人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系

第2課時直線與橢圓的位置關(guān)系第三章3.1.2人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件RENJIAOBANXINJIAOCAIGAOZHONGSHUXUEYOUZHIKEJIAN2019普通高中教科書第2課時直線與橢圓的位置關(guān)系第三章人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂課標定位素養(yǎng)闡釋1.進一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.2.會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.3.能運用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點弦問題.4.培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).課標定位素養(yǎng)闡釋1.進一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、點與橢圓的位置關(guān)系【問題思考】1.回想點與圓的位置關(guān)系,思考點P(x0,y0)與圓C:x2+y2=a2的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷?一、點與橢圓的位置關(guān)系2.類似點與圓的位置關(guān)系,你能得出點P(x0,y0)與橢圓(a>b>0)的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷?2.類似點與圓的位置關(guān)系,你能得出點P(x0,y0)與橢圓人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系二、直線與橢圓的位置關(guān)系【問題思考】1.回想一下,直線與圓的位置關(guān)系有哪些?我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系?提示:直線與圓的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法有幾何法:利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷;代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用判別式Δ判斷.2.類比直線與圓的位置關(guān)系,思考直線與橢圓有幾種位置關(guān)系?怎樣判斷其位置關(guān)系?提示:直線與橢圓的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法是聯(lián)立直線與橢圓方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用判別式Δ判斷.二、直線與橢圓的位置關(guān)系3.填空:直線與橢圓的位置關(guān)系

3.填空:直線與橢圓的位置關(guān)系A(chǔ).相離 B.相切C.相交 D.無法確定Δ=22+12=16>0,故直線與橢圓相交.答案:CA.相離 B.相切Δ=22+12=16>0,【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(2)在判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立直線方程與橢圓方程時,只能消去y得到關(guān)于x的一元二次方程.(×)(3)過橢圓外一點只能作一條直線與橢圓相切.(×)(6)直線與橢圓只有一個交點?直線與橢圓相切.(√)【思考辨析】(2)在判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立直線方合作探究釋疑解惑合作探究釋疑解惑探究一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】

已知直線y=x+m與橢圓,當(dāng)直線和橢圓相離、相切、相交時,分別求m的取值范圍.分析:將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式Δ判斷.探究一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】已知直線y=x+m與橢圓故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43(25-m2).當(dāng)Δ>0,即-5<m<5時,直線和橢圓相交;當(dāng)Δ=0,即m=±5時,直線和橢圓相切;當(dāng)Δ<0,即m>5或m<-5時,直線和橢圓相離.綜上所述,當(dāng)m>5或m<-5時直線與橢圓相離;當(dāng)m=±5時,直線與橢圓相切;當(dāng)-5<m<5時,直線與橢圓相交.故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43反思感悟

直線與圓、橢圓等封閉曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種情形,判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時,將直線方程代入曲線方程,消元后得關(guān)于x(或y)的方程,當(dāng)二次項系數(shù)不為零時,可由判別式Δ來判斷.當(dāng)Δ>0時,直線與曲線相交;當(dāng)Δ=0時,直線與曲線相切;當(dāng)Δ<0時,直線與曲線相離.提醒:注意方程組的解與交點個數(shù)之間的等價關(guān)系.反思感悟直線與圓、橢圓等封閉曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相【變式訓(xùn)練1】

若直線y=kx+1(k∈R)與焦點在x軸上的橢圓

總有公共點,求m的取值范圍.∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).∵直線與橢圓總有公共點,∴Δ≥0對任意k∈R都成立.∵m>0,∴5k2≥1-m恒成立,∴1-m≤0,即m≥1.又橢圓的焦點在x軸上,∴0<m<5,∴1≤m<5.【變式訓(xùn)練1】若直線y=kx+1(k∈R)與焦點在x軸上的解法二:∵直線y=kx+1過定點M(0,1),∴要使直線與該橢圓總有公共點,則點M(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上,解法二:∵直線y=kx+1過定點M(0,1),探究二弦長問題【例2】

