3.1.1 橢圓（第一課時）（精練）（解析版）

12/123.1.1橢圓【題組一橢圓的定義】1．（2020·全國高三其他（理））已知平面內(nèi)兩個定點和點，是動點，且直線,的斜率乘積為常數(shù)，設點的軌跡為.①存在常數(shù)，使上所有點到兩點距離之和為定值；②存在常數(shù)，使上所有點到兩點距離之和為定值；③不存在常數(shù)，使上所有點到兩點距離差的絕對值為定值；④不存在常數(shù)，使上所有點到兩點距離差的絕對值為定值.其中正確的命題是_______________.（填出所有正確命題的序號）【答案】②④【解析】設點P的坐標為：P（x，y），依題意，有：，整理，得：，對于①，點的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，且c＝4，a＜0，橢圓在x軸上兩頂點的距離為：2＝6，焦點為：2×4＝8，不符；對于②，點的軌跡為焦點在y軸上的橢圓，且c＝4，橢圓方程為：，則，解得：，符合；對于③，當時，，所以，存在滿足題意的實數(shù)a，③錯誤；對于④，點的軌跡為焦點在y軸上的雙曲線，即，不可能成為焦點在y軸上的雙曲線，所以，不存在滿足題意的實數(shù)a，正確.所以，正確命題的序號是②④.2．（2018·福建高二期末（理））已知△ABC的周長為20，且頂點B（0，﹣4），C（0，4），則頂點A的軌跡方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）【答案】B【解析】∵△ABC的周長為20，頂點B（0，﹣4），C（0，4），∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，∵12＞8∴點A到兩個定點的距離之和等于定值，∴點A的軌跡是橢圓，∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴橢圓的方程是故選B．3．（2020·全國高三其他（文））已知橢圓，，，點是橢圓上的一動點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知為橢圓的右焦點，設左焦點為，由橢圓的定義知，所以.又，如圖，設直線交橢圓于，兩點.當為點時，最小，最小值為.故選：B4．（2019·湖北襄陽。高二期中）橢圓的左右焦點分別為，點在橢圓上，若，則________.【答案】【解析】根據(jù)題意，橢圓，其中，，則，點在橢圓上，若，則，在△中，，，，則，則有，故答案為．5．（2020·上海高二課時練習）橢圓上一點到左焦點的距離為2，是的中點，則等于______【答案】【解析】：根據(jù)橢圓的定義：,所以,是中點，是的中點，所以．【題組二橢圓定義的運用】1．（2019·吉林省實驗高二期末（理））方程x2＋ky2＝2表示焦點在x軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程x2＋ky2＝2可變形為：，表示焦點在x軸上的橢圓，則有：，解得.易知當時，，當時未必有，所以是的充分但不必要條件.故選B.2．（2018·天津靜海一中高二期末（理））已知方程表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，且，所以或．故選D．3．（2019·福建城廂.莆田一中高二期中）“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若方程表示橢圓，則，解得：或或是的真子集，所以“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故選：B4．（2020·四川射洪中學高二期中（文））若橢圓：的一個焦點坐標為，則的長軸長為（）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】由于方程為橢圓，且焦點在軸上，所以，解得，所以，長軸長為.故選：D5．（2020·湖北江岸.武漢二中高二期末）是方程表示橢圓的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】若方程表示橢圓，則有，解得且所以是方程表示橢圓的必要不充分條件故選：B6．（2020·江西九江一中高二月考（理））方程表示橢圓的一個必要不充分條件是（）A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．m＜0【答案】A【解析】若方程表示橢圓，則m＞0且m≠4，∴m＞0是方程表示橢圓的一個必要不充分條件，故選：A7．（2019·浙江高三其他）已知p：方程表示橢圓，q：.則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若方程表示橢圓，則解得且，易知可以推出，但是不能推出，故是的充分不必要條件．故選：A.8．（2020·廣西欽州一中高三開學考試（理））設橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點分別為，，離心率為.P是C上一點，且⊥.若的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】，，由橢圓定義，，由⊥得，的面積為4，則，即，，即,解得，即，故選：C.【題組三橢圓的標準方程】1．（2020·四川青羊.樹德中學高三月考（文））已知橢圓的焦點為，．過點的直線與交于，兩點．若的周長為8，則橢圓的標準方程為（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)橢圓的定義知的周長為，∴，又，，∴，∴橢圓的標準方程為．2．（2020·四川外國語大學附屬外國語學校高一期末）過點且與有相同焦點的橢圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】橢圓，∴焦點坐標為：（，0），（-，0），c=，∵橢圓的焦點與橢圓有相同焦點設橢圓的方程為：=1，∴橢圓的半焦距c=，即a2-b2=5結合，解得：a2=15，b2=10∴橢圓的標準方程為，故選A．3．（2020·上海高二課時練習）中心在原點，焦點在軸上，焦距為8，且過點（3，0）的橢圓方程為（）.A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】因為焦距為8，所以，即又因為橢圓的焦點在軸上，且過點（3，0），所以，所以橢圓的方程為.故選：B4．（2019·山西高三開學考試（文））在平面直角坐標系xoy中，橢圓C的中心為原點，焦點、在x軸上，離心率為，過的直線l交C于A、B兩點，且的周長為16，那么C的方程為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，的周長為16，即,根據(jù)橢圓的性質(zhì)，有，即；橢圓的離心率為，即，則，故，則，則橢圓的方程為，故選：D．5．（2020·福建高二期末（文））焦點在x軸上的橢圓x24+y2A．1 B．3 C．2 D．3【答案】D【解析】焦點在x軸上的橢圓x24+y26．（2020·河北衡水中學高考模擬（文））已知橢圓的離心率為，且橢圓的長軸長與焦距之和為6，則橢圓的標準方程為A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意橢圓：的離心率為得，橢圓的長軸長與焦距之和為6，，

