統(tǒng)計熱力學-波爾茲曼方程課件

統(tǒng)計熱力學電教課之四§10.3玻爾茲曼方程

BoltzmannEquation第十章非平衡態(tài)統(tǒng)計簡單理論采用弛豫時間近似(Relaxationtimeapproximation),簡化碰撞貢獻計算，從而簡化玻爾茲曼積分微分方程，導出較簡便的玻爾茲曼方程.簡要討論其應用．BoltzmannEquationViscousPhenomenonofGasesElectricconductivityofMetals

統(tǒng)計熱力學電教課之四§10.3玻爾茲曼方程第十章1統(tǒng)計熱力學電教課之四1．玻爾茲曼方程

BoltzmannEquation系統(tǒng)未達平衡態(tài)，其局部可（近似）達平衡——局域平衡．f(0)——局域平衡的麥氏分布（與平衡部分整體運動有關）．各局域平衡部分通過碰撞相互影響，最后趨向大平衡：一致的f(0)．過程是緩慢的，可近似認為u0、v0、w0——整體運動速度三分量

統(tǒng)計熱力學電教課之四1．玻爾茲曼方程過程是緩慢的，可近似認為2統(tǒng)計熱力學電教課之四Boltzmann的弛豫時間法——設想分布函數時間變化率的碰撞貢獻項與f對平衡分布f(0)的偏離成正比：τ——

弛豫時間Boltzmann積分微分方程求解困難，應簡化之統(tǒng)計熱力學電教課之四Boltzmann的弛豫時間法τ——3統(tǒng)計熱力學電教課之四注意到f(0)/t≈0，有經τ0時間，分布函數對平衡值偏離減至最初的1/e粗略認為：τ0——恢復平衡所需時間．

一般τ0與速度有關，進一步化簡，假定為常數．τ0與兩次碰撞間平均時間（頻率之倒數）同量級．弛豫時間τ0的物理意義：統(tǒng)計熱力學電教課之四注意到f(0)/t≈0，有4統(tǒng)計熱力學電教課之四玻爾茲曼積分微分方程成為——Boltzmann方程穩(wěn)恒態(tài)（steadystate）

——亦稱Boltzmann方程**在不均勻、有外場條件下，細致平衡原理仍正確。細致平衡時，漂移貢獻各部分相消而為零．在漂移貢獻非零時，雖細致平衡條件不滿足，但分布不變——穩(wěn)恒態(tài)，漂移與碰撞貢獻相互抵消．

統(tǒng)計熱力學電教課之四玻爾茲曼積分微分方程成為——Boltzm5統(tǒng)計熱力學電教課之四2．氣體粘滯現象ViscousPhenomenonofGases

u0=

w0=0,

v0=v0

(x)沿x方向有梯度(圖)

以平面x=x0為界x>x0正方；x

<

x0反方Newton粘滯定律單位面積正方作用于負方的脅強（沿y方的力）η——粘滯系數

統(tǒng)計熱力學電教課之四2．氣體粘滯現象u0=w0=0,6統(tǒng)計熱力學電教課之四粘滯力的微觀機制：分子交流使動量傳遞不均衡，表現為粘滯力單位時間由正方“跑入”負方的分子數dΓ=–fudv攜帶動量（沿y方）–mvfudv正方傳給負方的總動量（沿y方）負方傳給正方的總動量（沿y方）相減得統(tǒng)計熱力學電教課之四粘滯力的微觀機制：單位時間由正方“跑入”7統(tǒng)計熱力學電教課之四穩(wěn)恒態(tài)代入Boltzmann方程（為簡單，考慮無外場情形）有速度梯度不大，設解出f（1）代入統(tǒng)計熱力學電教課之四穩(wěn)恒態(tài)代入Boltzmann方程（為簡單8統(tǒng)計熱力學電教課之四代入脅強的公式得與粘滯定律比較與實驗吻合統(tǒng)計熱力學電教課之四代入脅強的公式得與粘滯定律比較與實驗吻9統(tǒng)計熱力學電教課之四3．金屬電導率ElectricconductivityofMetals恒定均勻電場中的金屬中電子的輸運問題設電場沿z