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍;(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.分析:(1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)判別式Δ的符號,建立關(guān)于m的不等式求解;(2)利用弦長公式建立關(guān)于m的函數(shù)解析式,通過函數(shù)的最值求得m的值,從而得到直線方程.探究二弦長問題【例2】已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x(2)設(shè)直線與橢圓交于點A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.(2)設(shè)直線與橢圓交于點A(x1,y1),B(x2,y2).反思感悟

1.求直線被橢圓截得的弦長的方法:(1)是求出兩交點坐標,用兩點間距離公式求解;(2)是用弦長公式

求解,其中k為直線AB的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2).2.有關(guān)直線與橢圓相交弦長的最值問題,要特別注意判別式的限制.反思感悟1.求直線被橢圓截得的弦長的方法:【變式訓(xùn)練2】

(1)已知橢圓4x2+5y2=20的左焦點為F,過點F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于A,B兩點,求弦長|AB|.(2)橢圓有兩個頂點A(-1,0),B(1,0),過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點,若|CD|=,求直線l的方程.【變式訓(xùn)練2】(1)已知橢圓4x2+5y2=20的左焦點為人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系當(dāng)直線l垂直于x軸時,與題意不符,設(shè)直線l的方程為y=kx+1,將其代入橢圓方程,化簡,得(k2+2)x2+2kx-1=0.當(dāng)直線l垂直于x軸時,與題意不符,探究三中點弦問題【例3】

過橢圓

內(nèi)一點P(2,1)作一條直線交橢圓于A,B兩點,使線段AB被點P平分,求此直線的方程.分析:由于弦所在直線過定點P(2,1),所以可設(shè)出弦所在直線的方程為y-1=k(x-2),與橢圓方程聯(lián)立,通過中點為P,得出k的值,也可以通過設(shè)而不求的思想求直線的斜率.探究三中點弦問題【例3】過橢圓解法一:如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,(*)又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),解法一:如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),代入橢解法二:設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),∵P為弦AB的中點,∴x1+x2=4,y1+y2=2.解法二:設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2本例條件不變,求弦長|AB|.解:設(shè)弦的兩端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),本例條件不變,求弦長|AB|.反思感悟

關(guān)于中點弦問題,一般采用兩種方法解決(1)聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系進行設(shè)而不求,從而簡化運算.這樣就建立了中點坐標與直線的斜率之間的關(guān)系,從而使問題得以解決.反思感悟關(guān)于中點弦問題,一般采用兩種方法解決這樣就建立了中【變式訓(xùn)練3】

(1)已知點P(4,2)是直線l被橢圓

所截得的線段的中點,則直線l的方程為

.

(2)已知點P(4,2)是直線l:x+2y-8=0被焦點在x軸上的橢圓所截得的線段的中點,則該橢圓的離心率為

.

【變式訓(xùn)練3】(1)已知點P(4,2)是直線l被橢圓解析:(1)由題意可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-4),而橢圓的方程可以化為x2+4y2-36=0.將直線方程代入橢圓方程有(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.設(shè)直線l與橢圓的交點坐標為(x1,y1),(x2,y2),解析:(1)由題意可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-4),(2)設(shè)橢圓方程為

(a>b>0),直線x+2y-8=0與橢圓交于A,B兩點,且A(x1,y1),B(x2,y2),(2)設(shè)橢圓方程為(a>b【思想方法】

橢圓中的最值問題【典例】

如圖,點A,B分別是橢圓

長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.(1)求點P的坐標;(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點,M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.審題視角:(1)設(shè)出點P的坐標,根據(jù)點P在橢圓上以及PA⊥PF,建立方程組求解;(2)根據(jù)兩點間的距離公式,將橢圓上的點到點M的距離d表示為點的坐標的函數(shù),借助函數(shù)方法求得最值.【思想方法】橢圓中的最值問題人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系方法點睛

