構(gòu)造函數(shù)常見方法（精講） 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng) 提升精講精練 （含答案解析）

4.4構(gòu)造函數(shù)常見方法（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一直接型【例1】（2022·青海玉樹）定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，若，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，則在R上單減，又等價(jià)于，即，由單調(diào)性得，解得.故選：B.【一隅三反】1．（2021·漠河市高級(jí)中學(xué)）已知是定義在上的奇函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)且在上，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則又上，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，又是定義在上的奇函數(shù)，則函數(shù)為上的奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，又，即可得：，解得：故選：B.2（2022年廣東潮州）已知是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以=xf(x)=F(x)，所以F(x)為偶函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，x＞0時(shí)，函數(shù)F(x)單調(diào)遞增，因?yàn)閒(-1)=0,所以F(-1)=(-1)f(-1)=0.F(1)=0.因?yàn)閒(x)＞0，所以，所以，所以x＞1或-1＜x＜0.故選：B3.（2022·貴州）已知,均是定義在R上的函數(shù)，且，當(dāng)時(shí),，且，則不等式的解集是（）A．(－1，0)∪(1，+∞) B．(－1，0)∪(0，1)C．(－∞，－1)∪(1，+∞) D．(－∞，－1)∪(0，1)【答案】D【解析】，,分別為奇函數(shù)偶函數(shù).構(gòu)造新函數(shù)則為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，遞增.當(dāng)時(shí)，遞增，故答案選D4．（2022·全國高三）函數(shù)是定義在上的函數(shù)，且為的導(dǎo)函數(shù)，若，則不等式的解集是________．【答案】【解析】由題意可知在單調(diào)遞增，又，時(shí)，時(shí)，；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，，不等式不成立；當(dāng)時(shí)，，且，不等式成立.綜上不等式的解集為.故答案為：考點(diǎn)二加乘型【例2-1】（2022·陜西榆林·三模）已知是定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，則是增函數(shù)，故，即，可得.故選：D【例2-2】（江蘇省淮安市2022屆高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，則，則A錯(cuò)誤；令，則，當(dāng)時(shí)，由，，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域?yàn)镽，∴為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，，故B錯(cuò)誤；，，故C正確；由題意，不妨假設(shè)(c為常數(shù))符合題意，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：C.【一隅三反】1．（2022·河南）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是，且．若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，且，因?yàn)?，由可得，即，解?故選：B.2．（2022·遼寧·大連二十四中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若且，則有（

）A．可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù) B．C．時(shí)， D．【答案】D【解析】若是奇函數(shù)，則，又因?yàn)?，與矛盾，所有函數(shù)不可能時(shí)奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；令，則，因?yàn)?，，所以，所以函?shù)為增函數(shù)，所以，即，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，，所以，故，即，所以，故C錯(cuò)誤；有，即，故D正確.故選：D.3．（2022·河南濮陽）已知函數(shù)為定義域在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)滿足，，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可知，當(dāng)時(shí)，．令，則，，令，，令，解得．可知函數(shù)在上單調(diào)遞減﹐在上單調(diào)遞增．又，所以，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，可化為，又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故或，所以不等式的解集為．故選：A考點(diǎn)三減除型【例3-1】（浙江省紹興市新昌中學(xué)2022屆）若定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題可設(shè)，因?yàn)椋瑒t，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，不等式可轉(zhuǎn)化為，∴，所以，解得，所以不等式的解集為．故選：A.【例3-2】（山東省泰安肥城市2022屆）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對(duì)任意恒成立.若，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，即，即，即對(duì)恒成立，令，則在上單調(diào)遞增，∵，∴，由即，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，∴故選：B.【一隅三反】1．（河南省部分學(xué)校2022屆）已知是定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則在R上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，即，所以，則A錯(cuò)誤；因?yàn)?，的大小不能確定，所以，的大小不能確定，則B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，則，所以，則C正確；因?yàn)?，的大小不能確定，所以，不能確定，則D錯(cuò)誤.故選:C2．（河南省多校聯(lián)盟2022）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)，所以，因?yàn)椋?，即，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，因?yàn)?，整理得，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以.故選：C.3．（西藏自治區(qū)拉薩中學(xué)2022屆）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.由于是奇函數(shù)，所以,是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.所以當(dāng)或時(shí)，.故選：B.考點(diǎn)四三角函數(shù)型【例4】（2022·湖北）奇函數(shù)定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是.當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于x的不等式的解集為（）A．（，π） B．C． D．【答案】D【解析】令，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在(內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式可化為，即，所以；當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的不等式可化為，即因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，故，也即所以，即，所以，．綜上，原不等式的解集.故選：D．【一隅三反】1．（2021·江西鷹潭市）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)是．當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，∴，∵當(dāng)時(shí)，，∴，∴在上單調(diào)遞減，∵是定義在上的奇函數(shù)，故，∴是定義在上的偶函數(shù)．∴在上單調(diào)遞增．①當(dāng)時(shí)，，則不等式可轉(zhuǎn)化為，即，∴，故．②當(dāng)時(shí)，，則不等式可轉(zhuǎn)化為，即，∴，故．不等式的解集為．故選：D．2．（2022·湖北）已知函數(shù)滿足：，，且.若角滿足不等式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令因?yàn)?，所以為R上的單調(diào)減函數(shù)，又因?yàn)?，所以，即，即，所以函?shù)為奇函數(shù)，故，即為，化簡得，即，即，由單調(diào)性有，解得，故選:B.3（2021·全國高三月考）定義在上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且成立，則下列各式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題可得，所以，設(shè)則，所以在上單調(diào)遞減，且由可得，所以，，所以選項(xiàng)A?B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確.把代入，可得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.考點(diǎn)五題意型【例5-1】（河南省平頂山市汝州市2022屆）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，則，，所以最小，又由，因?yàn)椋?，所以，綜上可得：.故選：D.【例5-2】（浙江省溫州市樂清市知臨中學(xué)2022屆）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，對(duì)于A選項(xiàng)，，則，即，所以，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，即，所以，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，即，所以，，所以，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，即，所以，，D錯(cuò)誤.故選：B.【一隅三反】1．（2022·山西·一模（理））設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，則，即，即，所以，，因?yàn)?，故，即，即，因此?故選：D.2．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.3．（2022·浙江·樂清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測）下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增