靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)

靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)在結(jié)構(gòu)受力與結(jié)構(gòu)變形上，靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)并無(wú)本質(zhì)區(qū)別無(wú)論是靜定結(jié)構(gòu)還是超靜定結(jié)構(gòu)，都是在外荷載及支座反力的作用下保持平衡。但超靜定結(jié)構(gòu)中未知約束力的數(shù)目超過(guò)了體系所能列出的獨(dú)立的靜力平衡方程。因此無(wú)法直接求解。若能在一定方法的幫助下解出超靜定結(jié)構(gòu)多余約束中的約束力，則結(jié)構(gòu)則可以轉(zhuǎn)換為靜定結(jié)構(gòu)求解?！?-2力法的基本概念

力法即是以結(jié)構(gòu)多余約束力為基本未知量，通過(guò)結(jié)構(gòu)的位移條件建立方程的一種對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)進(jìn)行內(nèi)力分析的方法一、引例△1=△11+△1p=0△1=△B=0位移條件(多余約束處位移為0)力法方程：力法基本未知量—多余約束中的多余未知力力法基本方程—利用基本體系的變形狀態(tài)與原結(jié)構(gòu)一致的條件所建立的確定多余未知力的方程力法基本結(jié)構(gòu)—原結(jié)構(gòu)去掉多余約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)稱(chēng)為力法基本結(jié)構(gòu)力法基本體系—受到多余未知力和荷載共同作用的基本結(jié)構(gòu)稱(chēng)為力法基本體系基本結(jié)構(gòu)Δ11=δ11X1

=1二、力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)去掉多余約束代以多余未知力X1計(jì)算出多余未知力根據(jù)位移條件建立力法基本方程力法基本原理

以多余約束中的多余未知力為基本未知量，根據(jù)基本體系在去掉多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致的原則，建立力法方程。解方程求出多余未知力，其后就是靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題了。

二、力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路二、力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的基本思路三、力法計(jì)算一次超靜定結(jié)構(gòu)例：試用力法計(jì)算圖示超靜定剛架，并繪內(nèi)力圖。解：1.選擇基本體系可能選擇的力法基本體系。。。。力法計(jì)算時(shí)，基本體系的選擇有無(wú)窮多個(gè)。選擇的原則就是：基本體系的選擇要有利于彎矩圖的繪制及系數(shù)的求解3.計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，繪和MP圖2.建立力法方程

d11X1+D1P=0例：試用力法計(jì)算圖示超靜定剛架，并繪內(nèi)力圖。解：1.選擇基本體系4.計(jì)算X15.繪內(nèi)力圖 利用計(jì)算各桿端彎矩例：試用力法計(jì)算圖示超靜定剛架，并繪內(nèi)力圖。3.計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，繪和MP圖2.建立力法方程

d11X1+D1P=0解：1.選擇基本體系4.計(jì)算X15.繪內(nèi)力圖例：試用力法計(jì)算圖示超靜定剛架，并繪內(nèi)力圖。3.計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)，繪和MP圖2.建立力法方程