解決與橢圓有關(guān)的最值問題的三種方法(1)定義法:利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問題處理.(2)數(shù)形結(jié)合法:利用數(shù)與形的結(jié)合,挖掘幾何特征,進而求解.(3)函數(shù)法:探求函數(shù)模型,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來處理.方法點睛解決與橢圓有關(guān)的最值問題的三種方法人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)答案:C答案:C答案:C答案:C∵直線與橢圓有兩個公共點,∴Δ=(4m)2-4m(m+3)=16m2-4m2-12m=12m2-12m>0,解得m>1或m<0.又m>0,且m≠3,∴m>1,且m≠3.答案:(1,3)∪(3,+∞)∵直線與橢圓有兩個公共點,人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系本課結(jié)束本課結(jié)束第2課時直線與橢圓的位置關(guān)系第三章3.1.2人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件RENJIAOBANXINJIAOCAIGAOZHONGSHUXUEYOUZHIKEJIAN2019普通高中教科書第2課時直線與橢圓的位置關(guān)系第三章人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂練習(xí)內(nèi)容索引010203自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)合作探究釋疑解惑隨堂課標定位素養(yǎng)闡釋1.進一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.2.會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.3.能運用直線與橢圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的弦長、中點弦問題.4.培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).課標定位素養(yǎng)闡釋1.進一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用.自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、點與橢圓的位置關(guān)系【問題思考】1.回想點與圓的位置關(guān)系,思考點P(x0,y0)與圓C:x2+y2=a2的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷?一、點與橢圓的位置關(guān)系2.類似點與圓的位置關(guān)系,你能得出點P(x0,y0)與橢圓(a>b>0)的位置關(guān)系有哪些?怎樣判斷?2.類似點與圓的位置關(guān)系,你能得出點P(x0,y0)與橢圓人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系二、直線與橢圓的位置關(guān)系【問題思考】1.回想一下,直線與圓的位置關(guān)系有哪些?我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系?提示:直線與圓的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法有幾何法:利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷;代數(shù)法:聯(lián)立直線與圓的方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用判別式Δ判斷.2.類比直線與圓的位置關(guān)系,思考直線與橢圓有幾種位置關(guān)系?怎樣判斷其位置關(guān)系?提示:直線與橢圓的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法是聯(lián)立直線與橢圓方程,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用判別式Δ判斷.二、直線與橢圓的位置關(guān)系3.填空:直線與橢圓的位置關(guān)系

3.填空:直線與橢圓的位置關(guān)系A(chǔ).相離 B.相切C.相交 D.無法確定Δ=22+12=16>0,故直線與橢圓相交.答案:CA.相離 B.相切Δ=22+12=16>0,【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(2)在判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立直線方程與橢圓方程時,只能消去y得到關(guān)于x的一元二次方程.(×)(3)過橢圓外一點只能作一條直線與橢圓相切.(×)(6)直線與橢圓只有一個交點?直線與橢圓相切.(√)【思考辨析】(2)在判斷直線與橢圓的位置關(guān)系,聯(lián)立直線方合作探究釋疑解惑合作探究釋疑解惑探究一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】

已知直線y=x+m與橢圓,當(dāng)直線和橢圓相離、相切、相交時,分別求m的取值范圍.分析:將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用判別式Δ判斷.探究一直線與橢圓的位置關(guān)系【例1】已知直線y=x+m與橢圓故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43(25-m2).當(dāng)Δ>0,即-5<m<5時,直線和橢圓相交;當(dāng)Δ=0,即m=±5時,直線和橢圓相切;當(dāng)Δ<0,即m>5或m<-5時,直線和橢圓相離.綜上所述,當(dāng)m>5或m<-5時直線與橢圓相離;當(dāng)m=±5時,直線與橢圓相切;當(dāng)-5<m<5時,直線與橢圓相交.故Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=9×43反思感悟

直線與圓、橢圓等封閉曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相交三種情形,判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時,將直線方程代入曲線方程,消元后得關(guān)于x(或y)的方程,當(dāng)二次項系數(shù)不為零時,可由判別式Δ來判斷.當(dāng)Δ>0時,直線與曲線相交;當(dāng)Δ=0時,直線與曲線相切;當(dāng)Δ<0時,直線與曲線相離.提醒:注意方程組的解與交點個數(shù)之間的等價關(guān)系.反思感悟直線與圓、橢圓等封閉曲線的位置關(guān)系有相離、相切、相【變式訓(xùn)練1】

