行列式的性質及應用論文范文

華北水利水電學院行列式的性質及應用課程名稱：線性代數(shù)專業(yè)班級：成員組成：聯(lián)系方式:2012年11月05日

摘要：行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內容之一，在數(shù)學中有著廣泛的應用,懂得如何計算行列式顯得尤為重要。本文先闡述行列式的基本性質，然后介紹各種具體的方法，最后由行列式與其它知識的聯(lián)系介紹其它幾種方法.通過這一系列的方法進一步提高我們對行列式的認識，對我們以后的學習帶來十分有益的幫助.關鍵詞：遞推法行列式三角化法公式法數(shù)學歸納法英文題目:DeterminantalpropertiesandapplicationAbstract:Determinantisanbasicandimportantsubjectinadvancedalgebra，itisveryusefulinmathematicoItisveryimportanttoknowhowtocalculatedeterminant.Thepaperfirstintroducedthebasicnatureofdeterminant,thenintroducedsomemethods,Finally,withtheotherdeterminantofknowledgeonthelinksinseveralotherways.,throughthisseriesofmethodswillfutherenhanceourunderstandingofthedeterminat，onourlearningwillbringveryusefulhelpoKeywords:RecurrencemethodDeterminanttriangularizationmethodformulamethodmathematicalinduction正文：1引言：問題的提出在實踐中存在許多解n元一次方程組的問題，如ax+ax-b①〈U11221ax+ax-b2112222ax+axHbax-b11221nn1ax+axHbax—b12222nn2ax+axHbax—bn11n22nnnn運用行列式可以解決如②的n元一次方程組的問題。22.1排列定義1由1.2……n組成的一個有序數(shù)組稱為一個n級排列。n級排列的總數(shù)為n-(n-1)-(n-2)2?1-n!(n的階乘個)。定義2在一個排列中，如果一隊數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個逆序.一個排列中逆序的總數(shù)就稱為這個排列的逆序數(shù).aa???a11121naaa21222n?????????aaan1n2nnn階行列式2.2行列式定義（設為n階行列式2.2行列式定義（設為n階）:Z(—1gjj2jn)aa???a1j12j2njnj1j2jn

是取自不同行不同列的n個元素的乘積的代數(shù)和，它由〃!項組成，其中帶正號與帶負號的項各占一半,t（jj...j）表示排列jj…j的逆序數(shù)。12n12n2。3n階行列式具有的性質性質1行列式與它的轉置行列式相等.（DT=D）事實上，若記D事實上，若記Dt=則b廠=a(i,j=1,2,...,n)bn1bn2???bnnnpn...Dt=E(-1)1(p1p2…pn)bpbp..?b=Z(-1)^(p1p2"pn)aa…。npn說明:行列式中行與列具有同等的地位，因此行列式的性質凡是對行成立的結論，對列也同樣成立.，性質2互換行列式的兩行（,一r）或兩列（c—c），行列式變號.ijij123123例如086=—351351086推論若行列式D有兩行（列）完全相同，則D=0。證明：互換相同的兩行，則有D=-D，所以D=0。，性質3行列式某一行（列）的所有元素都乘以數(shù)k，等于數(shù)k乘以此行列式,即aa…aaa???a11121n11121n????????????????????kaka…ka=kaa???ai1i2ini1i2in????????????????????aa…aaa-?-an1n2nnn1n2nn推論:（1）D中某一行（列）所有元素的公因子可提到行列式符號的外面；（2）D中某一行（列）所有元素為零，則D=0；性質4：行列式中如果有兩行（列）元素對應成比例，則此行列式等于零.性質5：若行列式某一行（列）的所有元素都是兩個數(shù)的和，則此行列式等于兩個行列式的和。這兩個行列式的這一行（列）的元素分別為對應的兩個加數(shù)之一，其余各行（列）的元素與原行列式相同。即

