資料的統(tǒng)計分析課件

第九章資料的統(tǒng)計分析

在調(diào)查結(jié)束后，我們必須對收集到的資料進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)的整理。而整理的目的是為了分析，沒有對資料的分析，我們就不可能有對研究對象的總體把握，也不可能寫出好的研究報告。當(dāng)然，作為社會調(diào)查研究對象的社會現(xiàn)象有其質(zhì)和量兩方面，我們對整理好的資料也必須展開定性和定量兩方面的分析，缺一不可。但是，定性分析是以研究者的理論功底為基礎(chǔ)，主要靠個人的悟性。定量分析就不同了，它是我們每個人通過學(xué)習(xí)都可以統(tǒng)一掌握的技術(shù)。所以學(xué)習(xí)社會研究方法，課堂教學(xué)在資料分析方面重點講得是統(tǒng)計分析，而對定性分析，本書是以穿插于有關(guān)章節(jié)的方式并以情境啟發(fā)的方式來加以討論的。第九章資料的統(tǒng)計分析在調(diào)查結(jié)束后，我們必1第一節(jié)統(tǒng)計調(diào)查資料及其整理

一、統(tǒng)計分組和頻數(shù)分布

統(tǒng)計整理是與統(tǒng)計分組相聯(lián)系的。所謂統(tǒng)計分組，就是將情況相同或相近的數(shù)據(jù)資料加以分門別類的歸并，使之簡單明晰，以便為統(tǒng)計分析中提取各種有用信息打下基礎(chǔ)。

經(jīng)過調(diào)查收集上來的資料雖然是大量的，卻很可能是雜亂無章的，用它來直接做分析往往有困難。統(tǒng)計整理是對調(diào)查數(shù)據(jù)資料的條理化、系統(tǒng)化和有序化，通過它，社會調(diào)查研究才能進(jìn)入統(tǒng)計分析階段。

第一節(jié)統(tǒng)計調(diào)查資料及其整理一、統(tǒng)計分組和頻數(shù)分布2

統(tǒng)計分組有兩方面的含義，對總體（或樣本）而言是“分”，即將總體中各個單位按照它們的差異性（如身高的差異）區(qū)分為若干部分；對總體單位而言是“合”，即將相近似的單位組合起來。這樣，本來雜亂無章的數(shù)據(jù)便有序化了。

頻數(shù)分布是統(tǒng)計分組的結(jié)果，它是指眾多的調(diào)查數(shù)據(jù)在各個組（各類別、各等級或各區(qū)間）出現(xiàn)或發(fā)生的次數(shù)。頻數(shù)分布是對客觀事物自然形成的分布狀態(tài)的集中反映和描述。

統(tǒng)計分組有兩方面的含義，對總體（或樣本）而言是“3

60名男性青年的身高表

（原始資料）

單位：厘米

161179173162161169166155177165165171165168176174163173159170170169169170174169171167164169178160168166163158169172178171152176167171161176168181175159162165168164179157173166172167

現(xiàn)在我們用從某大學(xué)大一男同學(xué)中抽取出來的60人的身高資料來編制頻數(shù)分布表，60名男同學(xué)身高（以厘米計）的原始資料如右：60名男性青年的身高表1611791734

60名男性青年的身高表

（序列資料）單位：厘米

152160163165167169170171174177155161163165167169170172174178157161164166168169170172175178158161164166168169171173176179159162165166168169171173176179159162165167168169171173176181

很顯然，面對這一堆原始數(shù)據(jù)，如果我們不作簡化處理，是不容易從中看出什么規(guī)律性的。為此，我們先將它們由低到高排成序列資料：

60名男性青年的身高表1521601635身高組(cm)人數(shù)（）150―154154―158158―162162―166166―170170―174174―178178―18212710161275合計60

將原始資料編排成序列資料，實際上是在進(jìn)行統(tǒng)計匯總。由于身高（X）是連續(xù)變量，我們?nèi)绻x4cm為間距，我們可以直接把序列資料編制成為含有8個組的頻數(shù)分布表（頻數(shù)用f表示）。如此一來，原來無序的原始資料就變?yōu)楝F(xiàn)在有序的分組資料。與此同時，學(xué)生總體中身高的分布狀況也清晰地呈現(xiàn)出來。（注：由于身高是連續(xù)變量，匯總時使用了“上組限不包括在內(nèi)”的處理原則。)

某校大一60名男生身高頻數(shù)分布表

身高組(cm)人數(shù)（）150―1541合計66身高組(cm)人數(shù)（%）150―154154―158158―162162―166166―170170―174174―178178―1821.73.311.716.726.620.011.78.3合計100.0二、頻率分布與總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)分組資料雖然簡單明了，但不能直接看出各組人數(shù)占這60人的比重，從而顯示出總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)。為了實現(xiàn)這個要求，就要在分組資料的基礎(chǔ)上派生出頻率分布表（頻率用P表示）。

頻率就是各組人數(shù)占總體人數(shù)的比重，即P＝f／N。比重都小于1，經(jīng)常用百分?jǐn)?shù)來表達(dá)，它反映了對象總體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

某校大一60名男生身高頻率分布表

身高組(cm)人數(shù)（%）150―1541.7合計17累計頻數(shù)（F）向上累計——以變量數(shù)列首組的頻數(shù)為始點，逐個累計各組的頻數(shù)，展示小于該組上限的頻數(shù)和。向下累計——以變量數(shù)列末組的頻數(shù)為始點，逐個累計各組的頻數(shù)，展示大于該組下限的頻數(shù)和。累計頻數(shù)（F）向上累計——以變量數(shù)向下累計——以變量數(shù)8

以上我們看到了三種形式的資料：原始資料、次序資料和分組資料，這反映了對資料進(jìn)行整理和簡化的順序。這三種形式是依次逐步簡化和條理化的，使人們看起來越來越容易、越來越清楚。

以上我們看到了三種形式的資料：原始資料、次序9三、圖示法

把無序的原始資料整理成頻數(shù)分布表，是表示統(tǒng)計資料的一種有效方式，我們可以稱為列表法。其實，用圖示法來表示統(tǒng)計資料比列表法更能一目了然。我們可以根據(jù)整理好的頻數(shù)分布（或頻率分布和累積百分?jǐn)?shù)分布）繪制出相應(yīng)的統(tǒng)計圖。最常用的有直方圖、條形圖、折線圖、曲線圖等。三、圖示法10對于連續(xù)變量的分布，可以用矩形圖表示。矩形高度表示各組的頻數(shù)或頻率。在等距分組的條件下，很顯然，各矩形的面積與其高度成正比。因此，各矩形的面積同樣可以用來表示各組的頻數(shù)和頻率，而且更加形象

直觀（如前圖）。1．矩形圖對于連續(xù)變量的分布，可以用矩形圖表示。矩形高度表示各11

方條圖適用于表示離散變量的資料。方條圖與矩形圖基本相同，其高度表示各組的頻數(shù)（或頻率）。對于定類變量和定序變量的測量，它的寬度是沒有意義的，各方條之間要留有一定的距離。2．方條圖方條圖適用于表示離散變量的資料。方條圖與矩形圖基本相同123．折線圖

表示頻數(shù)（或頻率）分布的另一種相似的圖形是折線圖。直接把矩形圖各矩形頂部的中點用直線連接起來，并把原來的矩形抹掉，就得到了折線圖。

3．折線圖表示頻數(shù)（或頻率）分布的另一種相似13

在許多并非十分嚴(yán)格的場合，人們往往樂于把頻數(shù)分布的矩形圖和折線圖修勻成平滑曲線，這樣看起來更美觀。例如，1901年至1985年，全世界已有300多位科學(xué)家獲得過諾貝爾物理獎、化學(xué)獎和生物醫(yī)學(xué)獎。對這些科學(xué)家取得成果的年齡進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下表。再以年齡為橫坐標(biāo)，人數(shù)為縱坐標(biāo)，使可制成“獲諾貝爾獎的年齡曲線”（見下圖9-3）。年齡獲獎人數(shù)25歲以下25~3030~3535~4040~4545~5050歲以上15347068533728合計3054．曲線圖在許多并非十分嚴(yán)格的場合，人們往往樂于把頻數(shù)14第二節(jié)統(tǒng)計分析一：描述統(tǒng)計

