第3章-正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析課件

Answerofhomework（NO.5）6-12見(jiàn)課本習(xí)題答案;6-14見(jiàn)課本習(xí)題答案;6-150.22s2-16見(jiàn)課本習(xí)題答案;6-24見(jiàn)課本習(xí)題答案;3-175°，i1

超前i2Answerofhomework（NO.5）6-12第3章正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析

3.3單一參數(shù)的交流電路3.4復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及等效變換3.2正弦量的相量表示法3.1正弦量的基本概念3.5正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計(jì)算3.7串聯(lián)及并聯(lián)電路的諧振3.8耦合電感電路與理想變壓器第3章正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析3.3單一學(xué)習(xí)目標(biāo)

正確理解正弦量的概念，牢記正弦量的三要素。正確區(qū)分瞬時(shí)值、最大值、有效值和平均值。深刻理解正弦量的相量表示法。深刻理解和掌握交流電路中電阻、電容、電感元件上的電壓、電流之間的相位關(guān)系，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。正確區(qū)分瞬時(shí)功率、平均功率、有功功率、無(wú)功功率和視在功率，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算。

學(xué)習(xí)目標(biāo)正確理解正弦量的概念，牢記正3.1正弦量的基本概念若電壓、電流是時(shí)間t的正弦函數(shù)，稱(chēng)為正弦交流電。

以電流為例，正弦量的一般解析式為：瞬時(shí)值i(t)：時(shí)間t不同時(shí)取值不同3.1.1正弦量的三要素振幅Im

：正弦量變化的最大值相位：表示正弦量變化進(jìn)程。初相：當(dāng)t=0時(shí)的相位叫初相位角頻率ω：正弦量單位時(shí)間變化的弧度數(shù)（rad/s）把振幅、角頻率和初相稱(chēng)為正弦量的三要素。只有確定了三要素，正弦量才是確定的。波形如圖3.1-1所示圖3.1-1正弦量的波形從波形圖中也可讀出正弦量的三要素3.1正弦量的基本概念若電壓、電流是時(shí)間t的正弦函因?yàn)檎伊棵拷?jīng)歷一個(gè)周期的時(shí)間T，相位增加2π，則角頻率ω、周期T和頻率?之間關(guān)系為：

ω、T、?反映的都是正弦量變化的快慢，ω越大，即?越大或T越小，正弦量變化越快；ω越小，即?越小或T越大，正弦量變化越慢。

3.1.2頻率與周期3.1.3初相位及相位差初相位反映正弦量的起始位置，通常在的范圍內(nèi)取值

用正弦函數(shù)表示正弦波形時(shí)，把波形圖上原點(diǎn)前后正負(fù)T/2內(nèi)曲線由負(fù)變正經(jīng)過(guò)零值的那一點(diǎn)作為正弦波的起點(diǎn)。初相角就是波形起點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的角度，于是初相角不大于，且波形起點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)；反之。因?yàn)檎伊棵拷?jīng)歷一個(gè)周期的時(shí)間T，相位增加2π，則圖3.1-2如圖3.1-2所示，初相分別為0、

由圖可見(jiàn)，初相為正值的正弦量，在t=0時(shí)的值為正，起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)之左；初相為負(fù)值的正弦量，在t=0時(shí)的值為負(fù)，起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)之右。圖3.1-2如圖3.1-2所示，初相分別為0、

設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦量為

叫做它們的相位差。

正弦量的相位是隨時(shí)間變化的，但同頻率的正弦量的相位差不變，等于它們的初相之差。同相：初相相等的兩個(gè)正弦量，它們的相位差為零，反相:如果，則兩個(gè)正弦量反相。超前：如果，則表示i1超前i2

滯后：如果，則表示i1滯后i2

正交：如果，則兩個(gè)正弦量正交

設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦量為叫做它們的相位差。如圖3.1-3（a）、（b）、（c）、（d）分別表示兩個(gè)正弦量同相、超前、正交、反相。圖3.1-3i1與i2同相、超前、正交、反相如圖3.1-3（a）、（b）、（c）、（d）分別表示兩個(gè)正弦注意：（1），否則無(wú)法得出導(dǎo)前、之后等結(jié)論。（2）比較的正弦信號(hào)的表示方法應(yīng)相同（本書(shū)用正弦）。（3）不同頻率的正弦量相位差是隨時(shí)間變化的（本書(shū)中談到的相位差都是指同頻率之間的相位差）。，

例：某電路中，則他們的三要素分別為多少？有效值為多少？它們的相位差為多少？

同頻率正弦量的相位差，不隨時(shí)間變化，與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。為了分析問(wèn)題的方便，在一些有關(guān)的同頻率正弦量中，可以選擇其中的一個(gè)初相為零的正弦量為參考，其他正弦量的初相必須與這個(gè)參考正弦量的初相比較，即以其他正弦量的初相等于它們和參考正弦量之間的相位差。在n個(gè)正弦量中，只能選擇一個(gè)為參考正弦量。注意：（1），否則無(wú)法得出導(dǎo)前、之后等結(jié)論。

1、有效值周期量的有效值定義為：一個(gè)周期量和一個(gè)直流量，分別作用于同一電阻，如果經(jīng)過(guò)一個(gè)周期的時(shí)間產(chǎn)生相等的熱量，則這個(gè)周期量的有效值等于這個(gè)直流量的大小。電流、電壓有效值用大寫(xiě)字母I、U表示。根據(jù)有效值的定義，則有

則周期電流的有效值為3.1.3正弦電流、電壓的有效值2、正弦量的有效值對(duì)于正弦電流，設(shè)同理:正弦量的最大值與有效值之間存在著的關(guān)系1、有效值周期量的有效值定義為：一個(gè)周期量和一個(gè)直流量

3.2正弦量的相量表示法

3.2.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算規(guī)律

圖3.2-1②代數(shù)式：③指數(shù)式：④極坐標(biāo)式1、復(fù)數(shù)及其表示（1）復(fù)數(shù)：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，定義為復(fù)數(shù)。其中j稱(chēng)為虛數(shù)單位：j2=-1

（2）表示①向量圖表示（見(jiàn)圖3.2-1）：實(shí)部：a虛部：b模：輻角：3.2正弦量的相量表示法例：代數(shù)式與極坐標(biāo)式互換（2）各種表示間的相互轉(zhuǎn)換例：代數(shù)式與極坐標(biāo)式互換（2）各種表示間的相互轉(zhuǎn)換2、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)相等：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，其實(shí)部和虛部分別相等A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)

即：若A1=a1+jb1A2=a2+jb2

A1=A2則：a1=a2b1=b2（2）加減運(yùn)算：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（或相減）時(shí)，將實(shí)部與實(shí)部相加（或相減），虛部與虛部相加（或相減）。即：（3）乘除運(yùn)算：此運(yùn)算用指數(shù)式或極坐標(biāo)式進(jìn)行較簡(jiǎn)單，作乘除運(yùn)算時(shí)，分別把模進(jìn)行乘除，輻角進(jìn)行加減。即若：（4）旋轉(zhuǎn)因子任何一個(gè)復(fù)數(shù)A乘以等于把復(fù)數(shù)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，所以稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子。2、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)相等：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，其實(shí)部和虛部分別相3.2.2正弦量的相量表示法

（2）相量與正弦量的關(guān)系：一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

把這個(gè)復(fù)數(shù)分別稱(chēng)為正弦量的有效值相量和振幅相量。特別應(yīng)該注意，相量與正弦量之間只具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不是相等的關(guān)系。

也可表示成：（1）相量表示:用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量.復(fù)數(shù)的模和幅角分別等于正弦量的幅值和初相位3.2.2正弦量的相量表示法（2）例:已知u1=141sin(ωt+60o)V，u