d11X1+D1P=0解：1.選擇基本體系二、力法的計(jì)算步驟1）確定基本未知量數(shù)目2）選擇力法基本體系。3）建立力法基本方程。4）求系數(shù)和自由項(xiàng)。5）解方程，求多余未知力。6）作內(nèi)力圖。7）校核?！纠?-1】試計(jì)算圖7-9a所示連續(xù)梁，并作內(nèi)力圖。解：(1)確定基本未知量數(shù)目(2)選擇力法基本體系(3)建立力法基本方程此連續(xù)梁外部具有一個(gè)多余約束，即n=1qABClla)一次超靜定結(jié)構(gòu)拐點(diǎn)拐點(diǎn)qqABCX1X1b)基本體系(4)求系數(shù)d11和自由項(xiàng)D1P在基本結(jié)構(gòu)（靜定的簡(jiǎn)支梁）上分別作圖和MP圖(5)解方程，求多余未知力X1()qMP圖AABBCCA1A1A2A2ql2/8ql2/8y01y01y02y02圖11(6)作內(nèi)力圖可利用疊加公式計(jì)算和作M圖，即M圖ql2/8ql2/8ql2/8(ql2/8)(ql2/8)ABCDE取桿件為隔離體，化作等效簡(jiǎn)支梁，根據(jù)已知的桿端彎矩和跨間荷載，由平衡條件求出桿端剪力，并作FQ圖力法：以結(jié)構(gòu)中的多余未知力為基本未知量；根據(jù)基本體系上解除多余約束處的位移應(yīng)與原結(jié)構(gòu)的已知位移相等的變形條件，建立力法的基本方程，求得多余未知力；最后，在基本結(jié)構(gòu)上，應(yīng)用疊加原理作原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖ql2/8ql2/8ql2/8(ql2/8)(ql2/8)ABCDEM圖FQ圖ABC3ql/85ql/83ql/85ql/87.3力法的基本體系選擇及典型方程一、關(guān)于基本體系的選擇第一，必須滿足幾何不變的條件。FPFPFPFPFPFPqqqqqqX2X1X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3X1X2X3第二，便于繪制內(nèi)力圖和進(jìn)行位移計(jì)算FPFPFPMMMqqqAABBBCCCDDDX1X2X1X2A第三，基本結(jié)構(gòu)只能由原結(jié)構(gòu)減少約束而得到，不能增加新的約束。AAABBBCCCDDDX1X1X1基本體系在多余約束處的變形條件FPABCFPFPFPFPFPqqqqAAAAABBBBBCCCCCX1X1X1X2X2X2基本體系之一基本體系之二D11D21D12D22D1PD2P二、關(guān)于基本方程的建立根據(jù)疊加原理，上述位移條件可寫(xiě)為FPABCFPFPFPFPFPqqqqAAAAABBBBBCCCCCX1X1X1X2X2X2基本體系之一基本體系之二D11D21D12D22D1PD2PD11=d11X1、D21=d21X1D12=d12X2、D22=d22X2因?yàn)榇氲眠@就是根據(jù)變形條件建立的求解兩次超靜定結(jié)構(gòu)的多余未知力X1和X2的力法基本方程。(7-3)也可以選擇其它形式的基本體系，如圖。這時(shí)，變形條件仍可寫(xiě)為D1=0（表示基本體系在X1處的轉(zhuǎn)角為零）D2=0（表示基本體系在X2處的水平位移為零）據(jù)此，可按前述推導(dǎo)方法得到在形式上與式（7-3）完全相同的力法基本方程。因此，式（7-3）也稱(chēng)為兩次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程。不過(guò)須注意，由于不同的基本體系中基本未知量本身的含義不同，因此變形條件及典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)的實(shí)際含義也不相同。FPqABCFPqABCX1X2有沒(méi)有變形條件不為0的力法方程？對(duì)于n次超靜定結(jié)構(gòu)，則有n個(gè)多余未知力，而每一個(gè)多余未知力都對(duì)應(yīng)著一個(gè)多余約束，相應(yīng)地也就有一個(gè)已知變形條件，故可據(jù)此建立n個(gè)方程，從而可解出n個(gè)多余未知力。當(dāng)原結(jié)構(gòu)上各多余未知力作用處的位移為零時(shí)，這n個(gè)方程可寫(xiě)為(7-4)這就是n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法典型方程。方程組中每一等式都代表一個(gè)變形條件基本體系沿多余未知力方向的位移＝原結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移三、關(guān)于系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算1）主斜線（自左上方的d11至右下方的dnn）上的系數(shù)dii稱(chēng)為主系數(shù)或主位移，它是單位多余未知力Xi=1單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上時(shí)所引起的沿其本身方向上的位移，其值恒為正，且不會(huì)等于零。2）其它的系數(shù)dij（i≠j）稱(chēng)為副系數(shù)或副位移，它是單位多余未知力Xj=1單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上時(shí)所引起的沿Xi方向的位移，其值可能為正、負(fù)或零。3）各式中最后一項(xiàng)DiP稱(chēng)為自由項(xiàng)，它是荷載單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上時(shí)所引起的沿Xi方向的位移，其值可能為正、負(fù)或零。4）根據(jù)位移互等定理可知，在主斜線兩邊處于對(duì)稱(chēng)位置的兩個(gè)副系數(shù)dij與dji是相等的，即dij

=dji

典型方程中的各系數(shù)和自由項(xiàng)，都是基本結(jié)構(gòu)（即靜定結(jié)構(gòu)）在已知力作用下的位移，完全可以用第6章所述方法求得。對(duì)于荷載作用下的平面結(jié)構(gòu)，這些位移的計(jì)算式可寫(xiě)為結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖可按疊加法作出，即作出原結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖后，可直接應(yīng)用平衡條件計(jì)算FQ和FN，并作出FQ圖和FN圖。如上所述，力法典型方程中的每個(gè)系數(shù)都是基本結(jié)構(gòu)在某單位多余未知力作用下的位移。顯然，結(jié)構(gòu)的剛度愈小，這些位移的數(shù)值愈大，因此，這些系數(shù)又稱(chēng)為柔度系數(shù)；力法典型方程表示變形條件，故又稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的柔度方程；力法又稱(chēng)為柔度法。7.4用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的內(nèi)力一、超靜定梁和剛架【例7-2】試計(jì)算圖7-14a所示兩端固定梁，并作內(nèi)力圖。

EA、EI均為常數(shù)。解:(1)確定基本未知量數(shù)目n=3(2)選擇力法基本體系(3)建立力法典型方程X1X2qABX3基本體系qABl拐點(diǎn)拐點(diǎn)(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)d13=d31=0，d23==d32=0，D3P=0力法典型方程中的第三式d33X3=0據(jù)此可得X3=0故力法典型方程簡(jiǎn)化為ABl拐點(diǎn)拐點(diǎn)qX1=1AABB1X2=11圖圖AABBX3=1qql2/8MP圖圖應(yīng)用圖乘法，可得(5)解方程，求多余未知力()ABl拐點(diǎn)拐點(diǎn)qABqql2/8MP圖X1=1AABB1X2=11圖圖(6)作最后彎矩圖和剪力圖AABBql2/12ql2/12（ql2/8）ql2/24ql/2ql/2M圖FQ圖例：用力法計(jì)算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

解：1、選擇基本體系（如圖示）

2、力法基本方程3、計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)作單位彎矩圖M1、M2和荷載彎矩圖MP例：用力法計(jì)算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

解：

1、選擇基本體系（如圖示）

2、力法基本方程3、計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)作單位彎矩圖M1、M2和荷載彎矩圖MP4、求多余未知力X1、X2

將系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程，得解得例：用力法計(jì)算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

解：

1、選擇基本體系（如圖示）

2、力法基本方程3、計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)5、繪內(nèi)力圖4、求多余未知力X1、X2例：用力法計(jì)算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

解：

1、選擇基本體系（如圖示）

2、力法基本方程3、計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)FQ取結(jié)點(diǎn)C為脫離體