所謂描述統(tǒng)計就是討論范圍僅以搜集資料本身為限，而不予以擴(kuò)大。包括推論統(tǒng)計在內(nèi)，沒有描述統(tǒng)計作為基礎(chǔ)，想要運用好也是不可能的。描述統(tǒng)計所用數(shù)學(xué)較少，實用性又很強(qiáng)，因此在社會調(diào)查研究中使用的機(jī)會很多。

調(diào)查數(shù)據(jù)資料經(jīng)分類整理后，已經(jīng)使雜亂無章的原始數(shù)據(jù)資料成為有系統(tǒng)、有條理的數(shù)據(jù)資料，這就為統(tǒng)計分析中提取各種有用信息打下了基礎(chǔ)。而在社會研究的定量分析中，描述統(tǒng)計是基礎(chǔ)。第二節(jié)統(tǒng)計分析一：描述統(tǒng)計所謂描述統(tǒng)計就是討論15一、集中趨勢統(tǒng)計量

統(tǒng)計分析首先要解決的第一個問題是，要用一統(tǒng)計指標(biāo)來代表一系列的數(shù)據(jù)。這個具有代表性的統(tǒng)計指標(biāo)，能夠概括這一系列數(shù)據(jù)的特征，集中反映這一系列數(shù)據(jù)的一般水平。主要內(nèi)容算術(shù)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)一、集中趨勢統(tǒng)計量

統(tǒng)計分析首先要解決的第一個問題是，要161．算術(shù)平均數(shù)（）

簡單算術(shù)平均數(shù)(對于未分組資料)注意：對求和符號，此時流動腳標(biāo)的變動范圍是1,2,3,…,N，N是總體單位數(shù)。

[例]求74、85、69、9l、87、74、69這些數(shù)字的算術(shù)平均數(shù)。[解]

＝＝78.4

1．算術(shù)平均數(shù)（）17加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(對于分組資料)

注意：對求和符號，此時流動腳標(biāo)的變動范圍是1,2,3…,n，n是組數(shù)，而不是總體單位數(shù)。

很顯然，算術(shù)平均數(shù)不僅受各變量值(X)大小的影響，而且受各組單位數(shù)(頻數(shù))的影響。由于對于總體的影響要由頻數(shù)(f)大小所決定，所以f也被稱為權(quán)數(shù)。值得注意的是，在統(tǒng)計計算中，權(quán)數(shù)不僅用來衡量總體中各標(biāo)志值在總體中作用，同時反映了指標(biāo)的結(jié)構(gòu)，所以它有兩種表現(xiàn)形式：絕對數(shù)（頻數(shù)）和相對數(shù)（頻率）。這樣一來，在統(tǒng)計學(xué)中，凡對應(yīng)于分組資料的計算式，都被稱為加權(quán)式。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)(對于分組資料)18注意：分組資料有單項式和組距式兩種。計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，只有對每個變量值可分為一組的離散變量的分組資料（即單項式分組資料，參見下表）才能得到精確的結(jié)果。[例]求下表(單項數(shù)列)所示數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。人口數(shù)（X）戶數(shù)(f)fX頻率(P)234567858161064110246450362880.100.160.320.200.120.080.02合計502201.00注意：分組資料有單項式和組距式兩種。計算加19

對于組距數(shù)列（參見下表）

，要用每一組的組中值權(quán)充該組統(tǒng)一的變量值。[例]求下表（組距數(shù)列）所示數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)。間距頻數(shù)（f）組中值（X)PfXPX150―154154―158158―162162―166166―170170―174174―178178―182127101612751521561601641681721761800.0170.0330.1170.1670.2660.2000.1170.083152312112016402688206412329002.5845.18418.72027.38844.68834.40020.59214.940合計60——1.00010108168.496對于組距數(shù)列（參見下表），要用每一組的組中值20算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于0。各變量值對算術(shù)平均數(shù)的平方和，小于它們對任何他數(shù)偏差的平方和算術(shù)平均數(shù)受抽樣變動影響較小。分組資料如遇有開放組距時，不經(jīng)特殊處理不能進(jìn)行算術(shù)平均數(shù)的計算。受極端值影響較大。算術(shù)平均數(shù)的性質(zhì)各變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差之和等于0。212．中位數(shù)（Md)把總體單位某一數(shù)量標(biāo)志的各個數(shù)值按大小順序排列，位于正中處的變量值，即為中位數(shù)，用Md表示。Md可用于定序、定距、定比資料。對未分組資料(1)、先把所有數(shù)據(jù)按大小順序排列，如果總體單位數(shù)為奇數(shù)，則取第（N+1）/2位上的變量值為中位數(shù);（2）、如果總體單位數(shù)為偶數(shù)。因為居中的數(shù)值不存在，按慣例，取第N/2位和第（N+1）/2位上的兩個變量值的平均作為中位數(shù)。數(shù)。2．中位數(shù)（Md)把總體單位某一數(shù)量標(biāo)志的22[例]求54，65，78，66，43這些數(shù)字的中位數(shù)。[例]求54，65，78，66，43，38這些數(shù)字的中位數(shù)。你會嗎？[例]求72、81、86、69、57這些數(shù)字的中位數(shù)。[解]先將這幾個數(shù)字由小到大排序：57、69、72、81、86，然后把居中那個數(shù)拿出來，于是

Md＝72[例]求54，65，78，66，43這些數(shù)字的中位數(shù)。你23（1）單項數(shù)列根據(jù)N/2在累計頻數(shù)分布中找到中位數(shù)所在組，該組變量值就是Md

。中位數(shù)對于分組資料（1）單項數(shù)列根據(jù)N/2在累計頻數(shù)分布中找到24（2）組距數(shù)列

按中位數(shù)所在組的下限：

按中位數(shù)所在組的上限：

當(dāng)根據(jù)組距數(shù)列求中位數(shù)時，要采用所謂的比例插值法：先根據(jù)N／2在累計頻數(shù)分布中找到中位數(shù)所在組，然后假定該組中各變量值是均勻分布的，再用以下任何一種方法求出中位數(shù)(注意：此處用的是向上累計)。（2）組距數(shù)列

按中位數(shù)所在組的下限：

按25[例]調(diào)查大一男生60人的身高如前表，求他們身高的中位數(shù)。

[解]第一種方法

＝166＋×4

＝168．5(厘米)請你用第二種方法來做一下[例]調(diào)查大一男生60人的身高如前表，求他請你用第26中位數(shù)的性質(zhì)(1)各變量值對中位數(shù)之差的絕對值總和，小于它們對任何其他數(shù)的絕對值總和。(2)中位數(shù)不受極端值的影響。(3)分組資料有不確定組距時，仍可求得中位數(shù)。(4)中位數(shù)受抽樣變動的影響較算術(shù)平均數(shù)略大。中位數(shù)的性質(zhì)(1)各變量值對中位數(shù)273．眾數(shù)(Mo)

眾數(shù)是在一組資料中，出現(xiàn)次數(shù)(或頻數(shù))呈現(xiàn)出“峰”值的那些變量值，用Mo表示。眾數(shù)只與次數(shù)有關(guān)，可以用于定類、定序、定距、定比資料。

對于未分組資料

直接觀察。首先，將所有數(shù)據(jù)順序排列；然后，只要觀察到某些變量值(與相鄰變量值相比較)出現(xiàn)的次數(shù)(或頻數(shù))呈現(xiàn)“峰”值，這些變量值就是眾數(shù)。3．眾數(shù)(Mo)眾數(shù)是在一組資料中，出現(xiàn)次數(shù)(28對于分組資料

單項式：觀察頻數(shù)分布(或頻率分布)

