最小二乘,切比雪夫,拉格朗日,牛頓,樣條差值及仿真

PAGEPAGE11第一題：曲線擬合最小二乘法和切比雪夫的相同和不同，以及適用的場合背景及意義：在很多日常生活以及科研活動中，我們需要對一些離散的點集進行擬合，使得擬合的曲線盡量多的穿過所給出的離散點，并且誤差小。從而通過擬合的函數(shù)，找出離散點的規(guī)律，以此進行進一步的研究。下面，就最小二乘法和切比雪夫兩種擬合方法進行研究和分析。1、最小二乘法它的標準是，所求得的擬合函數(shù)與給出的實際離散點之間的誤差平方和最小。公式為：其中是規(guī)定區(qū)間上的線性無關(guān)函數(shù)族，。為了使問題提法更具一般性，在各自的離散點的區(qū)間中添加權(quán)函數(shù)以表示各個離散點數(shù)據(jù)的比重不同。要想求出函數(shù)，就要求出其各階系數(shù)，轉(zhuǎn)而變成求多元函數(shù)極小點其中：取的問題。為了求取極值，其必要條件為簡化上式可得到矩陣形式其中，，要想使所求極值有唯一解，就要求非奇異。又因的組所組成向量為非奇異，則為非奇異，故而存在唯一的解使得為所求最優(yōu)解。例題：在相同離散點下用最小二乘法完成曲線擬合程序及結(jié)果如下clearall;clc;x0=1:10;y0=[1.13.59.72.69.46.55.62.16.55.9];plot(x0,y0,'o');holdon;x=1:0.1:10;holdon;q=polyfit(x0,y0,3);fori=1:length(x);y1(i)=q(4)+q(3)*x(i)+q(2)*x(i)*x(i)+q(1)*x(i)*x(i)*x(i)plot(x(i),y1(i),'*');holdon;end階次為一的時候擬合曲線階次為二的時候擬合曲線階次為三時擬合曲線分析：最小二乘法的擬合需要提前確定離散點分布情況的階次，即使是相同的離散點所擬合的多項式階次不同所得曲線會有很大差異，并且當離散點的規(guī)律超過三次多項式的時候所擬合曲線的誤差就會很大并出現(xiàn)病態(tài)問題。所以最小二乘法應(yīng)用范圍還是很有限的，只有離散點規(guī)律簡單的時候才能使用，離散點規(guī)律過于復(fù)雜用最小二乘法擬合出來的曲線誤差會非常大。2、切比雪夫切比雪夫算法是借助于牛頓差值算法（下面有提及），首先設(shè)定所求擬合曲線對于所給離散點的各階差商為h，算出擬合曲線在各個離散點上的值由牛頓公式求出：再次計算和各個離散點各階差值，檢驗是否在所給要求h的范圍內(nèi)，如果沒有達到則更換離散點值并再次計算，直到滿足要求為止。分析：切比雪夫擬合法借助于牛頓差值，使得擬合曲線各階差值在所規(guī)定的范圍內(nèi)，這樣的指標使得擬合曲線誤差很小所得擬合曲線準確。但如果擬合的曲線差值達不到要求擬合曲線還要從新計算，這使得計算起來比較繁瑣。分析其結(jié)果和牛頓法類似。在數(shù)據(jù)兩端擬合曲線的波動會變大。但次算法可以最大限度的降低龍格現(xiàn)象。和最小二乘法的比較見下面牛頓差值分析。第二題：拉格朗日差值、牛頓差值和樣條差值三種差值方法的研究與分析背景和意義：許多實際問題中我們都會用到函數(shù)來表示某種實驗規(guī)律的數(shù)據(jù)關(guān)系。然而在實驗室中我們往往只能得到一些離散點的值卻不能準確的推導(dǎo)出其實際的函數(shù)，或者我們知道他們的規(guī)律函數(shù)，但因為函數(shù)很復(fù)雜，在計算某些點的值得時候相當繁瑣困難。因此我們利用差值的方法求出一個與很接近的簡單的函數(shù)，用所求的近似的函數(shù)代替原有函數(shù)進行計算和研究就會使得工作量變小。1、拉格朗日差值（1）在給定區(qū)間中只有兩個值，階次為一時所給兩點為，求解線性差值多項式，滿足，。由此可見的幾何意義為通過所給兩點的直線。得（點斜式）或者，（兩點式）由兩點式可以看出，是由兩個線性函數(shù)，相加而得。在所給節(jié)點上，，稱為線性插值基數(shù)。（2）在給定區(qū)間有三個值，階次為二時所給三個點為，求解線性差值多項式，滿足，根據(jù)線性差值基數(shù)的性質(zhì)，有可推得：（3）在給定區(qū)間有n+1個值，階次為n時從上面的推理得其中（4）誤差計算設(shè)誤差為，又因誤差在節(jié)點上為零，則，則有上式兩邊同時求n+1階倒數(shù)則有于是得（5）程序和仿真lfun.mfunctionlfun(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0;fork=1:np=1;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endplot(x,y,’--’)（6）分析拉格朗日算法非常精細，把每個點的值都會算到其中。