取結(jié)點(diǎn)A為脫離體

②對(duì)同一超靜定結(jié)構(gòu)可以選用不同的基本體系進(jìn)行計(jì)算，但計(jì)算的繁簡(jiǎn)程度可能是不相同的。討論：①超靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下其內(nèi)力與EI的實(shí)際值無(wú)關(guān)，只與EI的相對(duì)值有關(guān)；5、計(jì)算FRA,FRC例：用力法計(jì)算圖示超靜定梁，作出內(nèi)力圖并求

【例7-3】試計(jì)算圖7-15a所示剛架，并作內(nèi)力圖。EI=常數(shù)解：(1)確定基本未知量數(shù)目n=2(2)選擇力法基本體系(3)建立力法典型方程(C處水平方向不離開(kāi))(C處豎直方向不錯(cuò)開(kāi))ABDEF8kNX1X1X2基本體系A(chǔ)BCDE2m2m2m2m8kNF(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)8kNMP圖(kN.m)16X1=144圖圖X2=1X2=122222(5)解方程，求多余未知力(6)作最后內(nèi)力圖利用疊加公式，計(jì)算最后彎矩如下作出M圖以及FQ圖、FN:ABCDE2m2m2m2m8kNF8kN24241304659M圖()FQ圖(kN)FN圖(kN)【例7-4】試計(jì)算圖7-16a所示具有彈性支座的結(jié)構(gòu)，并作彎矩圖?？罐D(zhuǎn)剛度系數(shù)。解：(1)確定基本未知量數(shù)目n=1(2)選擇力法基本體系(3)建立力法典型方程ABCll/2l/2MkqEI=常數(shù)ABCMX1X1基本體系(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)MM2MABCMP圖ABCX1=1111圖(5)解方程，求多余未知力:(6)作最后彎矩圖MM2MABCMP圖ABCX1=1111圖ABCMMMM圖ABCMX1X1基本體系

=1系數(shù)和自由項(xiàng)按下式計(jì)算：各桿的最后軸力按下式計(jì)算：二、超靜定桁架例：用力法計(jì)算圖示桁架的軸力。(各桿EA相等為常數(shù)）3）計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)解：1)確定基本體系（如圖所示）2）建立力法方程：