組距式：Lo為眾數(shù)組下限；Δ１為眾數(shù)組頻數(shù)與前一組頻數(shù)之差；Δ２為眾數(shù)組頻數(shù)與后一組頻數(shù)之差；

ho為眾數(shù)組組距。對于分組資料Lo為眾數(shù)組下限；29[例]就72、81、56、86、81、57這幾個數(shù)字求眾數(shù)。

[解]按照眾數(shù)的定義識別，眾數(shù)是81。

[例]調(diào)查大一男生60人的身高情況如前表，求他們身高的眾數(shù)。[解]因為是組距式分組資料，運用前式計算為什么眾數(shù)有時不存在，有時有兩個以上？[例]就72、81、56、86、81、5730二、離中趨勢統(tǒng)計量

主要內(nèi)容：（1）全距；（2）異眾比率

；（3）標(biāo)準(zhǔn)差。

二、離中趨勢統(tǒng)計量主要內(nèi)容：（1）全距；（231所謂離中趨勢，是指數(shù)列中各變量值之間的差距和離散程度。離勢小，平均數(shù)的代表性高；離勢大，平均數(shù)代表性低。

例如有A、B、C、D四組學(xué)生各5人的成績?nèi)缦拢?/p>

A組：60，60，60，60，60

B組：58，59，60，61，62

C組：40，50，60，70，80

D組：80，80，80，80，80

數(shù)據(jù)顯示，平均數(shù)相同，離勢可能不同；平均數(shù)不同，離勢可能相同。所謂離中趨勢，是指數(shù)列中各變量值例如有321.全距(R)

R=Xmax–Xmin[例]求74，84，69，91，87，74，69這些數(shù)字的全距。[解]把數(shù)字按順序重新排列：69，69，74，74，84，87，91，顯然有

R=Xmax–Xmin

＝91–69＝22全距（R）：最大值和最小值之差。也叫極差。全距越大，表示變動越大。1.全距(R)33優(yōu)點：缺點：計算簡單、直觀。（1）受極端值影響大；（2）沒有量度中間各個單位間的差異性，數(shù)據(jù)利用率低，信息喪失嚴(yán)重；（3）受抽樣變動影響大，大樣本全距比小樣本全距大。計算簡單、（1）受極端值影響大；342.異眾比率(VR)

所謂異眾比率，是指非眾數(shù)的頻數(shù)與總體單位數(shù)的比值，用VR來表示

其中：為眾數(shù)的頻數(shù)；是總體單位數(shù)

異眾比率能表明眾數(shù)所不能代表的那一部分變量值在總體中的比重。[例]調(diào)查某小區(qū)50戶家庭的人口情況如表9.5，求異眾比率。

[解]2.異眾比率(VR)異眾比率能表明眾數(shù)所不能代表的那一353.標(biāo)準(zhǔn)差（S)

在統(tǒng)計分析中，對于定距變量，用標(biāo)準(zhǔn)差來作為離中趨勢統(tǒng)計量是最基本的做法。這是指在一組數(shù)據(jù)中，各數(shù)值之間的差距是不相等的，有的差距大，有的差距小，以它們之間平均相差多少作為標(biāo)準(zhǔn)來衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度，即標(biāo)準(zhǔn)差。更準(zhǔn)確地講，標(biāo)準(zhǔn)差用于衡量各數(shù)值相對于算術(shù)平均數(shù)的平均偏離程度。

3.標(biāo)準(zhǔn)差（S)在統(tǒng)計分析中，對于36對于未分組資科

一個數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)的差叫離差。當(dāng)一個數(shù)據(jù)大于時，離差是正值，反之則為負(fù)值。為了消除離差正負(fù)號的影響，可求所有離差平方的算術(shù)平均，這是所謂的均方差，簡稱方差（

）。將方差開平方后所得的值就是標(biāo)準(zhǔn)差。

方差:

標(biāo)準(zhǔn)差:對于未分組資科一個數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均37[例]

求72、81、86、69、57這些數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)差。[例]求72、81、86、69、57這些數(shù)字的標(biāo)準(zhǔn)差。38對于分組資料

計算左邊數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差對于分組資料計算左邊數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差39

[例]調(diào)查大一男生60人的身高情況如前表所示，求他們身高的標(biāo)準(zhǔn)差。[解]因為是分組資料，運用（9.10）式，計算參見下表[例]調(diào)查大一男生60人的身高情況如前表所示40

值得注意的是，計算分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差，也可以依據(jù)頻率分布來進(jìn)行計算式由此可以寫成：

或者值得注意的是，計算分組資料的標(biāo)準(zhǔn)差，也可以41第三節(jié)統(tǒng)計分析二：推論統(tǒng)計

所謂推論統(tǒng)計，主要是依據(jù)概率論，研究如何依據(jù)有限資料對總體性質(zhì)作推斷，從而使統(tǒng)計的功能大為擴(kuò)充。

在社會研究中，抽樣調(diào)查被公認(rèn)為是一種最完善、最有科學(xué)根據(jù)的調(diào)查方法。然而它在數(shù)學(xué)上要求比較高，一定要有推論統(tǒng)計。那種認(rèn)為樣本理所當(dāng)然能夠代表總體的看法是沒有根據(jù)的。第三節(jié)統(tǒng)計分析二：推論統(tǒng)計所謂推論統(tǒng)計，主要42

一、概率與概率分布隨機(jī)現(xiàn)象具有一定條件呈現(xiàn)多種可能結(jié)果的特性。人們把隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果以及這些結(jié)果的集合體稱作隨機(jī)事件。

概率是與隨機(jī)現(xiàn)象相聯(lián)系的一個概念。所謂隨機(jī)現(xiàn)象，是指事先不能精確預(yù)言其結(jié)果的現(xiàn)象，如即將出生的嬰兒是男還是女？一枚硬幣落地后其正面是朝上還是朝下?等等。所有這些現(xiàn)象都有一個共同的特點，那就是在給定的條件下，觀察所得的結(jié)果不止一個。隨機(jī)現(xiàn)象具有非確定性，但內(nèi)中也有一定的規(guī)律性。例如，事先我們雖不能準(zhǔn)確預(yù)言一個嬰兒出生后的性別，但大量觀察，我們會發(fā)現(xiàn)婦女生男生女的可能性幾乎一樣大，都是0.5，這就是概率。

一、概率與概率分布隨機(jī)現(xiàn)象具有一定條件呈43在推論統(tǒng)計中，概率和概率分布有著如同在描述統(tǒng)計中頻率和頻率分布那樣的聯(lián)系?，F(xiàn)在我們了解了概率，但作為隨機(jī)現(xiàn)象的全面研究這還很不夠。概率僅僅告知了隨機(jī)現(xiàn)象某一局部結(jié)果發(fā)生的可能性有多大，概率分布則要在滿足完備性(窮舉)和互不相容性(互斥)的前提下，回答隨機(jī)現(xiàn)象一共會出現(xiàn)多少種結(jié)果，以及每種結(jié)果所伴隨的概率是多少。

在推論統(tǒng)計中，概率和概率分布有著如同在描述44

以拋擲十枚硬幣的試驗為例，概率分布不僅要回答一共會發(fā)生11種結(jié)果（從沒有一枚硬幣面朝上到所有十枚硬幣面全朝上），而且要回答全部11種結(jié)果發(fā)生的概率各是多少。解決了這兩個問題，我們的討論便從概率過渡到了概率分布。在推論統(tǒng)計中，我們是用先驗的方法就每種結(jié)果算出其發(fā)生概率的，將它們一一列入右表中，我們就得到了著名的二項分布。硬幣面朝上數(shù)x

概率P(X=x)

012345678910.001.010.044.117.205.246.205.117.044.010.001合計

1.000

以拋擲十枚硬幣的試驗為例，概率分布不僅要回答一共會發(fā)45X=

xi

x1

x2

x3…xi…xn

合計P(X=

xi)

P1P2P3…Pi…Pn

推而論之，在隨機(jī)變量的取值滿足“窮舉”和“互斥”這兩個原則的前提下，概率分布的一般形式如下表所示。

現(xiàn)在我們把這里所講的概率分布與前面所講的頻數(shù)分布、頻率分布作一比較，就會發(fā)現(xiàn)它們(特別是頻率分布與概率分布)非常相象。當(dāng)然概率分布與頻率分布也有重要區(qū)別：頻率分布是經(jīng)資料整理而來的，概率分布卻是先驗的；頻率分布隨樣本不同而有所不同，概率分布卻是唯一的；頻率分布有對應(yīng)的頻數(shù)分布，概率分布則沒有。因此頻率分布被稱為隨機(jī)變量的統(tǒng)計分布或經(jīng)驗分布，而概率分布則被稱為隨機(jī)變量的理論分布。