方向，場強εz根據歐姆定律

σ——Electricconductivity統(tǒng)計熱力學電教課之四3．金屬電導率恒定均勻電場中的金屬中電子10統(tǒng)計熱力學電教課之四電子電荷–e,質量m,自旋1/2,速度dv內、單位體積中的電子數電流密度

費密函數無外場、平衡態(tài)J=0，無電流

統(tǒng)計熱力學電教課之四電子電荷–e,電流密度費密函數11統(tǒng)計熱力學電教課之四有外場，穩(wěn)恒態(tài)時，假定?不隨坐標變化εz對電子單位質量的力

電流密度成為類粘滯力問題統(tǒng)計熱力學電教課之四有外場，穩(wěn)恒態(tài)時，假定?不隨坐標變化ε12統(tǒng)計熱力學電教課之四完成積分對比Ohm’s定律得電導率

離子位移q用能均分估

高溫時與實驗相符需求弛豫時間，半定量分析與溫度無關，但與離子振動相關統(tǒng)計熱力學電教課之四完成積分對比Ohm’s定律得電導率離子13統(tǒng)計熱力學電教課之四R/(R290)42

10T鉀的不同純度樣品之電阻R

TC

T水銀超導習題：9.3

統(tǒng)計熱力學電教課之四R/(R290)鉀的不同純度樣品之電阻R14統(tǒng)計熱力學電教課之四forhisinvestigationsonthepropertiesofmatteratlowtemperatureswhichled,interalia,totheproductionofliquidhelium"TheNobelPrizeinPhysics1913HeikeKamerlinghOnnestheNetherlandsLeidenUniversity

Leiden,theNetherlandsb.1853

d.1926

TheNobelPrizeinPhysics1972"fortheirjointlydevelopedtheoryofsuperconductivity,usuallycalledtheBCS-theory"

JohnBardeenLeonNeilCooperJohnRobertSchrieffer

1/3oftheprize

1/3oftheprize

1/3oftheprizeUSAUSAUSAUniversityofIllinois

Urbana,IL,USABrownUniversity

Providence,RI,USAUniversityofPennsylvania

Philadelphia,PA,USAb.1908

d.1991b.1930b.1931

TheNobelPrizeinPhysics1987"fortheirimportantbreak-throughinthediscoveryofsuperconductivityinceramicmaterials"

J.GeorgBednorzK.AlexanderMüller

1/2oftheprize

1/2oftheprizeFederalRepublicofGermanySwitzerlandIBMZurichResearchLaboratory

Rüschlikon,SwitzerlandIBMZurichResearchLaboratory

Rüschlikon,Switzerlandb.1950b.1927統(tǒng)計熱力學電教課之四forhisinvestigatio15統(tǒng)計熱力學電教課之四TheEndoftheStatisticalThermodynamics統(tǒng)計熱力學全課結束

統(tǒng)計物理歌

赤橙黃綠紫靛藍，瞬息多變唯象觀；宏觀微觀百類奇，系綜理論一線穿；絕熱杜功系孤立，微正系綜態(tài)平權；統(tǒng)計物理汝為本，熱學規(guī)律爾作源；正則系綜封閉系，負能貝塔指數肩；配分函數囊百寶，對數求導解萬難；量子經典君可辨，漲落一曲盡開顏。

統(tǒng)計熱力學電教課之四TheEnd16統(tǒng)計熱力學電教課之三統(tǒng)計熱力學要點

系綜理論——主線基礎——微正則系綜

*重點——正則系綜外延——巨正則系綜

*核心——配分函數熱力學函數和關系——應用

*直接計算函數、漲落

*導出熱力學—平衡態(tài)性質、相平衡非平衡態(tài)和連續(xù)相變（了解）*——應用統(tǒng)計熱力學電教課之三統(tǒng)計熱力學要點系綜理論——主線17