2=70.7sin(ωt-45o)V。求：⑴求相量；(2)求兩電壓之和的瞬時(shí)值u(t)（3）畫(huà)出相量圖解（1）（3）相量的表示方法：可以用復(fù)數(shù)表示方法的任意一種（4）相量的運(yùn)算：可以用復(fù)數(shù)運(yùn)算的任何一種（2）例:已知u1=141sin(ωt+60o)V，u2（3）相量圖如圖3.2-2所示圖3.2-2例：已知：求：（3）相量圖如圖3.2-2所示圖3.2-2例：已知：求：3.2.3、基爾霍夫定律的相量形式（1）KCL的相量形式（2）KVL的相量形式例：已知圖3.2-3中求并畫(huà)相量圖。圖3.2-3解：由KVL得：寫(xiě)成相量形式為：3.2.3、基爾霍夫定律的相量形式（1）KCL的相量形式（例：已知下圖中求：圖3.2-4相量圖如圖3.2-4所示。例：已知下圖中求：圖3.2-4相量圖如圖3.2-4所示。3.3單一參數(shù)的交流電路

在交流電路中，電壓和電流是變動(dòng)的，是時(shí)間的函數(shù)。電路元件不僅有耗能元件的電阻，而且有儲(chǔ)能元件電感和電容。下面分別討論它們的伏安關(guān)系式（即VAR）的相量形式及在正弦交流電路中的功率。3.3單一參數(shù)的交流電路在交流電路中，電壓和電流是3.3.1電阻元件中的正弦交流電

（1）或（2）頻率相等（3）初相位相等

比較得電阻元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-1，解析式為：根據(jù)歐姆定律得出電流與電壓的瞬時(shí)值關(guān)系為：比較得電阻元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：圖3.3-13.3.1電阻元件中的正弦交流電（1）圖3.3-2電阻元件的電壓、電流相量及波形圖電阻元件上電壓、電流相量、波形圖如圖3.3-2所示。圖3.3-2電阻元件的電壓、電流相量及波形圖電阻元件上3.3.2電感中的正弦電流

（1）或（2）頻率相等（3）比較得電感元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-3，解析式為：根據(jù)電感元件上電流與電壓的瞬時(shí)值關(guān)系得：比較得電感元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：圖3.3-33.3.2電感中的正弦電流（1）圖3.3-4電感元件的波形、相量圖

電感元件中電壓、電流的波形、相量圖如圖3.3-4所示?？梢钥闯?，電感上電流滯后電壓為90°。通常把XL=ωL定義為電感元件的感抗，它是電壓有效值與電流有效值的比值,對(duì)于一定的電感L，當(dāng)頻率越高時(shí)，其所呈現(xiàn)的抗感越大，反之越小。在直流情況下，頻率為零，XL=0，電感相當(dāng)于短路。圖3.3-4電感元件的波形、相量圖電感元件中

3.3.3電容中的正弦電流

（1）或（2）頻率相等（3）比較得電容元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-5，解析式為：根據(jù)電容元件上電流與電壓的瞬時(shí)值關(guān)系得：比較得電容元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：圖3.3-53.3.3電容中的正弦電流（1）圖3.3-6電容元件的波形、相量圖以上表明電容電流超前電容電壓90°，可以用相量圖或波形圖清楚地說(shuō)明。如圖3.3-6所示。通常把定義為電容的容抗。圖3.3-6電容元件的波形、相量圖以上表例：圖3.3-7中已知R=3Ω,C=0.125F,

，求電流并畫(huà)相量圖。解：寫(xiě)出各已知量的相量形式：根據(jù)電阻元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)電容元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)KCL的相量形式得：圖3.3-7相量圖如圖3.3-8所示.圖3.3-8例：圖3.3-7中已知R=3Ω,C=0.125F,

例：下圖中已知R=100Ω，C=5μF,L=0.3H,求各元件兩端的電壓。解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：根據(jù)各元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)KVL的相量形式得：例：下圖中已知R=100Ω，C=5μF,L=0.3H,求各元3.4復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及等效變換1、阻抗：（1）定義：無(wú)源二端電路，端口電壓相量與電流相量之比定義為阻抗。并用Z表示,如圖3.4-1所示圖3.4-1（2）公式：或2、各獨(dú)立元件的阻抗：電阻：電感：電容：3.4.1RLC電路的串聯(lián)、復(fù)阻抗3.4復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及等效變換1、阻抗：（13、RLC串聯(lián)電路的阻抗RLC串聯(lián)電路如圖3.4-2(a)所示：3.4-2(b)是RLC串聯(lián)電路的相量模型圖3.4-2根據(jù)相量形式的KVL得:圖3.4-2所以RLC串聯(lián)電路的阻抗3、RLC串聯(lián)電路的阻抗RLC串聯(lián)電路如圖3.4-2(a)所

式中∣Z∣稱(chēng)為阻抗的模，其中X=XL-XC稱(chēng)為電抗，電抗和阻抗的單位都是歐姆。稱(chēng)為阻抗角，它等于電壓超前電流的相位角.當(dāng)XL>XC，>0

時(shí),電路呈感性，電壓超前于電流一個(gè)

角;當(dāng)XL<XC，<0

時(shí),電路呈容性，電壓滯后于電流一個(gè)角;當(dāng)XL=XC，=0時(shí)，電路呈阻性，電壓與電流同相位，此時(shí)電路處于串聯(lián)諧振狀態(tài).4、阻抗角與阻抗模式中∣Z∣稱(chēng)為阻抗的模，其中X=XL-XC稱(chēng)為例：在RLC串聯(lián)電路中，已知R=30Ω,C=40μF，L=127mH，，求電流及各元件兩端的電壓。并畫(huà)相量圖。解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：串聯(lián)電路的阻抗為：串聯(lián)電路的電流為：圖3.4-3例：在RLC串聯(lián)電路中，已知R=30Ω,C=40μF，各元件兩端的電壓為：各元件兩端的電壓為：5、RLC串聯(lián)電路的相量圖阻抗：阻抗模：阻抗角：阻抗三角形：電壓三角形：設(shè)：則：相量圖5、RLC串聯(lián)電路的相量圖阻抗：阻抗模：阻抗角：阻抗三角形：3.4.2RLC電路的并聯(lián)、復(fù)導(dǎo)納

1、導(dǎo)納：（1）定義：無(wú)源二端電路，端口電流相量與電壓相量之比定義為導(dǎo)納。并用Y表示,如圖3.4-5所示（2）公式：或2、各獨(dú)立元件的導(dǎo)納：電阻：電感：電容：圖3.4-53.4.2RLC電路的并聯(lián)、復(fù)導(dǎo)納1、導(dǎo)納：（1）定

對(duì)于如圖圖3.4-6所示R、L、C并聯(lián)電路，根據(jù)相量形式得KCL，得到：圖3.4-6RLC并聯(lián)電路3、RLC并聯(lián)電路的等效導(dǎo)鈉并聯(lián)電路的等效導(dǎo)鈉：其中B=BL-BC稱(chēng)為電納。導(dǎo)鈉模：導(dǎo)鈉角：對(duì)于如圖圖3.4-6所示R、L、C并聯(lián)電路，根據(jù)相量形

無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)既可以用一個(gè)復(fù)阻抗來(lái)等效也可以用一個(gè)復(fù)導(dǎo)納來(lái)等效，對(duì)于同一電路，阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)。

3.4.3復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納的等效變換

若已知阻抗Z=R+jX則等效阻抗為Z=Re+jXe則等效導(dǎo)納為Y=Ge-jBe其中若已知導(dǎo)納Y=G-jB其中無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)既可以用一個(gè)復(fù)阻抗來(lái)等效也可以用一個(gè)3.5正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)設(shè)流過(guò)電阻元件的電流為iR(t)=ImsinωtA其電阻兩端電壓為uR(t)=ImRsinωt=UmsinωtV則在關(guān)聯(lián)參考方向下，瞬時(shí)功率為3.5.1

R、L、C元件的功率和能量pR(t)=u(t)i(t)=2URIRsin2ωt=URIR（1-cos2ωt）W由于cos2ωt≤1,故此pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0電阻元件的瞬時(shí)功率是以?xún)杀队陔妷旱念l率變化的，而且pR（t）≥0，說(shuō)明電阻元件是耗能元件。其瞬時(shí)功率的波形圖如3.5-1所示1、電阻元件的功率3.5正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)設(shè)流過(guò)電阻元件的電圖3.5-1電阻元件的瞬時(shí)功率電阻的平均功率可見(jiàn)對(duì)于電阻元件，平均功率的計(jì)算公式與直流電路相似。圖3.5-1電阻元件的瞬時(shí)功率電阻的平均功率可見(jiàn)對(duì)于電在關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過(guò)電感元件的電流為2、電感元件的功率其瞬時(shí)功率為:

則電感電壓為：

上式表明，電感元件的瞬時(shí)功率也是以?xún)杀队陔妷旱念l率變化的；且pL(t)的值可正可負(fù)，其波形圖如圖3.5-2所示。圖3.5-2電感元件的瞬時(shí)功率在關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過(guò)電感元件的電流為2、電感元件的功率

從圖上看出，當(dāng)uL(t)、iL(t)都為正值時(shí)或都為負(fù)值時(shí)，pL(t)為正，說(shuō)明此時(shí)電感吸收電能并轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存起來(lái)；反之，當(dāng)pL(t)為負(fù)時(shí)，電感元件向外釋放能量。pL(t)的值正負(fù)交替，說(shuō)明電感元件與外電路不斷地進(jìn)行著能量的交換。電感消耗的平均功率為：

電感消耗的平均功率為零，說(shuō)明電感元件不消耗功率，只是與外界交換能量。

從圖上看出，當(dāng)uL(t)、iL(t)都為正值在電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過(guò)電容元件的電流為:

則電容電壓為：

其瞬時(shí)功率為：3．電容元件的功率

uc

(t)、ic(t)、pc(t)的波形如圖3.5-3所示。圖3.5-3電容元件的瞬時(shí)功率

從圖上看出，pc(t)、與pL(t)波形圖相似，電容元件只與外界交換能量而不消耗能量。電容的平均功率也為零，即：電感元件以磁場(chǎng)能量與外界進(jìn)行能量交換，電容元件是以電場(chǎng)能量與外界進(jìn)行能量交換。在電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過(guò)電容元件的電流為:則

3.5.2二端電路的功率1、瞬時(shí)功率在圖3.5-4所示二端電路中，設(shè)電流i(t)及端口電壓u(t)在關(guān)聯(lián)參考方向下，分別為：則二端電路的瞬時(shí)功率為：

圖3.5-4

上式表明，二端電路的瞬時(shí)功率由兩部分組成，第一項(xiàng)為常量，第二項(xiàng)是兩倍于電壓角頻率而變化的正弦量。從圖上看出，u(t)或i(t)為零時(shí)，p(t)為零；當(dāng)二者同號(hào)時(shí)，p(t)為正，電路吸收功率；二者異號(hào)時(shí)，p(t)為負(fù)，電路放出功率，圖上陰影面積說(shuō)明，一個(gè)周期內(nèi)電路吸收的能量比釋放的能量多，說(shuō)明電路有能量的消耗。瞬時(shí)功率的波形如圖3.5-5所示圖3.5-53.5.2二端電路的功率1、瞬時(shí)功率在圖3.5-4所示2、有功功率（也叫平均功率）和功率因素

式中稱(chēng)為二端電路的功率因素，功率因素的值取決于電壓與電流之間的相位差，也叫功率因素角。

有功功率：瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值當(dāng)時(shí)，，電壓與電流正交，單口網(wǎng)絡(luò)不吸收有功功率；當(dāng)，時(shí)，電壓與電流同相，此時(shí)等效成一個(gè)電阻，單端口網(wǎng)絡(luò)吸收功率。一般情況下。

對(duì)RLC串聯(lián)電路（其電壓、電流的相量關(guān)系如圖3.5-6所示）有功功率：圖3.5-62、有功功率（也叫平均功率）和功率因素式中3、無(wú)功功率、視在功率和復(fù)功率

（1）無(wú)功功率：反映一端口網(wǎng)絡(luò)與電源間進(jìn)行能量交換的程度。用Q表示，定義（2）視在功率：通常將二端電路電壓和電流有效值的乘積稱(chēng)為，用S表示，即

S=UI（3）P、Q、S之間的關(guān)系

功率三角形：工程上為了計(jì)算方便，把有功功率作為實(shí)部，無(wú)功功率作為虛部，組成復(fù)數(shù)，稱(chēng)為復(fù)功率，用表示復(fù)功率，即有功功率、無(wú)功功率、視在功率的單位分別用瓦（W）、乏（var）、伏安（V.A）以示區(qū)別。（4）復(fù)功率3、無(wú)功功率、視在功率和復(fù)功率（1）無(wú)功功率：反映一端例：在RLC串聯(lián)電路中已知R=30Ω,C=40μF,L=127mH，，求電流，有功功率、無(wú)功功率、視在功率及功率因素解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：串聯(lián)電路的阻抗為：串聯(lián)電路的電流為：例：在RLC串聯(lián)電路中已知R=30Ω,C=40μF,L

3.5.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的最大功率傳輸

如圖3.5-7所示，交流電源的電壓為，其內(nèi)阻抗為Zs=Rs+jxs，負(fù)載阻抗ZL=RL+jXL

,電路中電流為：電流有效值為：

圖3.5-7負(fù)載吸收的功率為：

負(fù)載獲取最大功率的條件為：負(fù)載能獲取最大功率此時(shí)最大功率為：

3.5.3正弦穩(wěn)態(tài)電路的最大功率傳輸如圖3.5-7

3.5.4功率因數(shù)的提高1、意義：根據(jù)：（1）當(dāng)視在功率額定時(shí)。提高功率因數(shù)可以提高電源設(shè)備的利用率（2）在額定電壓下向負(fù)載輸送一定的有功功率時(shí)，可以減少線路的功率損耗2、方法：根據(jù)：Q=QL-QC，圖3.5-8實(shí)際電路中大部分負(fù)載是感性的，常用在感性負(fù)載兩端并聯(lián)補(bǔ)償電容的方法（如圖圖3.5-8）來(lái)提高功率因數(shù)3、計(jì)算：并聯(lián)補(bǔ)償電容的計(jì)算方法為：額定功率額定電壓補(bǔ)償前功率因數(shù)角補(bǔ)償后功率因數(shù)角3.5.4功率因數(shù)的提高1、意義：根據(jù)：（1）當(dāng)視3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計(jì)算3.6.1相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)的主要步驟1、畫(huà)出電路的相量模型2、根據(jù)KCL、KVL和元件的VCR相量形式，建立電路方程或?qū)懗鱿鄳?yīng)公式，并求解得到電壓電流的相量表達(dá)式。3、根據(jù)計(jì)算得到的電壓相量和電流相量，寫(xiě)出相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式3.6.2阻抗串聯(lián)和并聯(lián)電路分析1、多阻抗的串聯(lián)n個(gè)阻抗串聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來(lái)說(shuō)，等效與一個(gè)阻抗，如圖3.6-1所示，其等效阻抗等于各串聯(lián)阻抗之和，圖3.6-13.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計(jì)算3.6.1相量法分析