X=xix1x2x346二、分布函數(shù)

但是我們要特別注意，上表實際上只對離散型隨機(jī)變量適用。因為離散型隨機(jī)變量X的取值是可數(shù)的。如果對X的每個可能取值xi計算其實現(xiàn)的概率Pi，我們便得到了離散型隨機(jī)變量的概率分布，即

二、分布函數(shù)47像上面拋擲硬幣的試驗一樣，有許多隨機(jī)現(xiàn)象只包含兩個結(jié)果，如男與女、是與非、生與死、同意與不同意、贊成與反對等等。通常，我們把其中比較關(guān)注那個結(jié)果稱為“成功”，另一個結(jié)果則稱為“失敗”。每當(dāng)試驗如同拋擲硬幣，是在相同的條件下重復(fù)n次，考慮的是“成功”的概率p（“失敗”的概率q＝1―p），且各次試驗相互獨立，我們都可以得到由二項分布所示的概率分布。二項分布是最著名的離散型隨機(jī)變量的概率分布，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式是

像上面拋擲硬幣的試驗一樣，有許多隨機(jī)現(xiàn)象只包含48連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論其概率是無意義的。為此，我們引進(jìn)概率密度的概念來表達(dá)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。以頻率密度為縱坐標(biāo)，可以作出頻率分布直方圖。類似地，以概率密度為縱坐標(biāo)，可以作出概率密度曲線。所不同的是，概率密度由于對組距求了Δx→0的極限，其圖形乃平滑曲線。(x)j連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一49

這樣一來，隨機(jī)變量X取值在區(qū)間{x1，x2}上的概率等于概率密度曲線下面x1與x2兩點之間面積，即

所以有概率密度的性質(zhì)因為概率不可能是負(fù)的，且

這樣一來，隨機(jī)變量X取值在區(qū)間{x1，x250

為了從數(shù)學(xué)上能夠統(tǒng)一對隨機(jī)變量的概率進(jìn)行研究引入分布函數(shù)的概念，它被定義為

有了分布函數(shù)，就可以很容易得到隨機(jī)變量X取值在任意區(qū)間{x1，x2}上的概率，即連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量

為了從數(shù)學(xué)上能夠統(tǒng)一對隨機(jī)變量的概率進(jìn)行研51和

(離散變量)或(連續(xù)變量)的關(guān)系，就像向上累計頻率和頻率的關(guān)系一樣。不同之處在于，累計的是概率。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一了對離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量概率的研究，而且由于它計算概率的起點都固定為―∞，因而可以把概率值換算成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達(dá)到計算快捷和應(yīng)用廣泛之目的。[例]求兩顆骰子點數(shù)的分布函數(shù)。

X23456789101112合計P(X)F(X)——和52

[例]某特定社區(qū)人口的10%是少數(shù)民族，現(xiàn)隨機(jī)抽取6人，問其中恰好2人是少數(shù)民族的概率是多少？[解]根據(jù)附表3求得

B(2；6，0.1)＝F(2)―F(3

)＝0.1143―0.0159＝0.0984

[例]某特定社區(qū)人口的10%是少數(shù)民族，現(xiàn)隨機(jī)53三、數(shù)學(xué)期望與變異數(shù)

在前面統(tǒng)計分組的討論中，我們在得到頻數(shù)(或頻率)分布后，為了對變量有系統(tǒng)概括的認(rèn)識，分別研究了集中趨勢和離中趨勢。而對集中趨勢和離中趨勢量度，我們分別得到了平均指標(biāo)和變異指標(biāo)，其中最有代表性的是算術(shù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。很顯然，現(xiàn)在當(dāng)我們面對隨機(jī)變量的理論分布時，也要對隨機(jī)變量的集中趨勢和離中趨勢作概括性的描述，這就引出數(shù)學(xué)期望和變異數(shù)這兩個概念。所謂數(shù)學(xué)期望，是反映隨機(jī)變量X取值的集中趨勢的理論均值(算術(shù)平均)，記作E(X)。離散型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量三、數(shù)學(xué)期望與變異數(shù)離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量54

[例]一家保險公司在投保的50萬元人壽保險的保單中，估計每1000保單每年有15個理賠，若每一保單每年的營運成本及利潤的期望值為200元，試求每一保單的保費。

[解]依題意知，利潤的期望值

E(X)＝200(元)設(shè)x1表示保費，x2為理賠費[x2＝-(500000-x1)]，則可得

所以，x1＝7700(元)。即每一保單每年的保費應(yīng)定在7700元。[例]一家保險公司在投保的50萬元人壽保險55

數(shù)學(xué)期望也常常記為μ，在推論統(tǒng)計中同總體均值的記號，而則在推論統(tǒng)計中被作為樣本均值的記號。數(shù)學(xué)期望和總體均值一樣，都是唯一的，不過它是一個先驗的理論值。由于它是用隨機(jī)變量各取值分別乘以取值的概率來計算的，因此數(shù)學(xué)期望又可稱為隨機(jī)變量的加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。樣本均值依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但它具有隨機(jī)性。在統(tǒng)計推論中，E(X)，是“估計”。和都是為μ服務(wù)的，E(X)是“期望”數(shù)學(xué)期望的幾個基本性質(zhì)：（1）常數(shù)c的期望等于該常數(shù)，即E(c)＝c（2）常數(shù)c與隨機(jī)變量X之積的期望等于X的期望與c的積，即E(cX)＝cE(X)（3）兩個隨機(jī)變量之和的期望等于它們的期望之和，即E(X+Y)＝E(X)+E(Y)（4）兩個獨立隨機(jī)變量乘積的期望等于它們的期望之積，即E(XY)＝E(X)·E(Y)數(shù)學(xué)期望也常常記為μ，在推論統(tǒng)計中同總體均56

數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量的集中趨勢，但僅知道集中趨勢還不夠，還應(yīng)該知道隨機(jī)變量在均值周圍的離散程度，即離中趨勢。變異數(shù)是綜合反映隨機(jī)變量取值分散程度的指標(biāo)，其功能相當(dāng)于描述統(tǒng)計中已討論過的方差及標(biāo)準(zhǔn)差，記用D(X)。

離散型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量

由于變異數(shù)的單位是隨機(jī)變量單位的平方。為了使隨機(jī)變量變異指標(biāo)的單位與其本身的單位相同，將D(X)開方(取正值)稱作隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差σ；同時為了更明確的表示D(X)與標(biāo)準(zhǔn)差之間只是開方關(guān)系，索性把D(X)寫成σ2，并直接稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差。于是有

數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量的集中趨勢，但僅知57很顯然隨機(jī)變量X的變異數(shù)也可以寫成

簡化公式當(dāng)然不難理解，在推論統(tǒng)計中隨機(jī)變量變異數(shù)的記號常常同總體方差的記號，即用σ2表示之。而S2則被作為樣本方差的記號。變異數(shù)和總體方差一樣，都是唯一的，不過它是一個先驗的理論值。樣本方差S2依據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算而來，但它具有隨機(jī)性。試求兩顆骰子點數(shù)的變異數(shù)D(X)很顯然隨機(jī)變量X的變異數(shù)也可以寫成簡化公式58變異數(shù)的幾個基本性質(zhì)：(1)常數(shù)c的方差等于0，即D(c)＝0(2)常數(shù)c與隨機(jī)變量X之積的方差，等于隨機(jī)變量X的方差c2倍，即D(cX)＝c2D(X)(3)隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于隨機(jī)變量的方差，即D(X+c)＝D(X)(4)兩個獨立隨機(jī)變量之和的方差等于它們的方差和，即D(X+Y)＝D(X)+D(Y)變異數(shù)的幾個基本性質(zhì)：(1)常數(shù)c的方差等于59四、假設(shè)檢驗與二項分布的應(yīng)用

