高等數(shù)學(xué)A課件：02－第2講函數(shù)

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)高等數(shù)學(xué)A（1）第二講函數(shù)授課教師：第一章集合與函數(shù)本章學(xué)習(xí)要求：正確理解函數(shù)概念，能熟練求出函數(shù)的定義域。掌握函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和圖形特征。正確理解初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)概念，能正確將復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解。會(huì)求函數(shù)（包括分段函數(shù)）的反函數(shù)。了解“取整函數(shù)”和“符號(hào)函數(shù)”。能對(duì)常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析，建立函數(shù)關(guān)系。第二、三節(jié)函數(shù)一、函數(shù)的基本概念二、函數(shù)的基本性質(zhì)三、基本初等函數(shù)四、初等函數(shù)一、函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的定義2.函數(shù)的表示法解析法表格法圖示法自己看書(shū)！3.求函數(shù)定義域舉例數(shù)學(xué)分析的主要研究對(duì)象是函數(shù)，確定函數(shù)的定義域是一件十分重要的事情。通常依據(jù)：分式的分母不能為零；負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方；已知的一些函數(shù)的定義域；物理意義；幾何意義等來(lái)確定函數(shù)的定義域。綜上所述,該函數(shù)的定義域?yàn)镈=(1,2)。由負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶次方,得由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域,得由分母不能為零,得例1解該函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù),其定義域?yàn)?xyO1y=sgnx例3解求的定義域。也稱為克朗涅哥函數(shù)將x

表示為:函數(shù)y=[x]=“整數(shù)”稱為取整函數(shù)，它是一個(gè)分段函數(shù)。例4“整數(shù)”

+

“正的小數(shù)”或“零”想想取整函數(shù)的圖形是什么樣子？例5解故定義域與對(duì)應(yīng)規(guī)則均相同的兩個(gè)函數(shù)相同。如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同?4.判斷函數(shù)相同例6解5.函數(shù)的圖形稱為函數(shù)f(x)的圖形。在平面上建立直角坐標(biāo)系Oxy，則xy

平面上的點(diǎn)集是否所有的函數(shù)均可繪出幾何圖形？例8狄利克雷函數(shù)就不能作出幾何圖形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德國(guó)數(shù)學(xué)家，他以出色的數(shù)學(xué)才能，以及在數(shù)論、分析和數(shù)學(xué)物理方程等領(lǐng)域的杰出成果，成為繼高斯之后與雅可比齊名的德國(guó)數(shù)學(xué)界的核心人物之一。單調(diào)性有界性奇偶性周期性二、函數(shù)的基本性質(zhì)三、基本初等函數(shù)大家在中學(xué)就已熟悉它們了！以下六種簡(jiǎn)單函數(shù)稱為基本初等函數(shù)1.常值函數(shù)

y=C

(C為常數(shù))2.冪函數(shù)y=x

(

R為常數(shù))3.指數(shù)函數(shù)y=ax

(a>0,a1)4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax

(a>0,a1)5.三角函數(shù)

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx6.反三角函數(shù)y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

y=arcsecx

y=arccscx詳情見(jiàn)書(shū)四、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)·····？如何描述1.復(fù)合函數(shù)設(shè)有映射及的每一個(gè)x所對(duì)應(yīng)的u值，都屬于f(u)的定義域Df，如果對(duì)于映射的定義域(或定義域的一部分)中那么，將代入消去u后,就有其中，u稱為中間變量。與稱之為函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)。由函數(shù)可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)函數(shù)復(fù)合后一般應(yīng)重新驗(yàn)證它的定義域例13函數(shù)復(fù)合而成?它是由以下幾個(gè)函數(shù)復(fù)合而成:例14解復(fù)合函數(shù)分解到什么時(shí)候?yàn)橹梗恳陨线^(guò)程稱為對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解分解到基本初等函數(shù)或基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算為止.是一一對(duì)應(yīng)(即映射f是一一對(duì)應(yīng)),稱f的

f的反函數(shù).只有在一一對(duì)應(yīng)的前提下才能有反函數(shù).與互為反函數(shù).2。反函數(shù)的定義自己畫(huà)一下草圖例16反函數(shù)的圖形將函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)寫(xiě)成x=f

1(y)時(shí)，函數(shù)與其反函數(shù)的圖形相同.將函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)記為y=f

1(x)時(shí)，函數(shù)y=f(x)與其反函數(shù)y=f

1(x)的圖形關(guān)于第Ⅰ、Ⅲ象限的角平分線y=x對(duì)稱。反函數(shù)的圖形例16得由由得由得解綜上所述，所求反函數(shù)為故所求反函數(shù)為求分段函數(shù)的反函數(shù)是：先求出各段上函數(shù)的反函數(shù)，然后綜合起來(lái)，得出原分段函數(shù)的反函數(shù)。增加的.定理減少減少五、初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而成的函數(shù),稱為初等函數(shù)。例如都是初等函數(shù).一般說(shuō)來(lái),分段函數(shù)不是初等函數(shù).但有個(gè)別分段函數(shù)例外，例如因?yàn)樗梢愿膶?xiě)為初等函數(shù)的形式.冪指函數(shù)是否為初等函數(shù)？它是由與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù),故該冪指函數(shù)