2、導(dǎo)納并聯(lián)n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來(lái)說(shuō)，等效與一個(gè)導(dǎo)納，如圖3.6-2所示，其等效導(dǎo)納等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和，圖3.6-2例：圖3.6-3中已知試求電流圖3.6-32、導(dǎo)納并聯(lián)n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來(lái)例：下圖中已知，試求電流。解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：RL串聯(lián)支路的阻抗為：電容C所在支電路的阻抗為：電路的等效阻抗為：電路的電流為：例：下圖中已知，試求電流。解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：RL串3.6.3一般正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：求圖3.6-4中的電壓u1和u2。在一般正弦穩(wěn)態(tài)電路分析中，前面直流電路的分析方法（包括回路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、戴維南定理等）仍然適用，但交流電路中要用復(fù)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。所以首先要畫(huà)出電路的相量模型，然后根據(jù)基本定律（）及電路的分析方法用相量建立復(fù)代數(shù)方程，解出變量的相量。再將求出的相量轉(zhuǎn)換成正弦量。圖3.6-4解：該電路已畫(huà)出相量圖，用節(jié)點(diǎn)電壓法最方便。3.6.3一般正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：求圖3.6-4中的電壓兩個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的一般方程為：寫(xiě)成相量形式為代入已知量得：兩個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的一般方程為：寫(xiě)成相量形式為代入已知量得：化簡(jiǎn)得：轉(zhuǎn)換成瞬時(shí)表達(dá)式為：由克萊姆法則解得：化簡(jiǎn)得：轉(zhuǎn)換成瞬時(shí)表達(dá)式為：由克萊姆法則解得：例：圖3.6-6（a）中，已知，求：（1）若Z4=7Ω，則流過(guò)Z4的電流i多大。(2)若Z4可變。則Z4為多大時(shí)可取得最大功率？最大功率為多大？解：此題用戴維南定理來(lái)解。首先畫(huà)出電路的相量模型。Z4支路斷開(kāi)，求余下電路的戴維南等效電路：電路的相量模型圖3.6-6（b）所示圖3.6-6（a）先求等效電阻：圖3.6-6（b）例：圖3.6-6（a）中，已知再用疊加定理求開(kāi)路電壓：開(kāi)路電壓：戴維南等效電路如圖（3.6-6(c)）：3.6-6(c)(1)電流i的相量為：圖3.6-6（b）再用疊加定理求開(kāi)路電壓：開(kāi)路電壓：戴維南等效電路如圖（3.6根據(jù)最大功率傳輸定理得：Z4=Z*0=7.16-j1.82Ω時(shí)可取得最大功率最大功率為說(shuō)明：當(dāng)負(fù)載是純電阻時(shí)，獲得最大功率的條件是：ZL=Z0最大功率為：根據(jù)最大功率傳輸定理得：Z4=Z*0=7.16-j1例：圖3.6-5中已知。求電流i1(t)和i2(t)

。圖3.6-5例：圖3.6-5中已知5.1

1、諧振條件：諧振現(xiàn)象：含有電容器和電感的線性無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)在激勵(lì)為某一頻率時(shí)，端口電流和端口電壓同相的現(xiàn)象。3.7.1串聯(lián)諧振的條件和特征串聯(lián)諧振電路的阻抗諧振頻率：應(yīng)用：3.7串聯(lián)及并聯(lián)電路的諧振5.1

1、諧振條件：諧振現(xiàn)象：含有電容器和電感的線性無(wú)2、諧振特征（1）阻抗特征：阻抗最小且為純電阻。特征阻抗ρ：諧振時(shí)的感抗或容抗。（2）電流特征：電流最大且與端口電壓同相2、諧振特征（1）阻抗特征：阻抗最小且為純電阻。特征阻抗ρ：（3）電壓特征：①電感兩端的電壓和電容兩端的電壓大小相等，相位相反，其大小為電源電壓的Q倍。②品質(zhì)因數(shù)Q：特征阻抗與電路中純電阻的比值。③電阻上電壓與整個(gè)諧振電路兩端的電壓相等。（3）電壓特征：①電感兩端的電壓和電容兩端的電壓大小相等，相（4）功率特征：無(wú)功功率：有功功率：②諧振時(shí)，電源只向電阻提供有功功率。①諧振時(shí)，電源不向電路提供無(wú)功功率。（5）能量特征：①諧振時(shí)，電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量的最大值相等②諧振時(shí)，在一定外加電壓下，電磁能量與電路的品質(zhì)因數(shù)的平方成正比（4）功率特征：無(wú)功功率：有功功率：②諧振時(shí)，電源只向電阻例：在RLC串聯(lián)電路中已知R=1kΩ,C=400μF,L=1mH，求諧振時(shí)的頻率f0、回路的特征阻抗ρ和品質(zhì)因素Q各為多少？解：諧振頻率為：特征阻抗為：品質(zhì)因素為：例：在RLC串聯(lián)電路中已知R=1kΩ,C=400μF,頻率特性：（1）阻抗與導(dǎo)納的頻率特性復(fù)阻抗的模值隨頻率變化的關(guān)系稱(chēng)為幅頻特性。阻抗角隨頻率的變化特性。不同R值（Q值不同）時(shí)，電流的諧振曲線：

電流與頻率的關(guān)系曲線稱(chēng)為電流諧振曲線。（2）電流的諧振曲線：電路中的電流、電壓、阻抗、導(dǎo)納等隨頻率而變化的關(guān)系稱(chēng)為頻率特性。電流、電壓與頻率的關(guān)系曲線稱(chēng)為諧振曲線。諧振曲線：幅頻特性：相頻特性：3.7.2串聯(lián)諧振電路的諧振曲線頻率特性：（1）阻抗與導(dǎo)納的頻率特性復(fù)阻抗的模值隨頻率變化的（3）串聯(lián)諧振電路的通頻帶1）通頻帶的概念：把電流諧振曲線上

所對(duì)應(yīng)的頻率范圍稱(chēng)為該回路的通頻帶B。2）通頻帶B與品質(zhì)因素Q的關(guān)系:

通頻帶B與品質(zhì)因素Q成反比，Q值愈大，諧振曲線愈尖銳，通頻帶愈窄，回路的選擇性愈好。（3）串聯(lián)諧振電路的通頻帶1）通頻帶的概念：把電流諧振曲線上1、諧振條件：2、諧振特征：（1）阻抗最大（2）電壓最大（3）電流特征：3、并聯(lián)諧振電路的諧振曲線和通頻帶（1）電壓的幅頻特性曲線和相頻特性曲線（2）并聯(lián)諧振回路的通頻帶3.7.3并聯(lián)電路的諧振1、諧振條件：2、諧振特征：（1）阻抗最大（2）電壓最大（33.8.1耦合電感元件及伏安特性自感現(xiàn)象：當(dāng)通過(guò)電感線圈的電流變化時(shí)，在其自身產(chǎn)生感生電壓的現(xiàn)象，產(chǎn)生的電壓稱(chēng)為自感電壓。伏安關(guān)系：對(duì)正弦量：3.8耦合電感電路與理想變壓器（關(guān)聯(lián)參考方向）3.8.1耦合電感元件及伏安特性自感現(xiàn)象：當(dāng)通過(guò)電感線圈像這種一個(gè)線圈的磁通與另一個(gè)線圈相交鏈的現(xiàn)象，稱(chēng)為磁耦合，即互感。Φ21

和Φ12

稱(chēng)為耦合磁通或互感磁通。圖3.8-1耦合電感1、互感現(xiàn)象：由于一個(gè)線圈中的電流變化在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生感生電壓的現(xiàn)象，稱(chēng)為互感現(xiàn)象，產(chǎn)生的電壓叫互感電壓。像這種一個(gè)線圈的磁通與另一個(gè)線圈相交鏈的現(xiàn)象，稱(chēng)為磁耦合，即定義互感系數(shù)：

因?yàn)棣?1≤Φ11，Φ12≤Φ22，線圈1的自感磁鏈與互感磁鏈分別為ψ11=N1Φ11，ψ12=N1Φ12；線圈2的自感磁鏈與互感磁鏈分別為ψ22=N2Φ22，ψ21=N2Φ21。可以證明：M21=M12=M定義耦合系數(shù)K

0≤K≤1，K值越大，說(shuō)明兩個(gè)線圈之間耦合越緊，當(dāng)K=1時(shí)，稱(chēng)全耦合，當(dāng)K=0時(shí)，說(shuō)明兩線圈沒(méi)有耦合。所以可以得出定義互感系數(shù)：因?yàn)棣?1≤Φ11，Φ12≤Φ22圖3.8-1中:

2、耦合電感元件的電壓、電流關(guān)系

由電磁感應(yīng)定律式中、分別為線圈1、2的自感電壓，、分別為線圈1、2的互感電壓。

圖3.8-1中:2、耦合電感元件的電壓、電流關(guān)系如果自感磁通與互感磁通的方向相反，即磁通相消，如圖3.8-2所示，耦合電感的電壓、電流關(guān)系方程式為：圖3.8-2耦合電感如果自感磁通與互感磁通的方向相反，即磁通相消，如圖3.8-23.8.2同名端