d11X1+△1P=0（基本體系在切口兩邊截面沿X1方向的相對(duì)位移）FN1FNP4)計(jì)算多余未知力X15)作最后內(nèi)力圖例：用力法計(jì)算圖示桁架的軸力。(各桿EA相等為常數(shù)）FN1FNP-21X+3240-35FN【例7-5】試計(jì)算圖7-17a所示桁架的軸力，設(shè)各桿EA相同。(2)選擇力法基本體系解：(1)確定基本未知量數(shù)目(3)建立力法基本方程ABCDEFFP2aaaFPX1X1基本體系X1X1n=1(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)(5)解方程，求多余未知力(6)計(jì)算原結(jié)構(gòu)各桿軸力X1=1X1=1-0.707-0.707-0.707-0.707111圖FPFNP圖FPFPFPFN圖0.897FPFP-0.103FP-0.103FP-0.103FP三、超靜定組合結(jié)構(gòu)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)，對(duì)桁桿考慮軸向變形的影響；對(duì)梁式桿考慮彎曲變形的影響?！纠?-6】試用力法分析圖7-18a所示超靜定組合結(jié)構(gòu)。已知橫梁AB：Eh=3×107kN/m2，I=6.63×10-4m4壓桿CE、DF：Eh=3×107kN/m2，A1=1.65×10-2m2拉桿AE、EF、FB：Eg=2×108kN/m2，A2=0.12×10-2m2100kN3m3m2m2m2mABCDEF解：為了簡(jiǎn)化計(jì)算，首先求出如下各比值：(1)確定基本未知量數(shù)目n=1(2)選擇力法基本體系(3)建立力法基本方程100kN3m3m2m2m2mABCDEF100kNX1基本體系超靜定結(jié)構(gòu)在僅在荷載作用下，其內(nèi)力只與桿件的相對(duì)剛對(duì)有關(guān)(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)由公式:可得X1=12211100kN250150150MP(kN.m),FNP(kN)(5)解方程，求多余未知力(6)作最后內(nèi)力圖X1=12211100kN250150150MP(kN.m),FNP(kN)24.1524.1575.8587.07104.57104.57-57.87-57.87M(kN.m),FN(kN)四、鉸接排架對(duì)排架進(jìn)行內(nèi)力分析，主要是計(jì)算排架柱的內(nèi)力。屋架柱基礎(chǔ)鏈桿基礎(chǔ)面EA=∞EI1EI1EI2EI2【例7-7】試用力法計(jì)算圖7-20a所示排架，并作彎矩圖。解：(1)確定基本未知量數(shù)目n=1(2)選擇力法基本體系對(duì)于鉸接排架取切斷橫向鏈桿為基本體系(3)建立力法基本方程ABCDX1基本體系0.4kN/m0.3kN/mEA=∞EIEI3EI3EIABCD0.4kN/m15m8m6m2m0.3(4)求系數(shù)和自由項(xiàng)12.89.60.80.6(1.8)(1.35)MP圖(kN.m)X1=12288圖X1=12288圖12.89.60.80.6(1.8)(1.35)MP圖(kN.m)(5)解方程，求多余未知力(6)作最后彎矩圖ABCDX1基本體系0.4kN/m0.3kN/mX1=12288圖12.89.60.80.6(1.8)(1.35)MP圖(kN.m)M圖(kN.m)11.6110.790.50.9五、兩鉸拱用力法計(jì)算時(shí)，通常采用簡(jiǎn)支曲梁為基本結(jié)構(gòu)，以支座的水平推力為多余未知力（圖7-21b）。利用基本體系在B支座沿X1方向的線位移為零的變形條件，可建立力法方程ABlfxyFP1FP1FP2FP2X1基本體系一般略去剪力的影響，而軸力的影響僅在扁平拱（拱高f<l/5）的情況下計(jì)算d11式中予以考慮，即MP=M0(a)將以上、和MP表達(dá)式代入式（a），可得X1=1xyKjxy101jK故多余未知力X1（即水平推力）為(b)水平推力求出后，對(duì)在豎向荷載作用下的兩腳等高的兩鉸拱的內(nèi)力計(jì)算公式與三鉸拱完全相同。兩鉸拱上任一截面的內(nèi)力為(c)自由項(xiàng)D1P計(jì)算式相同，仍為帶拉桿的兩鉸拱用力法計(jì)算時(shí)，一般將拉桿切斷，在于在計(jì)算系數(shù)d11時(shí)多了拉桿AB的軸向變形量，即FP1FP1FP2FP2X1X1基本體系拉桿EgAg于是，可得(e)多余未知力X1（即拱肋所受的推力FH）算出后，仍可由式（c）計(jì)算拱中任一截面的內(nèi)力?！纠?-8】試用力法計(jì)算圖7-23a所示兩鉸拱的水平推力FH。設(shè)拱的截面尺寸為常數(shù)。以左支座為原點(diǎn)，拱軸方程為計(jì)算時(shí)，采用兩個(gè)簡(jiǎn)化假設(shè)：第一，忽略軸向變形，只考慮彎曲變形；xyfl/2l/2qAB第二，當(dāng)拱比較平時(shí)（例如f<l/5），可近似地取ds=dx，cosj=1。因此，位移的公式簡(jiǎn)化為右半跨左半跨xyfl/2l/2qABCABCq3ql/8ql/8M0圖ABCM圖ql2/64ql2/64由力法方程，求得FH求出后，利用公式，可作出M圖如圖7-23c所示。本例的這個(gè)彎矩圖與三鉸拱的彎矩圖相同。這個(gè)結(jié)果與三鉸拱在半跨均布荷載作用下的結(jié)果是一樣的。這不是一個(gè)普遍性結(jié)論。但是，在一般荷載作用下，兩鉸拱的推力與三鉸拱的推力是比較接近的。xyfl/2l/2qABCABCM圖ql2/64ql2/647.5用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)和溫度變化時(shí)的內(nèi)力對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，在支座移動(dòng)、溫度變化等非荷載因素作用下，并不引起內(nèi)力；而對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，由于存在多余約束，在非荷載因素作用下，一般會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力，這種內(nèi)力稱(chēng)為自?xún)?nèi)力。第一，力法方程中的自由項(xiàng)不同。這里的自由項(xiàng)，不再是荷載引起的DiP，而是由支座移動(dòng)或溫度變化等因素引起基本結(jié)構(gòu)多余未知力方向上的位移Dic或Dit等。第二，對(duì)支座移動(dòng)問(wèn)題，力法方程右端項(xiàng)不一定為零。當(dāng)取有移動(dòng)的支座約束力為基本未知力時(shí)，Di≠0，而是Di=Ci

第三，計(jì)算最后內(nèi)力的疊加公式不完全相同。由于基本結(jié)構(gòu)（是靜定結(jié)構(gòu)）上支座移動(dòng)、溫度變化時(shí)均不引起內(nèi)力，因此內(nèi)力全是由多余未知力引起的。最后彎矩疊加公式為（7-9）一、支座移動(dòng)時(shí)的內(nèi)力計(jì)算第i個(gè)方程（即對(duì)應(yīng)于第i個(gè)多余約束處的位移條件）可寫(xiě)為dij為柔度系數(shù)Ci，表示原結(jié)構(gòu)在Xi方向的實(shí)際位移Dic，表示基本結(jié)構(gòu)在支座移動(dòng)作用下在Xi方向的位移【例7-9】圖7-24a所示單跨超靜定梁AB，已知EI為常數(shù)，左端支座轉(zhuǎn)動(dòng)角度為q

，右端支座下沉位移為a，試求在梁中引起的自?xún)?nèi)力。(1)第一種解法

:一次超靜定，分別采用三種基本體系求解。取支座B的豎向反力為多余未知力X1，其力法方程為得由此求得

其中ABCall/2l/2qqX1aqqqqX1=1D1cl基本體系之一圖【例7-9】圖7-24a所示單跨超靜定梁AB，已知EI為常數(shù)，左端支座轉(zhuǎn)動(dòng)角度為q