對于一枚硬幣被重復(fù)拋擲10次的二項試驗，經(jīng)驗告訴我們，一共有11種可能的結(jié)果，而且實現(xiàn)這些結(jié)果的機(jī)會是大不相同的。研究者實際上從來不用經(jīng)驗的方法求得概率分布，因為通常我們只對一項試驗進(jìn)行一次或幾次，抽取樣本也是一個或至多不過幾個。二項分布是用數(shù)學(xué)或演繹推理的方法求得的一種理論分布。既然如此，如果實際抽樣得到的結(jié)果偏巧就是概率分布預(yù)示的最不可能出現(xiàn)的結(jié)果，那么我們是認(rèn)定純屬巧合，還是開始對用數(shù)學(xué)或演繹推理方法求得的概率以及理想試驗的種種前提假設(shè)產(chǎn)生懷疑?更準(zhǔn)確地說，在一枚硬幣被重復(fù)拋擲10次的這個二項試驗中，究竟出現(xiàn)什么結(jié)果時，我們應(yīng)該對二項分布及其前提假設(shè)產(chǎn)生懷疑呢?是不是只要不是得到5次成功5次失敗（x＝5）這個最大可能性結(jié)果時就開始懷疑，還是僅當(dāng)出現(xiàn)10次成功或一次也不成功（x＝10或x＝0）這兩個極端情況時才產(chǎn)生懷疑呢?這就是假設(shè)檢驗的核心問題。

四、假設(shè)檢驗與二項分布的應(yīng)用60(1)建立假設(shè)(2)求抽樣分布(4)計算檢驗統(tǒng)計量(3)選擇顯著性水平和否定域(5)判定所所包有

含統(tǒng)的計步檢驟驗

概率分布不是一種研究者從資料中看到的分布，我們討論它，不是出于對數(shù)學(xué)的愛好，而是因為統(tǒng)計推論的有關(guān)工作需要它?，F(xiàn)在，我們要進(jìn)入系統(tǒng)討論統(tǒng)計假設(shè)檢驗的實際步驟的階段。所有的統(tǒng)計檢驗都包含某些特定的步驟，這里先列示如下：

(1)建立假設(shè)(2)求抽樣分布(4)計算檢驗統(tǒng)計量(3)選擇61

1．建立假設(shè)

統(tǒng)計檢驗是將抽樣結(jié)果和抽樣分布相對照而作出判斷的工作。取得抽樣結(jié)果，依據(jù)描述性統(tǒng)計的方法就足夠了。抽樣分布則不然，它無法從資料中得到，非利用概率論不可。而不對待概括的總體和使用的抽樣程序做某種必要的假設(shè)，這項工作將無法進(jìn)行。比如通過擲硬幣的實驗得到二項分布，必須假設(shè)：①樣本是隨機(jī)的，試驗中各次拋擲相互獨立；②硬幣是無偏的(或稱是誠實的)，即p＝q＝0.5。概括地說，必須首先就研究總體和抽樣方案都做出假設(shè)，再加上概率論，我們就可以對各種可能結(jié)果做具體的概率陳述了。

1．建立假設(shè)62

2．求抽樣分布在做了必要的假設(shè)之后，我們就能用數(shù)學(xué)推理過程來求抽樣分布了。比如在這一章開頭，在硬幣重復(fù)拋擲n次的理想實驗中，我們計算了成功次數(shù)為x的宏觀結(jié)果所具有的概率，得到二項分布。如果前提假設(shè)變動了，還可以求出其他形式的概率分布，如正態(tài)分布、泊松分布、卡方分布等等，它們都有特定的方程式。由于數(shù)學(xué)上已經(jīng)取得的成果，實際上統(tǒng)計工作者要做的這項工作往往并不是真的去求抽樣分布的數(shù)學(xué)形式，而是根據(jù)具體需要，確定特定問題的統(tǒng)計檢驗應(yīng)該采用哪種分布的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)用表。

2．求抽樣分布63

3．選擇顯著性水平和否定域

在統(tǒng)計檢驗中，那些不大可能的結(jié)果稱為否定域。如果這類結(jié)果真的發(fā)生了，我們將否定假設(shè)；反之就不否定假設(shè)。

在統(tǒng)計檢驗中，通常把被檢驗的那個假設(shè)稱為零假設(shè)（用符號H0表示），并用它和其他備擇假設(shè)(用符號H1表示)相對比。零假設(shè)與備擇假設(shè)否定域3．選擇顯著性水平和否定域零假設(shè)與備擇假設(shè)否定域64

在統(tǒng)計檢驗中，無論是拒絕或者接受原假設(shè)，都不可能做到百分之百的正確，都有一定的錯誤。第一類錯誤是，零假設(shè)H0實際上是正確的，卻被否定了。第二類錯誤則是，H0實際上是錯的，卻沒有被否定。遺憾的是，不管我們?nèi)绾芜x擇否定域，都不可能完全避免第一類錯誤和第二類錯誤，也不可能同時把犯兩類錯誤的危險壓縮到最小。對任何一個給定的檢驗而言，第一類錯誤的危險越小，第二類錯誤的概率就越大；反之亦然。一般來講，不可能具體估計出第二類錯誤的概率值。第一類錯誤則不然，犯第一類錯誤的概率是否定域內(nèi)各種結(jié)果的概率之和。兩類錯誤及其關(guān)系兩類錯誤及其關(guān)系65被我們事先選定的可以犯第一類錯誤的概率，叫做檢驗的顯著性水平(用α表示)，它決定了否定域的大小。因此，有人也把第一類錯誤稱之α錯誤。相應(yīng)地第二類錯誤被人稱為錯誤。在原假設(shè)成立的條件下，統(tǒng)計檢驗中所規(guī)定的小概率標(biāo)準(zhǔn)一般取為α=0.05或α=0.01。由α所決定的否定域與接受域之間的分界值被稱為臨界值，如Zα。如果抽樣分布是連續(xù)的，否定域可以建立在想要建立的任何水平上，否定域的大小可以和顯著性水平的要求一致起來（后面的正態(tài)檢驗就如此）。如果抽樣分布是非連續(xù)的，就要用累計概率的方法找出一組構(gòu)成否定域的結(jié)果。顯著性水平α被我們事先選定的可以犯第一類錯誤的概率，顯著66根據(jù)否定域位置的不同，可以將假設(shè)檢驗分為雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗。

在統(tǒng)計中，必須把否定域分配到抽樣分布的兩端的檢驗，被稱為雙側(cè)檢驗。

在統(tǒng)計中，可以事先能預(yù)測偏差方向，因而可以把否定域集中到抽樣分布更合適的一端的檢驗，被稱為單側(cè)檢驗。

雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗根據(jù)否定域位置在統(tǒng)計中，必須把否定域674．計算檢驗統(tǒng)計量

在完成了上述工作之后，接下來就是做一次與理想試驗盡量相同的實際抽樣(比如實際做一次重復(fù)拋擲硬幣的試驗)，并從獲取的樣本資料算出檢驗統(tǒng)計量。檢驗統(tǒng)計量是關(guān)于樣本的一個綜合指標(biāo)，但與我們后面參數(shù)估計中將要討論的統(tǒng)計量有所不同，它不用作估測，而只用作檢驗。5．判定

假設(shè)檢驗系指拒絕或保留零假設(shè)的判斷，又稱顯著性檢定。在選擇否定域并計算檢驗統(tǒng)計量之后，我們完成最后一道手續(xù)，即根據(jù)試驗或樣本結(jié)果決定假設(shè)的取與舍。如果結(jié)果落在否定域內(nèi)，我們將在已知犯第一類錯誤概率的條件下，否定零假設(shè)。反之，如果結(jié)果落在否定域外，則不否定零假設(shè)，與此同時，我們就有了犯第二類錯誤的危險。