1、同名端的規(guī)定：具有磁耦合的兩線圈，當(dāng)電流分別從兩線圈各自的某端同時(shí)流入（或流出）時(shí)，若兩者產(chǎn)生的磁通相助，則這兩端叫作互感線圈的同名端，用黑點(diǎn)“·”或星號(hào)“*”作標(biāo)記。例如，圖3.8-3，判斷電流從兩個(gè)線圈的“*”標(biāo)記端流入時(shí)，磁通的方向。圖3.8-3同名端3.8.2同名端1、同名端的規(guī)定：圖3.8-4（a）（b）(c)(d)例如，寫(xiě)出圖3.8-4中耦合線圈的伏安關(guān)系圖3.8-4（a）（b）(c)(d)例如，寫(xiě)出圖3.82、同名端判斷方法：如圖3.8-5當(dāng)開(kāi)關(guān)突然閉合時(shí)，如果電壓表的指針正向偏轉(zhuǎn)，則表示接電壓表正極性端鈕與電源的正極性端為一對(duì)同名端。即這里1和3為一對(duì)同名端。如電壓表的指針?lè)聪蚱D(zhuǎn)，則端鈕1與端鈕4為同名端。圖3.8-52、同名端判斷方法：如圖3.8-5當(dāng)開(kāi)關(guān)突然3.8.3耦合電感的串聯(lián)分析耦合電感的串聯(lián)有兩種方式——順接和反接。順接串聯(lián)就是異名端相接，如圖3.8-6（a）所示。

由此可知，順接串聯(lián)的耦合電感可以用一個(gè)等效電感L來(lái)代替，如圖3.8-6（b）所示，等效電感L=L1+L2+2M圖3.8-6耦合電感順接串聯(lián)因?yàn)轫樈哟?lián)耦合電感的電流從同名端流入，且電流相等所以3.8.3耦合電感的串聯(lián)分析耦合電感的串聯(lián)有圖3.8-7耦合電感的反接串聯(lián)由此可知，反接串聯(lián)的耦合電感可以用一個(gè)等效電感L代替如圖3.8-7(b)

，等效電感L的值L=L1+L2-2M

耦合電感的另一種串聯(lián)方式是反接串聯(lián)。反接串聯(lián)是同名端相接，如圖3.8-7(a)所示，因?yàn)榉唇哟?lián)耦合電感的電流從異名端流入，且電流相等所以圖3.8-7耦合電感的反接串聯(lián)由此可知，反接串聯(lián)的1、互感線圈的同名端連在一起如圖3.8-8（a）所示，為三支路共一節(jié)點(diǎn)、其中有兩條支路存在互感的電路，由圖可知，L1的b端與L2的d端是同名端且連接在一起，可以等效為圖3.8-8（b）所示的互感線圈的T型去耦等效電路。3.8.4耦合電感的T型分析圖3.8-8同名端相連的T型去耦等效電路

1、互感線圈的同名端連在一起3.8.4耦合電感的T型分將以上兩式經(jīng)數(shù)學(xué)變換，可得畫(huà)出兩式T型等效電路如圖3.8-8（b）所示。在圖（b）中因有3個(gè)電感相互間無(wú)互感，它們的自感系數(shù)分別為L(zhǎng)1-M、L2-M和M，又連接成T型結(jié)構(gòu)形式，所以稱(chēng)之為互感線圈的T型去耦等效電路。兩線圈上的電壓分別為

將以上兩式經(jīng)數(shù)學(xué)變換，可得畫(huà)出兩式T型等效電路如圖2、互感線圈的異名端連接在一起圖3.8-9(a)中，兩線圈上的電壓分別為：圖3.8-9（b）異名端相連的T型去耦等效電路

將以上兩式經(jīng)數(shù)學(xué)變換，可得

畫(huà)得T型等效電路如圖3.8-9(b)所示：2、互感線圈的異名端連接在一起圖3.8-9(a)中，兩圖3.8-10兩個(gè)耦和電感的并聯(lián)

利用上述等效電路，可以得出如圖3.8-10(a)和(c)所示的耦合電感并聯(lián)的去耦等效電路，分別如圖3.8-10(b)

和(d)所示。由圖(b)(d)應(yīng)用無(wú)互感的電感串、并聯(lián)關(guān)系，可以得到同名端、異名端連接時(shí)耦合電感并聯(lián)的等效電感為

圖3.8-10兩個(gè)耦和電感的并聯(lián)利用上述耦合電感中有電阻時(shí)等效關(guān)系如圖3.8-11所示：圖3.8-11耦合電感中有電阻時(shí)等效關(guān)系如圖3.8-11所示：圖3.8-13.8.5空芯變壓器所謂空芯變壓器是由兩個(gè)繞在非鐵磁材料制成的芯子上并且具有互感的線圈組成的，其耦合系數(shù)較小，屬于松耦合。

設(shè)空芯變壓器電路如圖3.8-12所示，其中R!、R2分別為變壓器初、次級(jí)繞組的電阻，RL為負(fù)載電阻，設(shè)uS為正弦輸入電壓。圖3.8-12圖3.8-13變壓器的相量模型如圖3.8-13所示3.8.5空芯變壓器所謂空芯變壓器是由兩個(gè)繞在非鐵或?qū)憺椋骸?.8-13空心變壓器相量模型圖變壓器的相量模型如圖3.8-13所示，列出回路方程為：Z11=R1+jωL1

稱(chēng)為初級(jí)回路自阻抗；Z22=R2+jωL2+RL

稱(chēng)為次級(jí)回路自阻抗；Z12=Z21=jωM

稱(chēng)為初次級(jí)回路互阻抗式中：或?qū)憺椋骸?.8-13空心變壓器相量模型圖變壓器的相量模型如求得的初級(jí)、次級(jí)電流相量分別為：……(1)……(2)有(1)式得：次極回路接負(fù)載后對(duì)初級(jí)回路的影響相當(dāng)與在初級(jí)回路中串聯(lián)一個(gè)阻抗Z1’，這個(gè)阻抗稱(chēng)為副邊在原邊的反射阻抗。求得的初級(jí)、次級(jí)電流相量分別為：……(1)……(2)有由電源端看進(jìn)去的等效電路，也就是初級(jí)等效電路應(yīng)如圖3.8-14所示。當(dāng)我們只需要求解初級(jí)電流時(shí)，可利用這一等效電路迅速求得結(jié)果。

圖3.8-14初級(jí)等效電路輸入阻抗：由電源端看進(jìn)去的阻抗為：

由此可見(jiàn)，輸入阻抗由兩部分組成：即初級(jí)回路的自阻抗及次級(jí)回路在初級(jí)回路的反映阻抗。由電源端看進(jìn)去的等效電路，也就是初級(jí)等效電路應(yīng)如圖3.8-1有(2)式得：初級(jí)回路對(duì)次級(jí)回路的影響相當(dāng)與在次級(jí)回路中接入等效電壓源U’S

及串聯(lián)一個(gè)等效阻抗Z’2。次級(jí)回路的等效如圖3.8-15所示。當(dāng)我們只需要求解次級(jí)電流時(shí)，可利用這一等效電路迅速求得結(jié)果。圖3.8-15有(2)式得：初級(jí)回路對(duì)次級(jí)回路的影響相當(dāng)與在次級(jí)回路中接入3.8.6理想變壓器

理想變壓器是鐵芯變壓器的理想化模型，它的唯一參數(shù)只是一個(gè)稱(chēng)之為變比的常數(shù)n，而不是L1、L2、

M等參數(shù)，理想變壓器滿足以下3個(gè)理想條件：(1)耦合系數(shù)K=1，即為全耦合；(2)自感系數(shù)L1、L2為無(wú)窮大，但L1/L2為常數(shù)。(3)無(wú)任何損耗，這意味著繞線圈的金屬導(dǎo)線無(wú)任何電阻，做芯的鐵磁材料的磁導(dǎo)率μ無(wú)窮大.1、理想變壓器電壓變換特性圖3.8-16(a)所示的鐵芯變壓器，其初、次級(jí)匝數(shù)分別為N1和N2，可判定a、c為同名端，設(shè)i1、i2分別從同名端流入（屬磁通相助），設(shè)初、次級(jí)電壓u1、u2與各自線圈上的電流i1、i2為關(guān)聯(lián)參考方向。圖3.8-16變壓器示意圖及其模型