一、微觀狀態(tài)的描述

單粒子態(tài)（自由粒子、諧振子、自旋）：量子描述→經典描述(μ空間的狀態(tài)數)多粒子態(tài)：全同性（B.E.、F.D.、M.B.）→經典。要求：掌握微觀態(tài)描述方法，以及量子向經典過度的條件和方法統(tǒng)計熱力學電教課之四一、微觀狀態(tài)的描述統(tǒng)計熱力學電教課之四18統(tǒng)計熱力學電教課之四

二、微正則系綜（孤立系）統(tǒng)計規(guī)律及描述：基本原理（統(tǒng)計平均）→概率分布→系綜微正則系綜：等幾率假設→溫度→內能→熱一→熱二要求：理解微正則系綜熟悉熱力學定律統(tǒng)計熱力學電教課之四二、微正則系綜（孤立系）19統(tǒng)計熱力學電教課之四

＊三、封閉系的正則系綜正則分布：量子→經典、配分函數、熱力學公式、熱力學函數、漲落麥—玻分布:正則麥玻、量子→經典、粒子配分函數、熱力學量、能均分定理應用：能均分、肖脫基缺陷、二能態(tài)與負溫度要求：掌握基本概念和推導，計算有關問題統(tǒng)計熱力學電教課之四＊三、封閉系的正則系綜20統(tǒng)計熱力學電教課之四

＊四、均勻物質熱力學麥氏關系：概念、導出和互導、求重要熱力學關系基本熱力學函數：概念、計算方法*特性函數：概念、推導、計算、運用應用：磁介質*，焦-湯效應*要求：熟練運用麥氏關系證明熱力學關系，能計算特性函數并求其它熱力學函數統(tǒng)計熱力學電教課之四＊四、均勻物質熱力學21統(tǒng)計熱力學電教課之四五、理想氣體

*單原子分子理想氣體的熱力學函數

*雙原子分子理想氣體的熱力學函數要求：用正則分布計算理想氣體熱力學函數統(tǒng)計熱力學電教課之四五、理想氣體22統(tǒng)計熱力學電教課之四

六、開放系巨正則分布巨配分函數、氣體熱力學函數、粒子數漲落*

*復相平衡平衡條件和判據、相圖*、水滴*要求：巨正則分布計算必要的熱力學函數掌握熱平衡條件和判據及簡單計算統(tǒng)計熱力學電教課之四六、開放系23統(tǒng)計熱力學電教課之四

*七、量子統(tǒng)計法量子統(tǒng)計法玻色、費米和玻爾茲曼分布、熱力學公式、漲落應用：零溫電子氣、光子氣內能、玻色凝結*、固體比熱*要求：熟悉各種量子統(tǒng)計法較簡單量子系統(tǒng)的計算與討論統(tǒng)計熱力學電教課之四*七、量子統(tǒng)計法24統(tǒng)計熱力學電教課之四八、漲落的準熱力學理論要求：用準熱力學方法計算簡單的漲落，布朗運動理論主要內容*九、輸運過程理論*要求：導出H定理，由Boltzmann方程求電導率，粘滯系數十、相圖和氣液相變*要求：了解圖，知道概念統(tǒng)計熱力學電教課之四八、漲落的準熱力學理論25統(tǒng)計熱力學電教課之四考試復習注意系統(tǒng)復習、悉心體會、梳理總結——厚書變薄書；注重物理，掌握基本概念、基本方法、基本運算，用基本能力獲得基本的分數；在三個“基本”基礎上，深化認識，擴展涉獵面，提高處理問題應變能力，取得優(yōu)異成績。統(tǒng)計熱力學電教課之四考試復習注意26謝

謝！謝謝！27統(tǒng)計熱力學電教課之四§10.3玻爾茲曼方程

BoltzmannEquation第十章非平衡態(tài)統(tǒng)計簡單理論采用弛豫時間近似(Relaxationtimeapproximation),簡化碰撞貢獻計算，從而簡化玻爾茲曼積分微分方程，導出較簡便的玻爾茲曼方程.簡要討論其應用．BoltzmannEquationViscousPhenomenonofGasesElectricconductivityofMetals