aa…?????????a1n???a11???a…aa11???a12…a1na+ba+b???氣.+"in、???ai1???a…ai2in?????????+bi1bi2???…bn.??????aa…n1n2annan1a??-an2nnan1an2…ann證:由行列式定義D二衛(wèi)(—I"?…P)ai上p???(a+b)???a/卬n二：1(叫(叩2：婦aa1P12P2???a-?-aip.npin+z(T"(p1p2"n)a1P1a2p2???bp???a.npn，性質6行列式D的某一行（列）的各元素都乘以同一數(shù)k加到另一行（列）的相應元素上，r+kr.行列式的值不變（D1=JD），即aa???aaa???a11121n11121n????????????????????????aa???ari+krj.7.7.7=Ja+kaa+ka…a+kai1i2ini1J1i2J2inJn????????????????????????aa??-aaa??-an1n2nnn1n2nn計算行列式常用方法：利用性質2,3,6，特別是性質6把行列式化為上（下）三角形行列式，從而，較容易的計算行列式的值.2.4行列式的計算2.4。1數(shù)字型行列式的計算1.三角化法abb…bbab…b例1計算n階行列式D二bba…b......?????bbb…a解：這個行列式的特點是每行（列）元素的和均相等，根據(jù)行列式的性質，把第2,3,…，n列都加到第1列上，行列式不變，得a+(n-1)bbb…b1bb…ba+(n-1)bab…b1ab…bD=a+(n-1)bba…b--[a+(n-1)b]1ba…b………………a+(n-1)bbb…a1bb…a

10a=la+(n-1)b-0…0b-b0…0b…0…a—b………0…b00…a-b=[a+(n-1)b](a-b)n-1].1-12-31-33-79-5例2計算行列式D=204-21.3-57-1464-410-102（2）+3（1（2）+3（1）1-12-311-12-3100-10-2()()0204-10204-12令3-00-10-20-21-530-21-530022-20022-2（3）-2（1）（4）-3（1）（5）-4（1）1-12-31(,)(c)1-12-310204-1(4)+(3)0304-1(5)+2(3)00-10-2—00-10-2001-12000-100022-20002-6(4)+(2)1-12-31(5)+2(4)0204-1—0010-22.000-100000-6=-1?2(-1)(-1)(-6)=12.2.遞推法1-aa-11—aa例3計算行列式D=-11-a-1a之值.1-aa解把各列均加至第1列，并按第1列展開，得到遞推公式

1a1-aaD=—11—aa=D—a(—1)5+1a454—11—aa—11—a繼續(xù)使用這個遞推公式，有D=D+a4D=D—a34332而初始值D=1-a+a2,所以D二1—a+a2—a3+a4—a525axx…xyax…x例4計算Dn=yyaxo?…?…..?yyy…a解:a—yxx…xyxxx0axxyax…xD=n0y……ax…+y…y…a……x…0yy…ayyy…a100…01a—x0…0=(a—y)Dn—1+y1…y…xa—x………0???1y—xy—x…a—x=(a—y)D+y(a—x)n—1.n—1同理D=(a—x)Dnn—1+x(a一y)n—1,聯(lián)立解得x(a—y)n—y(a—x)nD=,(x豐y)nx—y

D=(a-x)D+x(a-x)n-1=(a-x)2D+2x(a-x)n-1==(a-x)n-2D+(n-2)x(a-x)n-1=(a-x)n-1[a+(n-1)x]23.數(shù)學歸納法當D^與D^1是同型的行列式時，可考慮用數(shù)學歸納法求之。一般是利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學歸納法給出猜想的證明。因此，數(shù)學歸納法一般是用來證明行列式等式.x0-1x0-1……0000D:=……………000…x-1anan一2an-3…a2a+x例5計算行列式解：結合行列式的性質與次行列式本身的規(guī)律，可以采用數(shù)學歸納法對此行列式進行求x(x+a)+a-x2+ax+a212假設n=k時，有D=xk+axk-1+axk-2hfax+a則當n=k+1時，把氣1按第一列展開’得Dk1=xD^+ak+1x(xk+axk-11+axk-2++ax+a)+a2k-1kk+1=xk+1+axk+—+ax2+ax+a由此，對任意的正整數(shù)n，有D=xn+axn-1+ax2+?--+ax+a4.公式法abcd例6計算行列式A|=-b-cad-dac-b之值。-d-cba解由于AAr=(a2+b2+C2+d2)E,故用行列式乘法公式，得