3.8.6理想變壓器理想變壓器是鐵芯變壓器的由于為全耦合，則線圈的互感磁通必等于自感磁通，即φ21=φ11，φ12=φ22，穿過(guò)初、次級(jí)線圈的磁通相同，即圖3.8-16變壓器示意圖及其模型

φ11+φ12=φ11+φ22=φφ22+φ21=φ22+φ11=φ上式中φ稱(chēng)為主磁通。由于為全耦合，則線圈的互感磁通必等于自感磁通，即φ2初、次級(jí)線圈交鏈的磁鏈ψ1、ψ2分別為對(duì)ψ1、ψ2求導(dǎo)，得初、次級(jí)電壓分別為

所以

或上式為理想變壓器初、次級(jí)電壓之間的關(guān)系。式中n稱(chēng)為匝比或變比，它等于初級(jí)與次級(jí)線圈的匝數(shù)之比。ψ1=N1φψ2=N2φ初、次級(jí)線圈交鏈的磁鏈ψ1、ψ2分別為對(duì)ψ1、ψ2求導(dǎo)，得初上式反映了理想變壓器初、次級(jí)電流之間的關(guān)系。通過(guò)以上分析，說(shuō)明理想變壓器具有變換電壓和電流的作用。在正弦穩(wěn)態(tài)下，其相量形式為即2、理想變壓器電流變換特性任意時(shí)刻，理想變壓器吸收的功率恒等于零。例如對(duì)圖3.8-16

所示的理想變壓器，其瞬時(shí)功率為上式反映了理想變壓器初、次級(jí)電流之間的關(guān)系。即2應(yīng)該強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：（1）對(duì)于變壓關(guān)系式取“+”還是取“-”，僅取決于電壓參考方向與同名端的位置。當(dāng)u1、u2參考方向在同名端極性相同時(shí)，則該式冠以“+”號(hào)；反之，若u1、u2參考方向一個(gè)在同名端為“+”，一個(gè)在異名端為“+”，該式冠以“-”號(hào)。（2）對(duì)于變流關(guān)系式取“+”還是取“-”，僅取決于電流參考方向與同名端的位置。當(dāng)初、次級(jí)電流i1、i2分別從同名端同時(shí)流入（或同時(shí)流出）時(shí)，該式冠以“-”號(hào)，反之若i1、i2一個(gè)從同名端流入，一個(gè)從異名端流入，該式冠以“+”號(hào)。（3）任意時(shí)刻，理想變壓器吸收的功率恒等于零。例如對(duì)圖3.8-16所示的理想變壓器，其瞬時(shí)功率為應(yīng)該強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)：（3）任意時(shí)刻，理想變壓器吸收的功率恒等于

3、理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)理想變壓器在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，還表現(xiàn)出有變換阻抗的特性，如圖3.8-17所示理想變壓器，次級(jí)接負(fù)載阻抗ZL，由設(shè)出的電壓、電流參考方向及同名端位置，可得理想變壓器在正弦電路里相量形式為圖3.8-17理想變壓器阻抗變換特性

3、理想變壓器的阻抗變換性質(zhì)圖3.8-17理想變壓由ab端看，輸入阻抗為因負(fù)載ZL上電壓、電流為非關(guān)聯(lián)參考方向，將代入上式，即得由ab端看，輸入阻抗為因負(fù)載ZL上電壓上式表明，當(dāng)次級(jí)接阻抗ZL，對(duì)初級(jí)來(lái)說(shuō)，相當(dāng)于在初級(jí)接一個(gè)值為n2ZL的阻抗，即理想變壓器有變換阻抗的作用。習(xí)慣上把ZL稱(chēng)為次級(jí)對(duì)初級(jí)的折合阻抗。實(shí)際應(yīng)用中，一定的電阻負(fù)載RL接在變壓器次級(jí)，在變壓器初級(jí)相當(dāng)于接（N1/N2)2RL的電阻。如果改變n=N1/N2，輸入電阻n2RL也改變，所以可利用改變變壓器匝比來(lái)改變輸入電阻，實(shí)現(xiàn)與電源匹配，使負(fù)載獲得最大功率。由以上介紹可知，理想變壓器有3個(gè)主要性能，即變壓、變流、變阻抗。理想變壓器的變壓關(guān)系適用于一切變動(dòng)的電壓、電流情況。上式表明，當(dāng)次級(jí)接阻抗ZL，對(duì)初級(jí)來(lái)說(shuō)，相當(dāng)小結(jié)1、本章講述的耦合電感元件是線性電路中一種主要的無(wú)源非時(shí)變多端元件，它就是實(shí)際中使用的空芯變壓器，在實(shí)際電路中有著廣泛的應(yīng)用。2、耦合電感的同名端在列寫(xiě)伏安關(guān)系及去耦等效中是非常重要的，只有知道了同名端，并設(shè)出電壓、電流參考方向的條件下，才能正確列寫(xiě)u-i關(guān)系方程，也才能進(jìn)行去耦等效。3、空芯變壓器電路的分析，亦就是對(duì)含互感線圈電路的分析，我們講述的是這類(lèi)電路在正弦穩(wěn)態(tài)下分析計(jì)算的基本方法，仍然是運(yùn)用相量法。即根據(jù)相量模型列出初、次級(jí)的回路方程，進(jìn)而求出初、次級(jí)電流相量、次級(jí)回路在初級(jí)回路中的反映阻抗等。必須注意的是，按KVL列回路方小程，應(yīng)計(jì)入由于互感作用而存在的互感電壓，應(yīng)正確選定互感作用而存在的互感電壓，應(yīng)正確選定互感電壓的正負(fù)號(hào)。4、理想變壓器是實(shí)際鐵芯變壓器的理想化模型，它是滿足無(wú)損耗、全耦合、參數(shù)無(wú)窮大三個(gè)理想條件的另一類(lèi)多端元件。它的初、次級(jí)電壓電流關(guān)系是代數(shù)關(guān)系，因而它是不儲(chǔ)能、不耗能的即時(shí)元件，是一種無(wú)記憶元件。變壓、變流、變阻抗是理想變壓器的三個(gè)重要特征，其變壓、變流關(guān)系式與同名端及所設(shè)電壓、電流參考方向密切相關(guān)，應(yīng)用中只需記住變壓與匝數(shù)成正比，變流與匝數(shù)成反比，至于變壓、變流關(guān)系式中應(yīng)是帶負(fù)號(hào)還是帶正號(hào)，則要看同名端位置與所設(shè)電壓電流參考方向，不能一概而論盲目記住一種變換式。程，應(yīng)計(jì)入由于互感作用而存在的互感電壓，應(yīng)正確選定互感作用而本章小結(jié)本章的主要內(nèi)容章有：正弦交流電路的基本概念及其分析計(jì)算。在學(xué)習(xí)正弦交流電路的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)解決四個(gè)問(wèn)題：1、利用復(fù)數(shù)概念，將正弦量用復(fù)數(shù)表示，使正弦交流電路的分析計(jì)算，化為相量運(yùn)算。2、阻抗或?qū)Ъ{雖然不是正弦量，也能用復(fù)數(shù)表示，從而歸結(jié)出相量形式的歐姆定律與基爾霍夫定律。以此為依據(jù)，使一切簡(jiǎn)單或復(fù)雜的直流電路的規(guī)律，原理、定理和方法都能適用于交流電路。3、交流電路的分析計(jì)算除了數(shù)值上的問(wèn)題，還有相位問(wèn)題。本章小結(jié)Answerofhomework（NO.5）6-12見(jiàn)課本習(xí)題答案;6-14見(jiàn)課本習(xí)題答案;6-150.22s2-16見(jiàn)課本習(xí)題答案;6-24見(jiàn)課本習(xí)題答案;3-175°，i1

超前i2Answerofhomework（NO.5）6-12第3章正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析

3.3單一參數(shù)的交流電路3.4復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及等效變換3.2正弦量的相量表示法3.1正弦量的基本概念3.5正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)3.6正弦穩(wěn)態(tài)電路的計(jì)算3.7串聯(lián)及并聯(lián)電路的諧振3.8耦合電感電路與理想變壓器第3章正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析3.3單一學(xué)習(xí)目標(biāo)