統(tǒng)計熱力學電教課之四§10.3玻爾茲曼方程第十章28統(tǒng)計熱力學電教課之四1．玻爾茲曼方程

BoltzmannEquation系統(tǒng)未達平衡態(tài)，其局部可（近似）達平衡——局域平衡．f(0)——局域平衡的麥氏分布（與平衡部分整體運動有關）．各局域平衡部分通過碰撞相互影響，最后趨向大平衡：一致的f(0)．過程是緩慢的，可近似認為u0、v0、w0——整體運動速度三分量

統(tǒng)計熱力學電教課之四1．玻爾茲曼方程過程是緩慢的，可近似認為29統(tǒng)計熱力學電教課之四Boltzmann的弛豫時間法——設想分布函數時間變化率的碰撞貢獻項與f對平衡分布f(0)的偏離成正比：τ——

弛豫時間Boltzmann積分微分方程求解困難，應簡化之統(tǒng)計熱力學電教課之四Boltzmann的弛豫時間法τ——30統(tǒng)計熱力學電教課之四注意到f(0)/t≈0，有經τ0時間，分布函數對平衡值偏離減至最初的1/e粗略認為：τ0——恢復平衡所需時間．

一般τ0與速度有關，進一步化簡，假定為常數．τ0與兩次碰撞間平均時間（頻率之倒數）同量級．弛豫時間τ0的物理意義：統(tǒng)計熱力學電教課之四注意到f(0)/t≈0，有31統(tǒng)計熱力學電教課之四玻爾茲曼積分微分方程成為——Boltzmann方程穩(wěn)恒態(tài)（steadystate）

——亦稱Boltzmann方程**在不均勻、有外場條件下，細致平衡原理仍正確。細致平衡時，漂移貢獻各部分相消而為零．在漂移貢獻非零時，雖細致平衡條件不滿足，但分布不變——穩(wěn)恒態(tài)，漂移與碰撞貢獻相互抵消．

統(tǒng)計熱力學電教課之四玻爾茲曼積分微分方程成為——Boltzm32統(tǒng)計熱力學電教課之四2．氣體粘滯現象ViscousPhenomenonofGases

u0=

w0=0,

v0=v0

(x)沿x方向有梯度(圖)

以平面x=x0為界x>x0正方；x

<

x0反方Newton粘滯定律單位面積正方作用于負方的脅強（沿y方的力）η——粘滯系數

統(tǒng)計熱力學電教課之四2．氣體粘滯現象u0=w0=0,33統(tǒng)計熱力學電教課之四粘滯力的微觀機制：分子交流使動量傳遞不均衡，表現為粘滯力單位時間由正方“跑入”負方的分子數dΓ=–fudv攜帶動量（沿y方）–mvfudv正方傳給負方的總動量（沿y方）負方傳給正方的總動量（沿y方）相減得統(tǒng)計熱力學電教課之四粘滯力的微觀機制：單位時間由正方“跑入”34統(tǒng)計熱力學電教課之四穩(wěn)恒態(tài)代入Boltzmann方程（為簡單，考慮無外場情形）有速度梯度不大，設解出f（1）代入統(tǒng)計熱力學電教課之四穩(wěn)恒態(tài)代入Boltzmann方程（為簡單35統(tǒng)計熱力學電教課之四代入脅強的公式得與粘滯定律比較與實驗吻合統(tǒng)計熱力學電教課之四代入脅強的公式得與粘滯定律比較與實驗吻36統(tǒng)計熱力學電教課之四3．金屬電導率ElectricconductivityofMetals恒定均勻電場中的金屬中電子的輸運問題設電場沿z

方向，場強εz根據歐姆定律

σ——Electricconductivity統(tǒng)計熱力學電教課之四3．金屬電導率恒定均勻電場中的金屬中電子37統(tǒng)計熱力學電教課之四電子電荷–e,質量m,自旋1/2,速度dv內、單位體積中的電子數電流密度

費密函數無外場、平衡態(tài)J=0，無電流

統(tǒng)計熱力學電教課之四電子電荷–e,電流密度費密函數38統(tǒng)計熱力學電教課之四有外場，穩(wěn)恒態(tài)時，假定?不隨坐標變化εz對電子單位質量的力