，右端支座下沉位移為a，試求在梁中引起的自?xún)?nèi)力。(1)第一種解法

:一次超靜定，分別采用三種基本體系求解。取支座B的豎向反力為多余未知力X1，其力法方程為由此求得

ABCall/2l/2qqX1aqqqqX1=1D1cl基本體系之一圖彎矩疊加公式為：X1M圖(2)第二種解法

取支座A的反力偶作為多余未知力X1，其力法方程為其中力法方程

與第一種解法所作M圖完全相同。X1基本體系之二aqaD1cX1=11圖X1M圖(3)第三種解法

將梁AB中點(diǎn)截面C改為鉸結(jié)（m）

其中力法方程為由此可得

作出M圖，與第一、二種解法所作的M圖完全相同。qqqqaaX1基本體系之三qD1cX1=1圖12X1M圖以上選取三種不同基本結(jié)構(gòu)，得出三個(gè)不同的力法方程：第一種解法第二種解法第三種解法ABCaqqX1aqq基本體系之一X1基本體系之二aqqqaX1基本體系之三D1＝－aD1＝qD1＝0基本體系位移條件原結(jié)構(gòu)位移條件力法方程位移條件的實(shí)質(zhì)基本體系的位移＝原結(jié)構(gòu)的位移(5)特例1）若a=0，則原體系如圖7-25a所示，相應(yīng)的M圖如圖7-25b所示。A點(diǎn)的,若引入符號(hào)稱(chēng)為桿件的線剛度則qqlABEIAB3iq3iq/33iq/3M圖2）若q=0，并令DAB

=a，則原體系如圖7-26a所示，相應(yīng)的M圖如圖7-26b所示。A點(diǎn)的，若再引入符號(hào)稱(chēng)為桿AB的弦轉(zhuǎn)角，則(6)上述計(jì)算結(jié)果表明：在支座位移時(shí)，超靜定結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生內(nèi)力和反力值與各桿件剛度的絕對(duì)值成正比。ABl弦轉(zhuǎn)角bEIDABABM圖二、溫度變化時(shí)的內(nèi)力計(jì)算在溫度變化時(shí)，n次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程中，第i個(gè)方程的一般形式為（7-11）式中，

Dit表示基本結(jié)構(gòu)在溫度變化作用下沿Xi方向的位移；Di表示原結(jié)構(gòu)沿Xi方向的位移（在溫度變化問(wèn)題中，一般D

i=0）。例7-10】試作圖7-27a所示剛架在溫度改變時(shí)所產(chǎn)生的M圖。各桿截面為矩形，高度h=l/10，線膨脹系數(shù)為a。設(shè)EI=常數(shù)解:此結(jié)構(gòu)為一次超靜定剛架，取基本體系如圖7-27b所示。力法方程為lllAABBCCDD+15℃+15℃+15℃-15℃-10℃+5℃基本體系+15℃+15℃+15℃-15℃-10℃+5℃X1X1AB段t0=0℃BC段t0=2.5℃CD段t0=10℃AB段Dt=30℃BC段Dt=25℃CD段Dt=10℃分別作圖和圖，如圖7-27c、d所示。圖X1=111ABCDABDC圖代入典型方程，可得()最后彎矩圖，如圖7-27e所示。由計(jì)算結(jié)果可知，在溫度變化時(shí)，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與反力與各桿件剛度的絕對(duì)值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自?xún)?nèi)力狀態(tài)的有效途徑。另外，對(duì)于鋼筋混凝土梁，要特別注意因降溫可能出現(xiàn)裂縫的情況（對(duì)超靜定梁而言，其低溫一側(cè)受拉而高溫一側(cè)受壓）。桿件的制作誤差、材料的收縮和徐變所引起超靜定結(jié)構(gòu)自?xún)?nèi)力的計(jì)算，其基本原理與上述溫度變化時(shí)相同。77.5EIa/l77.5EIa/l77.5EIa/l77.5EIa/lM圖ABCD在計(jì)算自由項(xiàng)時(shí)，須注意將基本結(jié)構(gòu)中因軸線平均溫度變化t0而引起的桿長(zhǎng)變化量at0l，代之以桿件制作長(zhǎng)度的誤差或材料的收縮量Dl，亦即將溫度變化時(shí)的自由項(xiàng)計(jì)算公式代之以桿件制作誤差（或材料收縮與徐變）時(shí)的自由項(xiàng)計(jì)算公式（7-12）可看出，周邊的約束剛度對(duì)上述非荷載因素所引起的結(jié)構(gòu)的自?xún)?nèi)力有很大的影響。7.6對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)化計(jì)算一、簡(jiǎn)化的前提條件結(jié)構(gòu)必須具有對(duì)稱(chēng)性。所謂結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性，是指結(jié)構(gòu)的幾何形狀、內(nèi)部聯(lián)結(jié)、支承條件以及桿件剛度均對(duì)于某一軸線是對(duì)稱(chēng)的。二、簡(jiǎn)化的主要目標(biāo)力法簡(jiǎn)化的主要目標(biāo)是：使典型方程中盡可能多的副系數(shù)以及自由項(xiàng)等于零，從而使典型方程成為獨(dú)立方程或少元聯(lián)立方程。其關(guān)鍵都在于選擇合理的基本結(jié)構(gòu)，以及設(shè)置適當(dāng)?shù)幕疚粗?。EI1EI1EI2EI2EI1EI1EI1EI1EI2EI2EI3對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸Ⅰ對(duì)稱(chēng)軸Ⅱ三、簡(jiǎn)化的方法之一——選擇對(duì)稱(chēng)的基本結(jié)構(gòu)1、簡(jiǎn)化副系數(shù)計(jì)算圖示對(duì)稱(chēng)的三次超靜定剛架中，沿對(duì)稱(chēng)軸上梁的中間截面切開(kāi)，所得基本結(jié)構(gòu)是對(duì)稱(chēng)的。此時(shí)，力法典型方程為(a)EI1EI2EI2ABCDFP對(duì)稱(chēng)軸基本體系基本結(jié)構(gòu)FPX1X2X2X3典型方程的系數(shù)為典型方程（a）就簡(jiǎn)化為可以看出，當(dāng)取對(duì)稱(chēng)的基本結(jié)構(gòu)及基本未知力為對(duì)稱(chēng)的和反對(duì)稱(chēng)的，力法方程將分解為獨(dú)立的兩組：一組中只包含對(duì)稱(chēng)未知力X1和X2；一組中只包含反對(duì)稱(chēng)未知力X3。圖X1=1X2=1X3=1X3=1圖圖圖2、簡(jiǎn)化自由項(xiàng)計(jì)算(1)在對(duì)稱(chēng)荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖和變形圖是對(duì)稱(chēng)的。因此反對(duì)稱(chēng)未知力X3=0,只需計(jì)算對(duì)稱(chēng)未知力X1和X2