\A|2=|A|?|At=\AAt^=(a2+b2+c2+d2)4因|A|中,a4系數(shù)是+1,所以|A|=(a2+b2+c2+d2)2.2行列式的概念與性質的例題例7已知aaaaaa是6階行列式中的一項,試確定i,j的值及此項所帶的符號.2331ij645615解根據(jù)行列式的定義，它是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和。因此，行指標2,3,i,6,5,1應取自1至6的排列，故i=4，同理可知j=2。直接計算行的逆序數(shù)與列的逆序數(shù)，有c(2,3,4,6,5,1)+c(3,1,2,4,6,5)=6+3=9。亦知此項應帶負號.2.4。3抽象行列式的計算例8若4階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為j,1,1,1,則行列式B-1-E=().2345解由A?B，知B的特征值是i,1,1,1.那么B-1的特征值是2,3,4,5.于是B-1-E的特2345征值是1，2，3,4。有公式得，|B-1-E=24。2.4.4含參數(shù)行列式的計算例9已知D=1-1=(x-2)=(x-2)(x2-9x+18)解將第3行的-1=(x-2)=(x-2)(x2-9x+18)x—202—x10-1100D=1x-51=(x-2)1x—51=(x-2)1x—52-11x—3-11x—3-11x-4所以x=2,x=3,x=6。2。4.5關于|A|=0的證明解題思路：①設證法|A|=-1A|

反證法：如|A|。0從A可逆找矛盾；構造齊次方程組Ax=0,設法證明它有非零解;④設法證矩陣的秩r(A)<n；⑤證明0是矩陣A的一個特征值。例10計算行列式|A|=x例10計算行列式|A|=x（x一1）i1X2（X—1）11111...1aaa…a123n定義：行列式d=a2a2a2…a2稱為n級的范德蒙行列式。.1...2..In??????an-11an-22an-33??-an-1nx2（x2-1）X3（X3-1）之值.X2（X—1）X2（X—1）233解把1改寫成工廠3廠1)，第一行成為兩數(shù)之和，|A|可拆成兩個行列式之和,即AI=x1x（AI=x1x（x一1）11x2（x一1）11x2x（x一1）22x2（x一1）22x3x（x一1）3x2（x一1）33-（x-1）1x（x一1）11x2（x一1）11-（x-1）2x（x一1）22x2（x一1）22-（x-1）3x（x一1）33x2（x一1）33分別記這兩個行列式為|司和|。，則由范德蒙行列式得，x—1x—1x—1123x2一xx2一xx2一x11=xxxx1x21xx23x2x223nx.=xxxx1x21xx23x2x223nx.n（x—x）i=11<j<i<3問=_n（x—1）.n（x—x）i=11<j<i<3故Ai=n（x—x』nx.—H（x—1）］1<j<i<3i=1i=12。4.7拉普拉斯定理設在行列式D中任意取定了k(1<k<n-1)個行，由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。（其中:①k級子式：在一個n級行列式D中任意選定k行k列（k<n）。位于這些行和列的交點上的k2個元素按照原來的次序組成一個k級行列式M，稱為行列式D的一個k級子式。②余子式：在D中劃去這k行k列后余下的元素按照原來的次序組成的n-k級行列式M'稱為k級子式M的余子式.③代數(shù)余子式：設D的k級子式M在D中所在的行、列指標分別是i,i；j,j，…j.則M的余子式M'前面加上符號（-1）（?+匕++L+jk）后TOC\o"1-5"\h\z12k12k稱為M的代數(shù)余子式）。12140-121例11求行列式D二1013.0131解：在行列式D中取定第一、二行，得到六個子式:M1=102-1,M2=1012,M=31041,M4=2-112,M5=2-141,M=61241它們對應的代數(shù)余子式為TOC\o"1-5"\h\zA=(-1)(1+2)+(1+2)M'=M',A=(-1)(1+2)+(1+3)M'=-M',111222A=(-1)(1+2)+(1+4)M,=M',A=(-1)(1+2)+(2+3)M'=M',333444A=(-1)(1+2)+(2+4)M'=-M,,A=(-1)(1+2)+(3+4)M'=M'555666根據(jù)拉普拉斯定理D=MA+MA+???+MA112266121311030-1.31—02.1114012113+.+.0113-120124111410—-11.03+21.01二(-1)x(-8)-2x(-3)+1x(-1)+5x1-6x3+(-7)x1=8+6-1+5-18-7=-73結束語老師淵博的學識、敏銳的思維、民主而嚴謹?shù)淖黠L，使我受益匪淺，終生難忘，嚴謹?shù)闹?/p>

學態(tài)度和對工作的兢兢業(yè)業(yè)、一絲不茍的精神將永遠激勵和鞭策我認真學習、努力工作。感謝我的老師對我的關心、指導和教誨！感謝我的學友和朋友對我的關心和幫助！參考文獻［1］孫亞飛北京大學數(shù)學系幾何與