巧】把三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.又三視圖很容易知道是兩個(gè)長(zhǎng)方體的組合體，畫(huà)出直觀圖，得出各個(gè)棱的長(zhǎng)度.把幾何體的表面積轉(zhuǎn)化為下面長(zhǎng)方體的全面積加上面長(zhǎng)方體的4個(gè)側(cè)面積之和。（2010重慶文數(shù)）（9）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)（A）只有1個(gè)（B）恰有3個(gè)（C）恰有4個(gè)（D）有無(wú)窮多個(gè)解析：放在正方體中研究,顯然，線段、EF、FG、GH、HE的中點(diǎn)到兩垂直異面直線AB、CD的距離都相等，所以排除A、B、C，選D亦可在四條側(cè)棱上找到四個(gè)點(diǎn)到兩垂直異面直線AB、CD的距離相等（2010浙江文數(shù)）（8）若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（A）cm3（B）cm3（C）cm3（D）cm3解析：選B，本題主要考察了對(duì)三視圖所表達(dá)示的空間幾何體的識(shí)別以及幾何體體積的計(jì)算，屬容易題（2010山東文數(shù)）(4)在空間，下列命題正確的是A.平行直線的平行投影重合B.平行于同一直線的兩個(gè)平面平行C.垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行D.垂直于同一平面的兩條直線平行答案：D（2010北京文數(shù)）（8）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上。點(diǎn)Q是CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在棱AD上，若EF=1，DP=x，E=y(x,y大于零)，則三棱錐P-EFQ的體積：（A）與x，y都有關(guān)；（B）與x，y都無(wú)關(guān)；（C）與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān)；（D）與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)；答案：C（2010北京文數(shù)）（5）一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該集合體的俯視圖為：答案：C（2010北京理數(shù)）(8)如圖，正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，E=x，DQ=y，DＰ＝ｚ（ｘ，ｙ，ｚ大于零），則四面體PEＦＱ的體積（Ａ）與ｘ，ｙ，ｚ都有關(guān)（Ｂ）與ｘ有關(guān)，與ｙ，ｚ無(wú)關(guān)（Ｃ）與ｙ有關(guān)，與ｘ，ｚ無(wú)關(guān)（Ｄ）與ｚ有關(guān)，與ｘ，ｙ無(wú)關(guān)答案：D（2010北京理數(shù)）（3）一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正（主）視圖與側(cè)（左）視圖分別如右圖所示，則該幾何體的俯視圖為答案：C（2010四川理數(shù)）（11）半徑為的球的直徑垂直于平面，垂足為，是平面內(nèi)邊長(zhǎng)為的正三角形，線段、分別與球面交于點(diǎn)M，N，那么M、N兩點(diǎn)間的球面距離是（A）（B）（C）（D）解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝cos∠BAC＝連結(jié)OM，則△OAM為等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD而AC＝R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝，連結(jié)OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝所以M、N兩點(diǎn)間的球面距離是答案：A（2010廣東理數(shù)）6.如圖1，△ABC為三角形，//

//

,

⊥平面ABC

且3===AB,則多面體△ABC-的正視圖（也稱主視圖）是6．D．（2010廣東文數(shù)）（2010福建文數(shù)）3．若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其側(cè)面積等于()A． B．2 C． D．6【答案】D【解析】由正視圖知：三棱柱是以底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱，所以底面積為，側(cè)面積為，選D．【命題意圖】本題考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們識(shí)圖的能力、空間想象能力等基本能力。（2010全國(guó)卷1文數(shù)）（12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為(A)(B)(C)(D)12.B【命題意圖】本小題主要考查幾何體的體積的計(jì)算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過(guò)球這個(gè)載體考查考生的空間想象能力及推理運(yùn)算能力.【解析】過(guò)CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB與P,設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為,則有,當(dāng)直徑通過(guò)AB與CD的中點(diǎn)時(shí),,故（2010全國(guó)卷1文數(shù)）（9）正方體-中，與平面所成角的余弦值為（A）（B）（C）（D）ABCDA1B1C1DABCDA1B1C1D1O【解析1】因?yàn)锽B1//DD1,所以B與平面AC所成角和DD1與平面AC所成角相等,設(shè)DO⊥平面AC，由等體積法得,即.設(shè)DD1=a,則,.所以,記DD1與平面AC所成角為,則,所以.【解析2】設(shè)上下底面的中心分別為；與平面AC所成角就是B與平面AC所成角，（2010全國(guó)卷1文數(shù)）(6)直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°6.C【命題意圖】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、異面直線所成的角、異面直線所成的角的求法.【解析】延長(zhǎng)CA到D，使得，則為平行四邊形，就是異面直線與所成的角，又三角形為等邊三角形，（2010全國(guó)卷1理數(shù)）（12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn)，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為(A)(B)(C)(D)（2010全國(guó)卷1理數(shù)）（7）正方體ABCD-中，B與平面AC所成角的余弦值為（A）（B）（C）（D）（2010四川文數(shù)）（12）半徑為的球的直徑垂直于平面，垂足為，是平面內(nèi)邊長(zhǎng)為的正三角形，線段、分別與球面交于點(diǎn)、，那么、兩點(diǎn)間的球面距離是高^(guò)考#資*源^網(wǎng)（A）（B）（C）（D）解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝cos∠BAC＝連結(jié)OM，則△OAM為等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD而AC＝R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝，連結(jié)OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝所以M、N兩點(diǎn)間的球面距離是答案：A（2010湖北文數(shù)）4.用、、表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：①若∥，∥，則∥；②若⊥，⊥，則⊥；③若∥，∥，則∥；④若⊥，⊥，則∥.A.①② B.②③ C.①④ D.③④（2010山東理數(shù)）(3)在空間，下列命題正確的是（A）平行直線的平行投影重合（B）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行（C）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行（D）垂直于同一平面的兩條直線平行【答案】D【解析】由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以得出答案。【命題意圖】考查空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題。1.（2010安徽理數(shù)）8、一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為A、280 B、292 C、360 D、372