4．計算檢驗統(tǒng)計量68[例]若想通過拋擲10次硬幣的實驗來檢驗這個硬幣無偏的零假設(shè)，通過雙側(cè)檢驗0.10顯著性水平，請指出否定域。如果單側(cè)檢驗（p<0.5)，又將如何？[例]某選區(qū)有選民10000人，其中屬于工貿(mào)系統(tǒng)的有4000人，要產(chǎn)生代表6名。假定各系統(tǒng)選民都有同等機(jī)會當(dāng)選代表，（1）代表是工貿(mào)系統(tǒng)人員的概率分布；（2）在6名代表中最可能是工貿(mào)系統(tǒng)人員占幾名；（3）如果6名代表中有4名是工貿(mào)系統(tǒng)的人員，可以否定隨機(jī)性的零假設(shè)嗎？（α=0.05，單側(cè)檢驗，p>0.4)[例]若想通過拋擲10次硬幣的實驗來檢驗這69五、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

如果說二項分布是離散型隨機(jī)變量最具典型意義的概率分布，那么連續(xù)型隨機(jī)變量最具典型意義的概率分布就是正態(tài)分布了。實踐中常見的一類連續(xù)型隨機(jī)變量，多數(shù)服從或近似服從正態(tài)分布。例如測量誤差、智商以及人體的身高體重、運動員的成績等等，都可以用正態(tài)分布進(jìn)行描述。一般地講，若影響某一變量的隨機(jī)因素很多，而每個因素所起的作用不太大且相互獨立，則這個變量服從正態(tài)分布。更為重要的是，正態(tài)分布還是抽樣理論和統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。

五、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布701.正態(tài)分布的數(shù)學(xué)形式正態(tài)分布性質(zhì)：（1）正態(tài)曲線以x=μ呈鐘型對稱均值=中位數(shù)=眾數(shù)（2）在x=μ處，概率密度最大；當(dāng)區(qū)間離μ越遠(yuǎn)，x落在這個區(qū)間的概率越小。1.正態(tài)分布的數(shù)學(xué)形式正態(tài)分布性質(zhì)：71（3）正態(tài)曲線的外形由σ值確定。對于固定的σ值，不同均值μ的正態(tài)曲線的外形完全相同，差別只在于曲線在橫軸方向上整體平移了一個位置。（5）E(X)=μD(X)=σ2（4）對于固定的μ值，改變σ值，σ值越小，正態(tài)曲線越陡峭；σ值越大，正態(tài)曲線越低平。

（總之，正態(tài)分布曲線的位置是由μ決定的，而正態(tài)分布曲線的“高、矮、胖、瘦”由σ決定的。）

（3）正態(tài)曲線的外形由σ值確定。對于固定的72

2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布Z分?jǐn)?shù)（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量）用Z分?jǐn)?shù)表達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其概率密度為一般正態(tài)分布的表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的表示2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布一般正態(tài)分布的表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的733.正態(tài)曲線下的面積

但積分畢竟太麻煩了，更何況許多人對積分運算不熟悉，為此須計算出現(xiàn)成的數(shù)值表供使用者查找。由于正態(tài)曲線的優(yōu)良性質(zhì)，這項工作可以卓有成效地完成：①經(jīng)過X的標(biāo)準(zhǔn)分，可以將任何正態(tài)分布N(μ，σ2)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)；②運用分布函數(shù)的定義，并利用正態(tài)曲線的對稱性，通過下式（分布函數(shù)）可以計算編制出正態(tài)分布表(見附4)。

3.正態(tài)曲線下的面積但積分畢竟太麻煩了，74

采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量表達(dá)正態(tài)分布，使標(biāo)準(zhǔn)差得到了進(jìn)一步闡明。我們看到，標(biāo)準(zhǔn)差是計算總體單位分布及其標(biāo)志值變異范圍的主要依據(jù)，下圖說明了這一點。（1）變量值在【μ-σ,

μ+σ】之間的概率為0.6826。（2）變量值在【μ-2σ,

μ+2σ】之間的概率為0.9546。（3）變量值在【μ-3σ,

μ+3σ】之間的概率為0.9973。采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量表達(dá)正態(tài)分布，使標(biāo)準(zhǔn)差得到了75

[例]設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(168，122)，試求P(X≤143)。

總之，決定任意兩點間的面積都完全是可能的。比如向均值兩側(cè)移1.96個標(biāo)準(zhǔn)差，曲線下方便包含了大約95％的面積；如移動2.58個標(biāo)準(zhǔn)差，則面積幾乎是99％。附錄4已編制了關(guān)于Z和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線所含面積之間關(guān)系的精確數(shù)值表，即Z從0到+∞變化，相應(yīng)區(qū)間含的面積從0變至0.5。[例]設(shè)隨機(jī)變總之，決定任76

[解]已知μ＝168，σ＝12

z是負(fù)值，表示X的取值處于均值左邊。由于曲線完全對稱，所以使用正態(tài)分布表時可以忽略z的正負(fù)號。查表可知，正態(tài)曲線在均值與z＝2.08之間所含面積是0.4812。由于總面積的一半是0.5，因P(X≤143)可以由下面計算求得

P(X≤143)＝0.5―P(0≤Z≤2.08)＝0.5―0.4812＝1.88％這說明，X的取值小于或等于143的概率大約是2％。由于即將討論的正態(tài)檢驗幾乎都要涉及概率分布的尾端，所以此例說明的是一個非常普遍的問題。

第九章資料的統(tǒng)計分析課件77六、中心極限定理與正態(tài)檢驗

一旦統(tǒng)計的學(xué)習(xí)進(jìn)入到推論統(tǒng)計，我們就必須同時與三種不同的分布概念打交道，即總體分布、樣本分布、抽樣分布。為了不產(chǎn)生混淆，視分布不同，將統(tǒng)計指標(biāo)的符號加以區(qū)別是完全必要的。對那些反映標(biāo)志值集中趨勢和離中趨勢的綜合指標(biāo)，尤其對均值和標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)。均值標(biāo)準(zhǔn)差總體分布樣本分布抽樣分布

抽樣分布特指樣本統(tǒng)計量作為隨機(jī)變量的概率分布。用數(shù)學(xué)語言來說，抽樣分布是運用數(shù)理統(tǒng)計的方法，把具體概率賦予樣本的所有可能結(jié)果的一種理論分布。

在一個總體中可以產(chǎn)生無數(shù)個樣本，所以樣本統(tǒng)計量（比如均值）必定是隨機(jī)變量。這樣就提出一個問題：如果樣本統(tǒng)計量作為隨機(jī)變量，它的概率分布是什么樣呢？六、中心極限定理與正態(tài)檢驗一旦統(tǒng)計的學(xué)習(xí)進(jìn)入到78

我們知道，概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的定理，是著名的大數(shù)定理。其具體內(nèi)容是：頻率穩(wěn)定于概率，平均值穩(wěn)定于期望值。但是，大量隨機(jī)現(xiàn)象的穩(wěn)定性不僅表現(xiàn)在平均結(jié)果上，同時也表現(xiàn)在分布上，這就是中心極限定理所要闡明的內(nèi)容。顯然，推論統(tǒng)計需要有一座能夠架通抽樣調(diào)查和抽樣分布的橋梁。中心極限定理告訴我們：如果從任何一個具有均值μ和方差σ2的總體(可以具有任何分布形式)中重復(fù)抽取容量為n的隨機(jī)樣本，那么當(dāng)n變得很大時，樣本均值的抽樣分布接近正態(tài)，并具有均值μ和方差。

79(2)由于抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差要比總體標(biāo)準(zhǔn)差小，并且，所以如右圖所示，樣本容量越大，抽樣分布的峰態(tài)愈陡峭，由樣本結(jié)果來推斷總體參數(shù)的可靠性也隨之提高。

無疑，中心極限定理大大拓展了正態(tài)分布的適用面，同時我們得到了以下重要信息：

(1)雖然樣本的均值可能和總體均值有差別，但我們可期望這些將聚集在μ的周圍。因此均值抽樣分布的算術(shù)平均數(shù)能和總體的均值很好地重合，這就是為什么總體均值和抽樣分布的均值用同一個μ來表示的緣故。(2)由于抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)無80