FP/2FP/2FP/2FP/2X1X2X2X1（X3=0）MP圖(2)在反對(duì)稱(chēng)荷載作用下，基本結(jié)構(gòu)的荷載彎矩圖和變形圖是反對(duì)稱(chēng)的。彎矩圖MP是反對(duì)稱(chēng)的。可知，對(duì)稱(chēng)未知力X1=0，X2=0，只需用式（c）計(jì)算反對(duì)稱(chēng)未知力X3。FP/2FP/2FP/2FP/2MP圖X3X3（X1=0，X2=0）由以上分析可得出如下結(jié)論：1）對(duì)稱(chēng)荷載在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)中只引起對(duì)稱(chēng)的反力、內(nèi)力和變形。因此，反對(duì)稱(chēng)的未知力必等于零，而只有對(duì)稱(chēng)未知力。2）反對(duì)稱(chēng)荷載在對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)中只引起反對(duì)稱(chēng)的反力、內(nèi)力和變形。因此，對(duì)稱(chēng)的未知力必等于零，而只有反對(duì)稱(chēng)未知力。當(dāng)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)上作用任意荷載時(shí)，一種做法是，可以根據(jù)求解的需要把荷載分解為對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載兩部分，按兩種荷載分別計(jì)算后再疊加；另一種做法是，不進(jìn)行分解，直接按該任意荷載進(jìn)行計(jì)算。這兩種做法各有利弊，可根據(jù)情況選用。例7-11】試?yán)脤?duì)稱(chēng)性分析圖7-32a所示剛架，并作最后彎矩圖。假設(shè)EI為常數(shù)。解：這是一個(gè)四次超靜定的對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，受到非對(duì)稱(chēng)荷載作用。先將荷載分解為對(duì)稱(chēng)荷載和反對(duì)稱(chēng)荷載。由于圖7-32b所示剛架在一組對(duì)稱(chēng)的、沿桿軸向的、平衡的結(jié)點(diǎn)荷載作用下，彎矩M對(duì)=0，故只需計(jì)算圖7-32c所示受反對(duì)稱(chēng)荷載作用的剛架的彎矩M反，該M反即為原體系的最后彎矩M.ABCDEF6kN6m6m4m3kN3kN反對(duì)稱(chēng)荷載3kN3kN對(duì)稱(chēng)荷載M對(duì)=0(FN=-3kN)=+選取對(duì)稱(chēng)的基本結(jié)構(gòu)，其對(duì)應(yīng)的基本體系如圖7-32d所示。由于荷載是反對(duì)稱(chēng)的，故可知正對(duì)稱(chēng)的多余未知力皆為零，而只有對(duì)稱(chēng)的多余未知力X1，從而使力法方程大為簡(jiǎn)化，僅相當(dāng)于求解一次超靜定的問(wèn)題。3kN3kN反對(duì)稱(chēng)荷載3kN3kN3m3mX1X1基本體系分別作出、MP圖，如圖7-32e、f所示。由圖乘法，可得最后彎矩圖如圖7-32g所示。X1=1X1=1333333圖30303018189991821318213M圖(kN.m)MP圖(kN.m)3kN3kN3m3mX1X1基本體系四、簡(jiǎn)化方法之二——選取等效的半結(jié)構(gòu)1、奇數(shù)跨對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)AABBCCFPFPFPFPFPFPAACCDCVDCH=0qC=0DCHDCV=0qCqC2、偶數(shù)跨對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)FPFPFPFPFPEIFPFPEI/2EI/2FPEI/2FPFPEI/2EI/2FQ【例7-12】圖7-35a、c、e所示三個(gè)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)分別受到反對(duì)稱(chēng)荷載或正對(duì)稱(chēng)荷載作用。試?yán)脤?duì)稱(chēng)性，分別截取其等效半結(jié)構(gòu)。解：FPFP2FP2FPABCEIAABBABCEI/2FPn=1ABFPn=2ABFPn=2EI0=∞【例7-13】試作圖7-36a所示對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的彎矩圖。解：FPFP/2FP/2FP/2FP/2lllEIEI2EIEI1EI1M對(duì)=0=+對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的半結(jié)構(gòu)分析法，不僅在力法中采用，在位移法和力矩分配法等其它方法中也會(huì)用到。FP/2EIEIEI1反對(duì)稱(chēng)1/2結(jié)構(gòu)FP/4FP/4FP/4FP/4M對(duì)=0=FP/4反對(duì)稱(chēng)1/4結(jié)構(gòu)+FP/41/4結(jié)構(gòu)M圖FP/21/2結(jié)構(gòu)M圖FP原結(jié)構(gòu)M圖7.7用彈性中心法計(jì)算對(duì)稱(chēng)無(wú)鉸拱一、彈性中心為了簡(jiǎn)化計(jì)算，采用以下兩項(xiàng)簡(jiǎn)化措施：第一選取對(duì)稱(chēng)的基本結(jié)構(gòu)力法方程簡(jiǎn)化為兩組獨(dú)立的方程，即FPFPABAB對(duì)稱(chēng)軸X1X3X2X2第二項(xiàng)簡(jiǎn)化措施是利用剛臂進(jìn)一步使余下的一對(duì)副系數(shù)d