正確理解正弦量的概念，牢記正弦量的三要素。正確區(qū)分瞬時(shí)值、最大值、有效值和平均值。深刻理解正弦量的相量表示法。深刻理解和掌握交流電路中電阻、電容、電感元件上的電壓、電流之間的相位關(guān)系，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。正確區(qū)分瞬時(shí)功率、平均功率、有功功率、無(wú)功功率和視在功率，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算。

學(xué)習(xí)目標(biāo)正確理解正弦量的概念，牢記正3.1正弦量的基本概念若電壓、電流是時(shí)間t的正弦函數(shù)，稱(chēng)為正弦交流電。

以電流為例，正弦量的一般解析式為：瞬時(shí)值i(t)：時(shí)間t不同時(shí)取值不同3.1.1正弦量的三要素振幅Im

：正弦量變化的最大值相位：表示正弦量變化進(jìn)程。初相：當(dāng)t=0時(shí)的相位叫初相位角頻率ω：正弦量單位時(shí)間變化的弧度數(shù)（rad/s）把振幅、角頻率和初相稱(chēng)為正弦量的三要素。只有確定了三要素，正弦量才是確定的。波形如圖3.1-1所示圖3.1-1正弦量的波形從波形圖中也可讀出正弦量的三要素3.1正弦量的基本概念若電壓、電流是時(shí)間t的正弦函因?yàn)檎伊棵拷?jīng)歷一個(gè)周期的時(shí)間T，相位增加2π，則角頻率ω、周期T和頻率?之間關(guān)系為：

ω、T、?反映的都是正弦量變化的快慢，ω越大，即?越大或T越小，正弦量變化越快；ω越小，即?越小或T越大，正弦量變化越慢。

3.1.2頻率與周期3.1.3初相位及相位差初相位反映正弦量的起始位置，通常在的范圍內(nèi)取值

用正弦函數(shù)表示正弦波形時(shí)，把波形圖上原點(diǎn)前后正負(fù)T/2內(nèi)曲線由負(fù)變正經(jīng)過(guò)零值的那一點(diǎn)作為正弦波的起點(diǎn)。初相角就是波形起點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的角度，于是初相角不大于，且波形起點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)；反之。因?yàn)檎伊棵拷?jīng)歷一個(gè)周期的時(shí)間T，相位增加2π，則圖3.1-2如圖3.1-2所示，初相分別為0、

由圖可見(jiàn)，初相為正值的正弦量，在t=0時(shí)的值為正，起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)之左；初相為負(fù)值的正弦量，在t=0時(shí)的值為負(fù)，起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)之右。圖3.1-2如圖3.1-2所示，初相分別為0、

設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦量為

叫做它們的相位差。

正弦量的相位是隨時(shí)間變化的，但同頻率的正弦量的相位差不變，等于它們的初相之差。同相：初相相等的兩個(gè)正弦量，它們的相位差為零，反相:如果，則兩個(gè)正弦量反相。超前：如果，則表示i1超前i2

滯后：如果，則表示i1滯后i2

正交：如果，則兩個(gè)正弦量正交

設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦量為叫做它們的相位差。如圖3.1-3（a）、（b）、（c）、（d）分別表示兩個(gè)正弦量同相、超前、正交、反相。圖3.1-3i1與i2同相、超前、正交、反相如圖3.1-3（a）、（b）、（c）、（d）分別表示兩個(gè)正弦注意：（1），否則無(wú)法得出導(dǎo)前、之后等結(jié)論。（2）比較的正弦信號(hào)的表示方法應(yīng)相同（本書(shū)用正弦）。（3）不同頻率的正弦量相位差是隨時(shí)間變化的（本書(shū)中談到的相位差都是指同頻率之間的相位差）。，

例：某電路中，則他們的三要素分別為多少？有效值為多少？它們的相位差為多少？

同頻率正弦量的相位差，不隨時(shí)間變化，與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。為了分析問(wèn)題的方便，在一些有關(guān)的同頻率正弦量中，可以選擇其中的一個(gè)初相為零的正弦量為參考，其他正弦量的初相必須與這個(gè)參考正弦量的初相比較，即以其他正弦量的初相等于它們和參考正弦量之間的相位差。在n個(gè)正弦量中，只能選擇一個(gè)為參考正弦量。注意：（1），否則無(wú)法得出導(dǎo)前、之后等結(jié)論。

1、有效值周期量的有效值定義為：一個(gè)周期量和一個(gè)直流量，分別作用于同一電阻，如果經(jīng)過(guò)一個(gè)周期的時(shí)間產(chǎn)生相等的熱量，則這個(gè)周期量的有效值等于這個(gè)直流量的大小。電流、電壓有效值用大寫(xiě)字母I、U表示。根據(jù)有效值的定義，則有

則周期電流的有效值為3.1.3正弦電流、電壓的有效值2、正弦量的有效值對(duì)于正弦電流，設(shè)同理:正弦量的最大值與有效值之間存在著的關(guān)系1、有效值周期量的有效值定義為：一個(gè)周期量和一個(gè)直流量

3.2正弦量的相量表示法

3.2.1復(fù)數(shù)及其運(yùn)算規(guī)律

圖3.2-1②代數(shù)式：③指數(shù)式：④極坐標(biāo)式1、復(fù)數(shù)及其表示（1）復(fù)數(shù)：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，定義為復(fù)數(shù)。其中j稱(chēng)為虛數(shù)單位：j2=-1

（2）表示①向量圖表示（見(jiàn)圖3.2-1）：實(shí)部：a虛部：b模：輻角：3.2正弦量的相量表示法例：代數(shù)式與極坐標(biāo)式互換（2）各種表示間的相互轉(zhuǎn)換例：代數(shù)式與極坐標(biāo)式互換（2）各種表示間的相互轉(zhuǎn)換2、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)相等：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，其實(shí)部和虛部分別相等A1±A2=（a1+jb1）±(a2+jb2)=(a1±a2)+j(b1±b2)

即：若A1=a1+jb1A2=a2+jb2

A1=A2則：a1=a2b1=b2（2）加減運(yùn)算：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（或相減）時(shí)，將實(shí)部與實(shí)部相加（或相減），虛部與虛部相加（或相減）。即：（3）乘除運(yùn)算：此運(yùn)算用指數(shù)式或極坐標(biāo)式進(jìn)行較簡(jiǎn)單，作乘除運(yùn)算時(shí)，分別把模進(jìn)行乘除，輻角進(jìn)行加減。即若：（4）旋轉(zhuǎn)因子任何一個(gè)復(fù)數(shù)A乘以等于把復(fù)數(shù)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，所以稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)因子。2、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)相等：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，其實(shí)部和虛部分別相3.2.2正弦量的相量表示法

（2）相量與正弦量的關(guān)系：一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

把這個(gè)復(fù)數(shù)分別稱(chēng)為正弦量的有效值相量和振幅相量。特別應(yīng)該注意，相量與正弦量之間只具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不是相等的關(guān)系。

也可表示成：（1）相量表示:用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量.復(fù)數(shù)的模和幅角分別等于正弦量的幅值和初相位3.2.2正弦量的相量表示法（2）例:已知u1=141sin(ωt+60o)V，u

2=70.7sin(ωt-45o)V。求：⑴求相量；(2)求兩電壓之和的瞬時(shí)值u(t)（3）畫(huà)出相量圖解（1）（3）相量的表示方法：可以用復(fù)數(shù)表示方法的任意一種（4）相量的運(yùn)算：可以用復(fù)數(shù)運(yùn)算的任何一種（2）例:已知u1=141sin(ωt+60o)V，u2（3）相量圖如圖3.2-2所示圖3.2-2例：已知：求：（3）相量圖如圖3.2-2所示圖3.2-2例：已知：求：3.2.3、基爾霍夫定律的相量形式（1）KCL的相量形式（2）KVL的相量形式例：已知圖3.2-3中求并畫(huà)相量圖。圖3.2-3解：由KVL得：寫(xiě)成相量形式為：3.2.3、基爾霍夫定律的相量形式（1）KCL的相量形式（例：已知下圖中求：圖3.2-4相量圖如圖3.2-4所示。例：已知下圖中求：圖3.2-4相量圖如圖3.2-4所示。3.3單一參數(shù)的交流電路