統(tǒng)計檢驗應(yīng)用正態(tài)分布和二項分布有兩點區(qū)別：①抽樣分布在這里是連續(xù)的而非離散的，否定域的大小可以和顯著性水平的要求精確地一致起來。②計算檢驗統(tǒng)計量不再像在應(yīng)用二項分布時那樣，可以不勞而獲了。很顯然，為了能使用現(xiàn)成的正態(tài)分布表，關(guān)鍵是要從樣本資料中計算出在N(0，1)形式下的統(tǒng)計量Z，再根據(jù)Z是否落在否定城內(nèi)而對被檢驗假設(shè)的取舍作出決定。在上一節(jié)我們曾引出。Z的這種形式適用于N(μ，σ2)的總體，但并不適用于取正態(tài)的抽樣分布。正如我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)的那樣，統(tǒng)計檢驗單純依靠樣本自身是得不出結(jié)果的，必須首先在一系列假設(shè)的基礎(chǔ)上求出抽樣分布。如果這些假設(shè)實際上正確，那么抽樣分布將告訴我們得到一個給定的的可能性是多少。在抽樣分布中，隨機(jī)變量的取值是每個，均值是μ，標(biāo)準(zhǔn)差是。因此Z如果作為檢驗統(tǒng)計量，應(yīng)該用替換X，用替換σ，μ不動，因而有。統(tǒng)計檢驗應(yīng)用正態(tài)分布和二項分布有兩點區(qū)別：81

例]一位研究者試圖檢驗?zāi)骋簧鐣{(diào)查所運用的抽樣程序，該項調(diào)查是由一些缺乏經(jīng)驗的訪問員進(jìn)行的。研究者懷疑屬于干部和知識分子的家庭抽得過多。過去的統(tǒng)計資料表明，該街區(qū)的家庭收入是7500元，標(biāo)準(zhǔn)差是1500元；此次調(diào)查共抽取100個家庭，樣本平均收入是7900元。問：該研究人員是否有理由懷疑該樣本有偏估？（選用α=0.05）

現(xiàn)在我們來看中心極限定理在假設(shè)檢驗中的應(yīng)用。雖然不必每一次都明寫出來，但本章前面所述的檢驗程序的每一步都不能缺少。把從樣本調(diào)查中得到的檢驗統(tǒng)計量與假設(shè)的總體均值作比較，我們很快發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的重要的實用價值。1．σ已知，對總體均值的檢驗實際上是要檢驗“隨機(jī)抽樣”這個零假設(shè)

例]一位研究者試圖檢驗?zāi)骋簧鐣{(diào)查所運用82[例]一位研究者試圖檢驗?zāi)骋簧鐣{(diào)查所運用的抽樣程序，該項調(diào)查是由一些缺乏經(jīng)驗的訪問員進(jìn)行的。研究者懷疑屬于干部和知識分子的家庭抽得過多。過去的統(tǒng)計資料表明，該街區(qū)的家庭收入是7500元，標(biāo)準(zhǔn)差是1500元；此次調(diào)查共抽取100個家庭，樣本平均收入是7900元。問：該研究人員是否有理由懷疑該樣本有偏估？（選用α=0.05）第五節(jié)總體均值和成數(shù)的單樣本檢驗1．σ已知，對總體均值的檢驗實際上是要檢驗“隨機(jī)抽樣”這個零假設(shè)

[例]一位研究者試圖檢驗?zāi)骋簧鐣{(diào)83[解]根據(jù)題意，可做如下假設(shè)，并做單側(cè)檢驗

因α=0.05，查表得Z0.05=1.65，故否定域為根據(jù)中心極限定理，檢驗統(tǒng)計量計算得檢驗統(tǒng)計量Z的計算表明，樣本均值比總體均值大2．67個標(biāo)準(zhǔn)差（），超過了顯著性水平規(guī)定的臨界值，調(diào)查者應(yīng)該否定“隨機(jī)抽樣”的零假設(shè)。也就是說，由于抽樣在程序上不合要求，這項社會調(diào)查有必要重新組織。

[解]根據(jù)題意，可做如下假設(shè)，并做單側(cè)檢驗84中心極限定理實際解決了大樣本均值的檢驗問題。假定樣本比較大(n＞50，這在社會調(diào)查中一般都能得到滿足)，樣本均值的抽樣分布就與總體分布無關(guān)，而服從正態(tài)分布。當(dāng)H0成立時，樣本均值的觀察值比較集中地分布在總體均值μ周圍；當(dāng)H0不成立時，將對μ有明顯偏離的趨勢。因而，我們可以在選定的顯著性水平上，通過計算檢驗統(tǒng)計量Z，對零假設(shè)進(jìn)行檢定。注：當(dāng)σ未知時，只要樣本量很大，就可用S來代替σ。但對于小樣本，Z檢驗就要用t檢驗來替代了，而且還必須嚴(yán)格限于正態(tài)總體。中心極限定理實際解決了大樣本均值的檢驗問85

[解]根據(jù)題意，可作如下的假設(shè)，并做雙側(cè)檢驗

H0：μ＝2330元H1：μ≠2330元因α＝0.05，查正態(tài)分布表得Zα/2＝1.96，故否定域|Z|≥1.96計算檢驗統(tǒng)計量

Z＝≈＝＝1.20＜1．96所以，不能認(rèn)為該單位人均月收入不是2330元，即不能認(rèn)為該統(tǒng)計報表有誤。五、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

[例]某單位統(tǒng)計報表顯示，人均月收入為2330元，為了驗證該統(tǒng)計報表的正確性，作了共81人的抽樣調(diào)查，樣本人均月收入為2350元，標(biāo)準(zhǔn)差為150元，問能否說明該統(tǒng)計報表顯示的人均收入的數(shù)字有誤(取顯著性水平α＝0.05)。

此乃“總體均值”零假設(shè)的檢驗[解]根據(jù)題意，可作如下的假設(shè)，并做雙側(cè)檢驗86七、點估計與區(qū)間估計在推論統(tǒng)計中，相對于假設(shè)檢驗，參數(shù)估計要容易理解得多。所謂參數(shù)估計，即由樣本的指標(biāo)數(shù)值推斷總體的相應(yīng)的指標(biāo)數(shù)值，它包括點估計和區(qū)間估計。例如，某高校大一60名男生如果是一個隨機(jī)產(chǎn)生的樣本，那么我們肯定是在做抽樣調(diào)查，即這個樣本是從該校全部大一男生這個總體中通過隨機(jī)抽樣產(chǎn)生的。這樣一來，那一組調(diào)查來的身高數(shù)據(jù)以及通過這一組數(shù)據(jù)計算出來的平均身高等就對總體有很好的代表性。換句話說，我們計算出這60個男生的平均身高是168.5厘米，那么根據(jù)大數(shù)定理我們可以用這個統(tǒng)計量來估計全校大一男生的平均身高。這體現(xiàn)出了抽樣調(diào)查的基本意義。七、點估計與區(qū)間估計87不過，這一參數(shù)估計只是點估計。所謂點估計，就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出一個單一的估計值，用來估計總體的參數(shù)值。點估計很方便，但當(dāng)我們要關(guān)心這一估計的可靠性時，問題就出來了。也就是說，我們根據(jù)樣本均值是不可能肯定該校大一男生的平均身高就是168.5厘米的。這樣一來，區(qū)間估計的重要性就顯現(xiàn)出來了。所謂區(qū)間估計，就是計算抽樣平均誤差，指出估計的可信程度，進(jìn)而在點估計的基礎(chǔ)上，確定總體參數(shù)的所在范圍或區(qū)間。很顯然，如果我們在168.5厘米上下加減一個（比如0.5厘米），現(xiàn)在估計全校大一男生的平均身高在168~169厘米之間，那么估計到的把握就會一下子提高許多。不過，這一參數(shù)估計只是點估計。所謂點估計，就88一、有關(guān)區(qū)間估計的幾個概念1.置信區(qū)間：區(qū)間估計是求所謂置信區(qū)間的方法。置信區(qū)間就是我們?yōu)榱嗽黾訁?shù)被估計到的信心而在點估計兩邊設(shè)置的估計區(qū)間。2.顯著性水平：用置信區(qū)間來估計的不可靠程度。區(qū)間估計的任務(wù)是，在點估計值的兩側(cè)設(shè)置一個區(qū)間，使得總體參數(shù)被估計到的概率大大增加。可靠性和精確性(即信度和效度)在區(qū)間估計中是相互矛盾的兩個方面。