若直線y=kx+1(k∈R)與焦點在x軸上的橢圓

總有公共點,求m的取值范圍.∴Δ=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1).∵直線與橢圓總有公共點,∴Δ≥0對任意k∈R都成立.∵m>0,∴5k2≥1-m恒成立,∴1-m≤0,即m≥1.又橢圓的焦點在x軸上,∴0<m<5,∴1≤m<5.【變式訓(xùn)練1】若直線y=kx+1(k∈R)與焦點在x軸上的解法二:∵直線y=kx+1過定點M(0,1),∴要使直線與該橢圓總有公共點,則點M(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上,解法二:∵直線y=kx+1過定點M(0,1),探究二弦長問題【例2】

已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x+m.(1)當(dāng)直線和橢圓有公共點時,求實數(shù)m的取值范圍;(2)求被橢圓截得的最長弦所在的直線方程.分析:(1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)判別式Δ的符號,建立關(guān)于m的不等式求解;(2)利用弦長公式建立關(guān)于m的函數(shù)解析式,通過函數(shù)的最值求得m的值,從而得到直線方程.探究二弦長問題【例2】已知橢圓4x2+y2=1及直線y=x(2)設(shè)直線與橢圓交于點A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知,5x2+2mx+m2-1=0.(2)設(shè)直線與橢圓交于點A(x1,y1),B(x2,y2).反思感悟

1.求直線被橢圓截得的弦長的方法:(1)是求出兩交點坐標,用兩點間距離公式求解;(2)是用弦長公式

求解,其中k為直線AB的斜率,A(x1,y1),B(x2,y2).2.有關(guān)直線與橢圓相交弦長的最值問題,要特別注意判別式的限制.反思感悟1.求直線被橢圓截得的弦長的方法:【變式訓(xùn)練2】

(1)已知橢圓4x2+5y2=20的左焦點為F,過點F且傾斜角為45°的直線l交橢圓于A,B兩點,求弦長|AB|.(2)橢圓有兩個頂點A(-1,0),B(1,0),過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點,若|CD|=,求直線l的方程.【變式訓(xùn)練2】(1)已知橢圓4x2+5y2=20的左焦點為人教版新教材高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課件-第2課時-直線與橢圓的位置關(guān)系當(dāng)直線l垂直于x軸時,與題意不符,設(shè)直線l的方程為y=kx+1,將其代入橢圓方程,化簡,得(k2+2)x2+2kx-1=0.當(dāng)直線l垂直于x軸時,與題意不符,探究三中點弦問題【例3】

過橢圓

內(nèi)一點P(2,1)作一條直線交橢圓于A,B兩點,使線段AB被點P平分,求此直線的方程.分析:由于弦所在直線過定點P(2,1),所以可設(shè)出弦所在直線的方程為y-1=k(x-2),與橢圓方程聯(lián)立,通過中點為P,得出k的值,也可以通過設(shè)而不求的思想求直線的斜率.探究三中點弦問題【例3】過橢圓解法一:如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),代入橢圓方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,(*)又設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),解法一:如圖,設(shè)所求直線的方程為y-1=k(x-2),代入橢解法二:設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),∵P為弦AB的中點,∴x1+x2=4,y1+y2=2.解法二:設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1),B(x2,y2本例條件不變,求弦長|AB|.解:設(shè)弦的兩端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),本例條件不變,求弦長|AB|.反思感悟

關(guān)于中點弦問題,一般采用兩種方法解決(1)聯(lián)立方程組,消元,利用根與系數(shù)的關(guān)系進行設(shè)而不求,從而簡化運算.這樣就建立了中點坐標與直線的斜率之間的關(guān)系,從而使問題得以解決.反思感悟關(guān)于中點弦問題,一般采用兩種方法解決這樣就建立了中【變式訓(xùn)練3】

(1)已知點P(4,2)是直線l被橢圓

所截得的線段的中點,則直線l的方程為

.

(2)已知點P(4,2)是直線l:x+2y-8=0被焦點在x軸上的橢圓所截得的線段的中點,則該橢圓的離心率為

.

【變式訓(xùn)練3】(1)已知點P(4,2)是直線l被橢圓解析:(1)由題意可設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-4),而橢圓的方程可以化為x2+4y2-36=0.將直線方程代入橢圓方程有(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.設(shè)直線l與橢圓的交點坐標為(