12和d

21也等于零，從而使力法方程進(jìn)一步簡(jiǎn)化為三個(gè)獨(dú)立的一元一次方程：下面，說(shuō)明如何利用剛臂來(lái)達(dá)到上述簡(jiǎn)化目的。第一步，把原來(lái)的無(wú)鉸拱換成帶剛臂的無(wú)鉸拱,這個(gè)帶剛臂的無(wú)鉸拱與原來(lái)的無(wú)鉸拱是等效的，可以相互代替。FPFPAABBKEI=∞CCxyyysOX1X1X2X2X3X3O第二步，選取基本體系。將帶剛臂的無(wú)鉸拱在剛臂下端O處切開(kāi)。第三步，確定剛臂的長(zhǎng)度，也就是確定剛臂端點(diǎn)O的位置。副系數(shù)d12的算式如下：FPABEI=∞COFPABKCxyyysX1X1X2X2X3X3O得式中，yS為剛臂長(zhǎng)度；j為截面處拱軸切線與水平線之間的夾角，在右半拱取正，左半拱取負(fù)。xxxyyyyysKKKX1=1X1=1X2=1X2=1X3=1X3=1xj令d12=

d

21=0，便可得到剛臂長(zhǎng)度yS為為了形象地理解式的幾何意義，設(shè)想沿拱軸線作寬度等于1/EI的圖形，則ds/EI代表此圖中的微面積，而式（7-14）就是計(jì)算這個(gè)圖形面積的形心計(jì)算公式。由于此圖形的面積與結(jié)構(gòu)的彈性性質(zhì)EI有關(guān)，故稱(chēng)它為彈性面積圖，它的形心則稱(chēng)為彈性中心。(7-14)如果先按式（7-14）求出yS，即確定彈性中心的位置，并將剛臂端點(diǎn)引至彈性中心，然后取形如圖7-37d所示帶剛臂的基本體系，則力法方程中的全部副系數(shù)都等于零。這一方法就稱(chēng)為彈性中心法。ysxyydsO彈性中心二、荷載作用下的計(jì)算力法方程簡(jiǎn)化為式當(dāng)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)，可忽略軸向變形和剪切變形的影響，只考慮彎曲變形一項(xiàng)。但當(dāng)拱軸線接近合理拱軸時(shí)，或拱高f<l/5時(shí)，或拱高f>l/5且拱頂截面高度hc>l/10時(shí)，還需考慮軸力對(duì)d22的影響。即由力法方程算出多余未知力X1、X2和X3后，即可用隔離體的平衡條件或內(nèi)力疊加公式[參見(jiàn)單位未知力引起的內(nèi)力表達(dá)式（d）]求得式中，MP、FQP和FNP分別為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下該截面的彎矩、剪力和軸力。彈性中心法可以推廣到適用于任何形狀的三次超靜定的閉合結(jié)構(gòu)，是一種具有普遍意義的方法。【例7-14】試用彈性中心法計(jì)算圖7-40a所示圓拱直墻剛架的彎矩MA和MC。設(shè)EI=常數(shù)。解：此剛架為三次超靜定結(jié)構(gòu)，圓拱部分承受徑向荷載。因?yàn)橛捎诤奢d對(duì)稱(chēng)，故反對(duì)稱(chēng)力X3=0qqRRABCdsqdsqdssinqqdscosqqqqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本體系(1)求彈性中心位置qqRRABCdsqdsqdssinqqdscosqqqqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本體系(2)計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)由隔離體的平衡條件建立彎矩方程為1）在X1=1作用下直、曲桿段2）在X2=1作用下曲桿段直桿段qqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本體系X2=1ysy3）在荷載作用下曲桿段直桿段據(jù)此，可求得系數(shù)和自由項(xiàng)為qqqqysyRMP