區(qū)間估計的任務(wù)是，在點估計值的兩側(cè)設(shè)置一個區(qū)893.置信度（水平）：用置信區(qū)間估計的可靠性（把握度）4.抽樣平均誤差與概率度Z抽樣平均誤差：樣本均值抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差。反映在參數(shù)周圍抽樣平均值的平均變異程度。越大，樣本均值越分散。概率度：Z在參數(shù)估計中被稱為概率度，其大小由

決定.3.置信度（水平）：用置信區(qū)間估計的可靠性90

顯著性水平、置信水平、概率度之間的關(guān)系：=0.10時，=0.90，Zα/2=1.65=0.05時，=0.95，Zα/2=1.96=0.01時，=0.99，Zα/2=2.58顯著性水平、置信水平、概率度之間91

區(qū)間估計的做法：從點估計值開始，向兩側(cè)展開一定倍數(shù)的抽樣平均誤差，并估計總體參數(shù)很可能就包含在這個區(qū)間之內(nèi)。區(qū)間估計的做法：從點估計值開始，向兩側(cè)展92對參數(shù)的區(qū)間估計的步驟：1.首先從總體抽取一個樣本，根據(jù)收集的樣本資料求出它的均值。2.根據(jù)合乎實際的置信水平查表求得概率度3.根據(jù)總體標(biāo)準(zhǔn)差和樣本容量求出抽樣平均誤差4.以均值為基準(zhǔn)，向兩側(cè)展開倍抽樣平均誤差的區(qū)間。對參數(shù)的區(qū)間估計的步驟：93[例]從某校隨機(jī)地抽取100名男學(xué)生，測得平均身高為170厘米，標(biāo)準(zhǔn)差為7.5厘米，試求該校學(xué)生平均身高95％的置信區(qū)間。[解]按題意，此為大樣本，且總體方差未知，又＝100，＝170，＝7.5，＝0.95．查表得＝1.96，代入公式有＝170±1.96＝170±1.47因此，有95％的把握，該校學(xué)生的平均身高在168.5~171.5厘米之間。[例]從某校隨機(jī)地抽取100名男學(xué)生，測得94第九章資料的統(tǒng)計分析

在調(diào)查結(jié)束后，我們必須對收集到的資料進(jìn)行認(rèn)真仔細(xì)的整理。而整理的目的是為了分析，沒有對資料的分析，我們就不可能有對研究對象的總體把握，也不可能寫出好的研究報告。當(dāng)然，作為社會調(diào)查研究對象的社會現(xiàn)象有其質(zhì)和量兩方面，我們對整理好的資料也必須展開定性和定量兩方面的分析，缺一不可。但是，定性分析是以研究者的理論功底為基礎(chǔ)，主要靠個人的悟性。定量分析就不同了，它是我們每個人通過學(xué)習(xí)都可以統(tǒng)一掌握的技術(shù)。所以學(xué)習(xí)社會研究方法，課堂教學(xué)在資料分析方面重點講得是統(tǒng)計分析，而對定性分析，本書是以穿插于有關(guān)章節(jié)的方式并以情境啟發(fā)的方式來加以討論的。第九章資料的統(tǒng)計分析在調(diào)查結(jié)束后，我們必95第一節(jié)統(tǒng)計調(diào)查資料及其整理

一、統(tǒng)計分組和頻數(shù)分布

統(tǒng)計整理是與統(tǒng)計分組相聯(lián)系的。所謂統(tǒng)計分組，就是將情況相同或相近的數(shù)據(jù)資料加以分門別類的歸并，使之簡單明晰，以便為統(tǒng)計分析中提取各種有用信息打下基礎(chǔ)。

經(jīng)過調(diào)查收集上來的資料雖然是大量的，卻很可能是雜亂無章的，用它來直接做分析往往有困難。統(tǒng)計整理是對調(diào)查數(shù)據(jù)資料的條理化、系統(tǒng)化和有序化，通過它，社會調(diào)查研究才能進(jìn)入統(tǒng)計分析階段。

第一節(jié)統(tǒng)計調(diào)查資料及其整理一、統(tǒng)計分組和頻數(shù)分布96

統(tǒng)計分組有兩方面的含義，對總體（或樣本）而言是“分”，即將總體中各個單位按照它們的差異性（如身高的差異）區(qū)分為若干部分；對總體單位而言是“合”，即將相近似的單位組合起來。這樣，本來雜亂無章的數(shù)據(jù)便有序化了。

頻數(shù)分布是統(tǒng)計分組的結(jié)果，它是指眾多的調(diào)查數(shù)據(jù)在各個組（各類別、各等級或各區(qū)間）出現(xiàn)或發(fā)生的次數(shù)。頻數(shù)分布是對客觀事物自然形成的分布狀態(tài)的集中反映和描述。

統(tǒng)計分組有兩方面的含義，對總體（或樣本）而言是“97

60名男性青年的身高表

（原始資料）

單位：厘米

161179173162161169166155177165165171165168176174163173159170170169169170174169171167164169178160168166163158169172178171152176167171161176168181175159162165168164179157173166172167

現(xiàn)在我們用從某大學(xué)大一男同學(xué)中抽取出來的60人的身高資料來編制頻數(shù)分布表，60名男同學(xué)身高（以厘米計）的原始資料如右：60名男性青年的身高表16117917398

60名男性青年的身高表

（序列資料）單位：厘米

152160163165167169170171174177155161163165167169170172174178157161164166168169170172175178158161164166168169171173176179159162165166168169171173176179159162165167168169171173176181

很顯然，面對這一堆原始數(shù)據(jù)，如果我們不作簡化處理，是不容易從中看出什么規(guī)律性的。為此，我們先將它們由低到高排成序列資料：

60名男性青年的身高高組(cm)人數(shù)（）150―154154―158158―162162―166166―170170―174174―178178―18212710161275合計60

將原始資料編排成序列資料，實際上是在進(jìn)行統(tǒng)計匯總。由于身高（X）是連續(xù)變量，我們?nèi)绻x4cm為間距，我們可以直接把序列資料編制成為含有8個組的頻數(shù)分布表（頻數(shù)用f表示）。如此一來，原來無序的原始資料就變?yōu)楝F(xiàn)在有序的分組資料。與此同時，學(xué)生總體中身高的分布狀況也清晰地呈現(xiàn)出來。（注：由于身高是連續(xù)變量，匯總時使用了“上組限不包括在內(nèi)”的處理原則。)

某校大一60名男生身高頻數(shù)分布表

身高組(cm)人數(shù)（）150―1541合計6100身高組(cm)人數(shù)（%）150―154154―158158―162162―166166―170170―174174―178178―1821.73.311.716.726.620.011.78.3合計100.0二、頻率分布與總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)分組資料雖然簡單明了，但不能直接看出各組人數(shù)占這60人的比重，從而顯示出總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)。為了實現(xiàn)這個要求，就要在分組資料的基礎(chǔ)上派生出頻率分布表（頻率用P表示）。

頻率就是各組人數(shù)占總體人數(shù)的比重，即P＝f／N。比重都小于1，經(jīng)常用百分?jǐn)?shù)來表達(dá)，它反映了對象總體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

某校大一60名男生身高頻率分布表

身高組(cm)人數(shù)（%）150―1541.7合計1101累計頻數(shù)（F）向上累計——以變量數(shù)列首組的頻數(shù)為始點，逐個累計各組的頻數(shù)，展示小于該組上限的頻數(shù)和。向下累計——以變量數(shù)列末組的頻數(shù)為始點，逐個累計各組的頻數(shù)，展示大于該組下限的頻數(shù)和。累計頻數(shù)（F）向上累計——以變量數(shù)向下累計——以變量數(shù)102

以上我