在交流電路中，電壓和電流是變動(dòng)的，是時(shí)間的函數(shù)。電路元件不僅有耗能元件的電阻，而且有儲(chǔ)能元件電感和電容。下面分別討論它們的伏安關(guān)系式（即VAR）的相量形式及在正弦交流電路中的功率。3.3單一參數(shù)的交流電路在交流電路中，電壓和電流是3.3.1電阻元件中的正弦交流電

（1）或（2）頻率相等（3）初相位相等

比較得電阻元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-1，解析式為：根據(jù)歐姆定律得出電流與電壓的瞬時(shí)值關(guān)系為：比較得電阻元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：圖3.3-13.3.1電阻元件中的正弦交流電（1）圖3.3-2電阻元件的電壓、電流相量及波形圖電阻元件上電壓、電流相量、波形圖如圖3.3-2所示。圖3.3-2電阻元件的電壓、電流相量及波形圖電阻元件上3.3.2電感中的正弦電流

（1）或（2）頻率相等（3）比較得電感元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-3，解析式為：根據(jù)電感元件上電流與電壓的瞬時(shí)值關(guān)系得：比較得電感元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：圖3.3-33.3.2電感中的正弦電流（1）圖3.3-4電感元件的波形、相量圖

電感元件中電壓、電流的波形、相量圖如圖3.3-4所示。可以看出，電感上電流滯后電壓為90°。通常把XL=ωL定義為電感元件的感抗，它是電壓有效值與電流有效值的比值,對(duì)于一定的電感L，當(dāng)頻率越高時(shí)，其所呈現(xiàn)的抗感越大，反之越小。在直流情況下，頻率為零，XL=0，電感相當(dāng)于短路。圖3.3-4電感元件的波形、相量圖電感元件中

3.3.3電容中的正弦電流

（1）或（2）頻率相等（3）比較得電容元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-5，解析式為：根據(jù)電容元件上電流與電壓的瞬時(shí)值關(guān)系得：比較得電容元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：圖3.3-53.3.3電容中的正弦電流（1）圖3.3-6電容元件的波形、相量圖以上表明電容電流超前電容電壓90°，可以用相量圖或波形圖清楚地說(shuō)明。如圖3.3-6所示。通常把定義為電容的容抗。圖3.3-6電容元件的波形、相量圖以上表例：圖3.3-7中已知R=3Ω,C=0.125F,

，求電流并畫(huà)相量圖。解：寫(xiě)出各已知量的相量形式：根據(jù)電阻元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)電容元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)KCL的相量形式得：圖3.3-7相量圖如圖3.3-8所示.圖3.3-8例：圖3.3-7中已知R=3Ω,C=0.125F,

例：下圖中已知R=100Ω，C=5μF,L=0.3H,求各元件兩端的電壓。解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：根據(jù)各元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)KVL的相量形式得：例：下圖中已知R=100Ω，C=5μF,L=0.3H,求各元3.4復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及等效變換1、阻抗：（1）定義：無(wú)源二端電路，端口電壓相量與電流相量之比定義為阻抗。并用Z表示,如圖3.4-1所示圖3.4-1（2）公式：或2、各獨(dú)立元件的阻抗：電阻：電感：電容：3.4.1RLC電路的串聯(lián)、復(fù)阻抗3.4復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納及等效變換1、阻抗：（13、RLC串聯(lián)電路的阻抗RLC串聯(lián)電路如圖3.4-2(a)所示：3.4-2(b)是RLC串聯(lián)電路的相量模型圖3.4-2根據(jù)相量形式的KVL得:圖3.4-2所以RLC串聯(lián)電路的阻抗3、RLC串聯(lián)電路的阻抗RLC串聯(lián)電路如圖3.4-2(a)所

式中∣Z∣稱(chēng)為阻抗的模，其中X=XL-XC稱(chēng)為電抗，電抗和阻抗的單位都是歐姆。稱(chēng)為阻抗角，它等于電壓超前電流的相位角.當(dāng)XL>XC，>0

時(shí),電路呈感性，電壓超前于電流一個(gè)

角;當(dāng)XL<XC，<0

時(shí),電路呈容性，電壓滯后于電流一個(gè)角;當(dāng)XL=XC，=0時(shí)，電路呈阻性，電壓與電流同相位，此時(shí)電路處于串聯(lián)諧振狀態(tài).4、阻抗角與阻抗模式中∣Z∣稱(chēng)為阻抗的模，其中X=XL-XC稱(chēng)為例：在RLC串聯(lián)電路中，已知R=30Ω,C=40μF，L=127mH，，求電流及各元件兩端的電壓。并畫(huà)相量圖。解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：串聯(lián)電路的阻抗為：串聯(lián)電路的電流為：圖3.4-3例：在RLC串聯(lián)電路中，已知R=30Ω,C=40μF，各元件兩端的電壓為：各元件兩端的電壓為：5、RLC串聯(lián)電路的相量圖阻抗：阻抗模：阻抗角：阻抗三角形：電壓三角形：設(shè)：則：相量圖5、RLC串聯(lián)電路的相量圖阻抗：阻抗模：阻抗角：阻抗三角形：3.4.2RLC電路的并聯(lián)、復(fù)導(dǎo)納

1、導(dǎo)納：（1）定義：無(wú)源二端電路，端口電流相量與電壓相量之比定義為導(dǎo)納。并用Y表示,如圖3.4-5所示（2）公式：或2、各獨(dú)立元件的導(dǎo)納：電阻：電感：電容：圖3.4-53.4.2RLC電路的并聯(lián)、復(fù)導(dǎo)納1、導(dǎo)納：（1）定

對(duì)于如圖圖3.4-6所示R、L、C并聯(lián)電路，根據(jù)相量形式得KCL，得到：圖3.4-6RLC并聯(lián)電路3、RLC并聯(lián)電路的等效導(dǎo)鈉并聯(lián)電路的等效導(dǎo)鈉：其中B=BL-BC稱(chēng)為電納。導(dǎo)鈉模：導(dǎo)鈉角：對(duì)于如圖圖3.4-6所示R、L、C并聯(lián)電路，根據(jù)相量形

無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)既可以用一個(gè)復(fù)阻抗來(lái)等效也可以用一個(gè)復(fù)導(dǎo)納來(lái)等效，對(duì)于同一電路，阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)。

3.4.3復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納的等效變換

若已知阻抗Z=R+jX則等效阻抗為Z=Re+jXe則等效導(dǎo)納為Y=Ge-jBe其中若已知導(dǎo)納Y=G-jB其中無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)既可以用一個(gè)復(fù)阻抗來(lái)等效也可以用一個(gè)3.5正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)設(shè)流過(guò)電阻元件的電流為iR(t)=ImsinωtA其電阻兩端電壓為uR(t)=ImRsinωt=UmsinωtV則在關(guān)聯(lián)參考方向下，瞬時(shí)功率為3.5.1

R、L、C元件的功率和能量pR(t)=u(t)i(t)=2URIRsin2ωt=URIR（1-cos2ωt）W由于cos2ωt≤1,故此pR（t）=URIR（1-cos2ωt）≥0電阻元件的瞬時(shí)功率是以?xún)杀队陔妷旱念l率變化的，而且pR（t）≥0，說(shuō)明電阻元件是耗能元件。其瞬時(shí)功率的波形圖如3.5-1所示1、電阻元件的功率3.5正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)設(shè)流過(guò)電阻元件的電圖3.5-1電阻元件的瞬時(shí)功率電阻的平均功率可見(jiàn)對(duì)于電阻元件，平均功率的計(jì)算公式與直流電路相似。圖3.5-1電阻元件的瞬時(shí)功率電阻的平均功率可見(jiàn)對(duì)于電在關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過(guò)電感元件的電流為2、電感元件的功率其瞬時(shí)功率為:

則電感電壓為：

上式表明，電感元件的瞬時(shí)功率也是以?xún)杀队陔妷旱念l率變化的；且pL(t)的值可正可負(fù)，其波形圖如圖3.5-2所示。圖3.5-2電感元件的瞬時(shí)功率在關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過(guò)電感元件的電流為2、電感元件的功率

從圖上看出