MP(曲桿段)(直桿段)q(3)求多余未知力X1和X2(4)根據(jù)疊加公式，求得三、溫度變化時(shí)的計(jì)算無(wú)鉸拱在溫度變化時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生明顯的內(nèi)力。設(shè)圖7-41a所示對(duì)稱(chēng)無(wú)鉸拱的外側(cè)溫度升高t1℃，內(nèi)側(cè)溫度升高t2℃。力法計(jì)算時(shí)仍采用彈性中心法，其基本體系如圖7-41b所示。由于溫度變化對(duì)稱(chēng)于y軸，因此有X3=0，力法方程簡(jiǎn)化為（7-16）xxysfl/2l/2yy+t1℃+t1℃+t2℃+t2℃X1X1X2X2X3X3基本體系主系數(shù)計(jì)算同式（7-15），自由項(xiàng)為(f)分別把、和、代入式（f），得于是有這表明，當(dāng)全拱內(nèi)外側(cè)溫度均勻改變時(shí)，在彈性中心處只有水平多余力X2。當(dāng)溫度升高時(shí)，X2為正方向，使拱截面內(nèi)產(chǎn)生壓力；溫度降低時(shí)，X2為反方向，使拱截面內(nèi)產(chǎn)生拉力。對(duì)于混凝土拱，應(yīng)注意避免由于降溫引起的拉力使拱產(chǎn)生裂縫。當(dāng)多余未知力確定以后，拱上任意截面的內(nèi)力均可按式（e）（令荷載項(xiàng)為零）求出?；炷恋氖湛s對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)的影響與溫度均勻下降的情況相似，故可用溫度均勻變化的計(jì)算方式來(lái)處理?；炷恋臏囟染€膨脹系數(shù)為a=0.00001，而一般混凝土的收縮率at約為0.025%，相當(dāng)于溫度均勻下降25℃。若拱體的混凝土是分段分期澆筑的，則其收縮的影響通常相當(dāng)于溫度下降10℃~15℃。四、支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算力法方程為式中，主系數(shù)計(jì)算同式（7-15），自由項(xiàng)為（g）xxyyl/2l/2faabbqqysX1X1X2X2X3X3基本體系求出各單位多余力作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)與支座位移相應(yīng)的支座反力（圖7-42c），代入式（g），得X1=1X2=1X3=11001010l/2f-ys于是有當(dāng)多余未知力確定以后，拱上任意截面的內(nèi)力均可按式（e）（令荷載項(xiàng)為零）求出。與其它超靜定結(jié)構(gòu)一樣，無(wú)鉸拱由于溫度變化和支座移動(dòng)引起的內(nèi)力也與拱的絕對(duì)剛度有關(guān)，且成正比，拱的剛度愈大，由于溫度變化或支座移動(dòng)所引起的自?xún)?nèi)力也愈大7.8超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算第6章中所介紹的計(jì)算位移的單位荷載法，不僅可以用于求解靜定結(jié)構(gòu)的位移，也同樣適用于求解超靜定結(jié)構(gòu)的位移，區(qū)別僅在于內(nèi)力需按計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)方法求出。一、荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算解法一ql/2l/2l/2l/2ABCDCV已知EI，求DCVM圖A1A2l/2l/2y01y02l/8l/8l/81圖像以上這樣，為了作圖，將虛擬力狀態(tài)建立在原結(jié)構(gòu)上（圖7-43c），就需要另行解算一個(gè)兩次超靜定問(wèn)題，顯然比較繁瑣，有必要尋求更為簡(jiǎn)捷的方法。

思路：利用靜定的基本結(jié)構(gòu)來(lái)求原結(jié)構(gòu)的位移。

按照上述思路，只需在任意選取的靜定基本結(jié)構(gòu)上建立虛擬力狀態(tài)，并求出單位荷載作用下的單位彎矩圖圖，即可利用位移計(jì)算公式或圖乘法計(jì)算出C點(diǎn)的豎向位移。解法二l/2l/2M圖A1A21l/2l/2l/2圖q基本體系之一三種解法計(jì)算結(jié)果相同,由于基本結(jié)構(gòu)是靜定的，在單位荷載作用下的內(nèi)力易求出，因而位移計(jì)算就更為簡(jiǎn)捷。解法三l/2l/2M圖A1A2q1l/4l/2l/2基本體系之二圖超靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移的基本思路:利用基本體系求原結(jié)構(gòu)的位移.計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移的步驟將計(jì)算出的多余未知力作為外荷載1、解超靜定結(jié)構(gòu),作超靜定結(jié)構(gòu)的最終內(nèi)力圖；2、取原結(jié)構(gòu)的任一基本結(jié)構(gòu)作為虛擬狀態(tài)，并作虛擬力狀態(tài)下的單位內(nèi)力圖；3、計(jì)算位移。在荷載作用下，位移計(jì)算公式為：超靜定梁和剛架桁架【例7-15】試求圖7-44a所示剛架CB桿D點(diǎn)的豎向位移DDV。解：(1)作原超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖(2)作虛擬力狀態(tài)下的單位彎矩圖(3)用圖乘法求位移當(dāng)取基本結(jié)構(gòu)一或二時(shí)FPl/2l/2l/2l/2ABCDEI2EIM圖1l/4圖之一1l/4圖之二當(dāng)取基本結(jié)構(gòu)三時(shí)由以上計(jì)算結(jié)果可見(jiàn)，選取的基本結(jié)構(gòu)雖然不同，但其計(jì)算結(jié)果是相同的。1l/2l/2圖之三M圖二、支座移動(dòng)時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算位移計(jì)算公式為（7-20)式中，M為超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖；和分別為原結(jié)構(gòu)的任一基本結(jié)構(gòu)由于虛擬單位荷載作用產(chǎn)生的單位彎矩和單位反力?！纠?-16】試計(jì)算圖7-45a所示超靜定梁在支座移動(dòng)時(shí)B點(diǎn)的轉(zhuǎn)角qB。解：(1)作原超靜定梁的最后彎矩圖laqqABM圖(3)計(jì)算位移：(2)作虛擬力狀態(tài)下的單位彎矩圖laqqABM圖11圖三、溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化時(shí)的位移計(jì)算，同樣可以在其任一相應(yīng)的靜定基本結(jié)構(gòu)上建立虛擬力狀態(tài)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜定基本結(jié)構(gòu)由于多余未知力和溫度變化共同作用產(chǎn)生的位移計(jì)算。其位移公式為(7-21)式中，M為超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖；和為原結(jié)構(gòu)的任一基本結(jié)構(gòu)由于虛擬單位荷載作用產(chǎn)生的單位彎矩和單位軸力。四、綜合因素影響下的位移計(jì)算在荷載及非荷載等因素綜合影響下，其位移計(jì)算公式為(7-22)式中，、和分別為超靜定結(jié)構(gòu)在全部因素影響下