解得，，則，所以橢圓的標準方程為：，故選D7．（2020·海林市朝鮮族中學高三課時練習）已知橢圓過點和點，則此橢圓的方程是A． B．或C． D．以上均不正確【答案】A【解析】設經(jīng)過兩點P和點Q的橢圓標準方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），

代入A、B得，，解得，∴所求橢圓方程為+x2=1．故選A．8．（2020·全國高二課時練習）已知P為橢圓C上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，且，若|PF1|與|PF2|的等差中項為|F1F2|，則橢圓C的標準方程為()A． B．或C． D．或【答案】B【解析】由已知，∴.∵，∴.∴b2＝a2－c2＝9.故橢圓C的標準方程是或.【題組四離心率】1．點P(x，y)是橢圓(a>b>0)上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2≤90°，則該橢圓的離心率的取值范圍是()A．0<e≤ B．≤e<1C．0<e<1 D．e＝【答案】A【解析】方法一：∵點P(x，y)是橢圓上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，且∠F1PF2≤90°，∴以為直徑的圓與橢圓至多有一個公共點，∴，∴，∴，∴，∴．故選A．方法二：由題意得當點P為短軸的端點時，∠F1PF2最大，只要此時∠F1PF2≤90°即可，這時|PF1|＝|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，在△PF1F2中由余弦定理得，∴a2＋a2≥4c2，解得，∴．故選A．2．（2020·四川高三一模（理））已知橢圓的左焦點，過點作傾斜角為的直線與圓相交的弦長為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】過點傾斜角為的直線方程為：，即，則圓心到直線的距離：，由弦長公式可得：，整理可得：則：.本題選擇B選項.3．（2020·河北新華.石家莊二中）若焦點在軸上的橢圓的離心率為，則（）A．31 B．28 C．25 D．23【答案】D【解析】焦點在x軸上，所以所以離心率，所以解方程得m=23所以選D4．（2020·四川省南充市白塔中學高二月考（文））在平面直角坐標系中，已知頂點和，頂點在橢圓上，則（）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】可得：，又故橢圓的左右焦點分別為：，和是橢圓的左右焦點由頂點B在橢圓，根據(jù)橢圓的定義可得：根據(jù)正弦定理：，“角化邊”，故選：A.5．（2020·四川內(nèi)江.高二期末（理））已知橢圓的右頂點為，左焦點為，若以為直徑的圓過短軸的一個頂點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設橢圓的焦距為，則，，因為圓以為直徑，所以半徑，圓心到原點的距離為，因為以為直徑的圓過短軸的一個頂點，所以，即，化簡得，，，則，，，解得或（舍去），故選：B.10．（2020·全國高三課