電流密度成為類粘滯力問題統(tǒng)計熱力學電教課之四有外場，穩(wěn)恒態(tài)時，假定?不隨坐標變化ε39統(tǒng)計熱力學電教課之四完成積分對比Ohm’s定律得電導率

離子位移q用能均分估

高溫時與實驗相符需求弛豫時間，半定量分析與溫度無關，但與離子振動相關統(tǒng)計熱力學電教課之四完成積分對比Ohm’s定律得電導率離子40統(tǒng)計熱力學電教課之四R/(R290)42

10T鉀的不同純度樣品之電阻R

TC

T水銀超導習題：9.3

統(tǒng)計熱力學電教課之四R/(R290)鉀的不同純度樣品之電阻R41統(tǒng)計熱力學電教課之四forhisinvestigationsonthepropertiesofmatteratlowtemperatureswhichled,interalia,totheproductionofliquidhelium"TheNobelPrizeinPhysics1913HeikeKamerlinghOnnestheNetherlandsLeidenUniversity

Leiden,theNetherlandsb.1853

d.1926

TheNobelPrizeinPhysics1972"fortheirjointlydevelopedtheoryofsuperconductivity,usuallycalledtheBCS-theory"

JohnBardeenLeonNeilCooperJohnRobertSchrieffer

1/3oftheprize

1/3oftheprize

1/3oftheprizeUSAUSAUSAUniversityofIllinois

Urbana,IL,USABrownUniversity

Providence,RI,USAUniversityofPennsylvania

Philadelphia,PA,USAb.1908

d.1991b.1930b.1931

TheNobelPrizeinPhysics1987"fortheirimportantbreak-throughinthediscoveryofsuperconductivityinceramicmaterials"

J.GeorgBednorzK.AlexanderMüller

1/2oftheprize

1/2oftheprizeFederalRepublicofGermanySwitzerlandIBMZurichResearchLaboratory

Rüschlikon,SwitzerlandIBMZurichResearchLaboratory

Rüschlikon,Switzerlandb.1950b.1927統(tǒng)計熱力學電教課之四forhisinvestigatio42統(tǒng)計熱力學電教課之四TheEndoftheStatisticalThermodynamics統(tǒng)計熱力學全課結束

統(tǒng)計物理歌

赤橙黃綠紫靛藍，瞬息多變唯象觀；宏觀微觀百類奇，系綜理論一線穿；絕熱杜功系孤立，微正系綜態(tài)平權；統(tǒng)計物理汝為本，熱學規(guī)律爾作源；正則系綜封閉系，負能貝塔指數肩；配分函數囊百寶，對數求導解萬難；量子經典君可辨，漲落一曲盡開顏。

統(tǒng)計熱力學電教課之四TheEnd43統(tǒng)計熱力學電教課之三統(tǒng)計熱力學要點

系綜理論——主線基礎——微正則系綜

*重點——正則系綜外延——巨正則系綜

*核心——配分函數熱力學函數和關系——應用

*直接計算函數、漲落

*導出熱力學—平衡態(tài)性質、相平衡非平衡態(tài)和連續(xù)相變（了解）*——應用統(tǒng)計熱力學電教課之三統(tǒng)計熱力學要點系綜理論——主線44

一、微觀狀態(tài)的描述

單粒子態(tài)（自由粒子、諧振子、自旋）：量子描述→經典描述(μ空間的狀態(tài)數)多粒子態(tài)：全同性（B.E.、F.D.、M.B.）→經典。要求：掌握微觀態(tài)描述方法，以及量子向經典過度的條件和方法統(tǒng)計熱力學電教課之四一、微觀狀態(tài)的描述統(tǒng)計熱力學電教課之四45統(tǒng)計熱力學電教課之四

二、微正則系綜（孤立系）統(tǒng)計規(guī)律及描述：基本原理（統(tǒng)計平均）→概率分布→系綜微正則系綜：等幾率假設→溫度→內能→熱一→熱二要求：理解微正則系綜熟悉熱力學定律統(tǒng)計熱力學電