但是每當增加幾個點或者去除幾個誤差比較大的點的時候，公式的每一項都得從新計算，在應(yīng)用中很不簡便。拉格朗日算法雖然精細，但是在大量點集中得出的多項式中階次比較高，計算量大，雖然在所給定的點中誤差為零，但在點集的開始和結(jié)束段所擬合的曲線波動很大，數(shù)值不穩(wěn)定，使得誤差變大，一般的解決辦法是分段進行拉格朗日差值計算，使區(qū)間減小，以方便在計算中添加點或者去除點，減小誤差。2、牛頓差值（1）均差均差的公式為一階均差：二階均差：K階均差：（2）各階牛頓差值根據(jù)均差形式，我們可以得到一階牛頓差值形式為：二階差值形式為同理推得（3）誤差誤差為（4）舉例和仿真nfun1.mfunctionfx=nfun1(x0,y0,x)n=length(x0);a(1)=y0(1);fork=1:n-1d(k,1)=(y0(k+1)-y0(k))/(x0(k+1)-x0(k));endforj=2:n-1fork=1:n-jd(k,j)=(d(k+1,j-1)-d(k,j-1))/(x0(k+j)-x0(k));endendforj=2:na(j)=d(1,j-1);endDf(1)=1;c(1)=a(1);forj=2:nDf(j)=(x-x0(j-1)).*Df(j-1);c(j)=a(j).*Df(j);endfx=sum(c);（5）分析牛頓差值運用均差的方法來推斷離散點的規(guī)律，使得推算出的結(jié)果誤差小，并且在添加離散點時不用重新計算使用起來方便。但是計算量比較大。和拉格朗日算法有著相同的弊端，即在離散點的開始和末尾處所擬合的曲線誤差很大。此算法適用于離散點中間部分的差值估計，而對兩側(cè)的計算不太適合。3、樣條差值樣條差值一般取三次樣條函數(shù)就能滿足工程的需要，在定義域區(qū)間中有。因為樣條函數(shù)為三次的，所以在定義域區(qū)間內(nèi)必是連續(xù)的。設(shè)，，并且，根據(jù)朗格朗日定力，則有其中。對做兩次積分則有可以求出，得令得出令得到M的關(guān)系式為：進而，問題變?yōu)榍笕∥粗獢?shù)M的問題。在給定條件中的節(jié)點選為處的N+1個節(jié)點，所以所求未知數(shù)有N+1個，而所推導(dǎo)出的方程有N-1個。所以需要補充兩個邊界條件，安上面的推理可得出方程特別的為自然樣條的條件。此時方程可以寫為：解得。舉例和仿真yzhun.mclearall;clc;x0=1:10;y0=[1.13.59.72.69.46.55.62.16.55.9];plot(x0,y0,'o');holdon;x=1:0.1:10;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x,y)總體分析：將三種差值算法仿真曲線整合到一張圖中clearall;clc;x0=1:10;y0=[1.13.59.72.69.46.55.62.16.55.9];plot(x0,y0,'o');holdon;x=1:0.1:10;y=interp1(x0,y0,x,'spline');plot(x,y)holdon;fori=1:length(x);y(i)=nfun1(x0,y0,x(i))plot(x(i),y(i),'*');holdon;endlfun(x0,y0,x);其中‘0’代表離散點。‘-’代表樣條擬合曲線?！?’代表牛頓擬合曲線?！?-’代表拉格朗日擬合曲線。從圖中不難看出拉格朗日差值算法和牛頓差值算法基本上類似，所擬合曲線兩端誤差很大不適合進行離散點的估算。而在數(shù)據(jù)中間位置，所擬合曲線誤差較小。這兩種算法比較適合運用在階次相對較低，而運用結(jié)果在離散點中部取值的實驗中，對于兩側(cè)的數(shù)據(jù)估算就無能為力了。這兩種算法相對于最小二乘法來說嚴密很多，更適合曲線的擬合。對于樣條差值計算來說，曲線走勢很符合離散點的分布，很完整的把離散點平滑的連接起來，這對于數(shù)據(jù)研究是很關(guān)鍵的。而且就其擬合曲線的誤差來看，在離散點處誤差為零，在非離散點處誤差小于牛頓和拉格朗日差值。此算法在科學(xué)研究中更為合適。在三種差值擬合方法所得結(jié)果，樣條差值算法最為理想，其次為拉格朗日和牛頓差值。在兩種曲線擬合方法中，切比雪夫擬合比最小二乘法擬合更理想。新疆大學(xué)2013-2014學(xué)年現(xiàn)代測控技術(shù)與系統(tǒng)作業(yè)課程名稱：控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計學(xué)院：電氣工程學(xué)院專