高等流體力學(xué)第二講課件

北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二講流體運(yùn)動(dòng)基本方程

一、基本方程推導(dǎo)的基礎(chǔ)知識(shí)

二、基本方程的推導(dǎo)

三、N—S方程的求解途徑

四、經(jīng)典問題的解析解

五、小雷諾數(shù)下N—S方程的近似解北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二講流體運(yùn)動(dòng)基本方程

一、基本方程推導(dǎo)的基礎(chǔ)知識(shí)

1、質(zhì)量體與控制體的概念 （1）定義

1）質(zhì)量體：選定的具有確定不變的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)——對(duì)應(yīng)于拉氏描述。

2）控制體：依據(jù)研究問題而選定的，相對(duì)于所選定的坐標(biāo)系固定不動(dòng)的有限空間——相應(yīng)于歐拉描述。 （2）特點(diǎn)與區(qū)別 幾個(gè)方面比較：1）相對(duì)于所選定的坐標(biāo)系是否有運(yùn)動(dòng)？

2）體內(nèi)流體體積是否變化？

3）自身形狀是否變化？

4）通過界面是否有質(zhì)量交換？

5）通過界面是否有動(dòng)量交換？

6）通過界面是否有能量交換？北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 2、雷諾輸運(yùn)定理（Reynolds’TransportTheorem） 考慮一物理量在質(zhì)量體上的體積分的隨時(shí)間的變化率與相應(yīng)控制體上體積分隨時(shí)間的變化率間的關(guān)系。 （1）定義 對(duì)一物理量Φ（x,y,z,t）， 質(zhì)量體體積為：VM；

t時(shí)刻，對(duì)應(yīng)控制的體積為：VC； 此時(shí)取控制體的截面積為質(zhì)量體的界面：S

質(zhì)量體內(nèi)總量： 控制體內(nèi)總量：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

對(duì)質(zhì)量體的導(dǎo)數(shù) 對(duì)控制體的導(dǎo)數(shù)北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（2）推證結(jié)果 當(dāng)控制體的體積Vc不變時(shí)，有： 當(dāng)Φ為矢量時(shí)，須注意通量項(xiàng)的表示（面的法線方向與速度矢量的點(diǎn)積）：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 3、體積分與面積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系——廣義高斯公式

（1）標(biāo)量函數(shù)

（2）對(duì)矢量函數(shù)北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 4、基本定律的概念

基本定律的質(zhì)量體形式表示——拉格朗日描述法的表現(xiàn)形式 （1）質(zhì)量守恒定律的概念 微體積的質(zhì)量： 質(zhì)量體的總質(zhì)量：

質(zhì)量守恒的表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（2）動(dòng)量平衡的概念 牛頓第二定律：

微體積的動(dòng)量： 質(zhì)量體的總動(dòng)量：

動(dòng)量平衡的表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（3）動(dòng)量矩平衡的概念 動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：

微體積的動(dòng)量矩： 質(zhì)量體的總動(dòng)量矩：

動(dòng)量矩平衡的表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（4）能量守恒的概念 熱力學(xué)第二定律：

微體積流體的能量： 質(zhì)量體的總能量：

外界對(duì)質(zhì)量體所做的功率

單位時(shí)間內(nèi)輸入質(zhì)量體的熱量北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

二、基本方程的推導(dǎo)

用控制體描述的基本定律——?dú)W拉描述法的表現(xiàn)形式。

1、質(zhì)量守恒——連續(xù)性方程

1）積分形式

2）微分形式

3）不可壓縮流體的概念

4）不可壓縮流體連續(xù)性方程守恒形式非守恒形式矢量表示：；i=1，2，3張量表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 5）應(yīng)用舉例 確定沿變深度矩形截面河道的水面波動(dòng)運(yùn)動(dòng)，其在一維假設(shè)下的連續(xù)方程表達(dá)形式。 解：1、描述參數(shù) 設(shè)河道寬：B，河道靜止水深：h(x);

波面高度：ξ(x,t)，一維斷面均勻流速u(x,t)； 控制體及坐標(biāo)選擇如圖。

2、由積分形式的連續(xù)方程：

3、結(jié)果：

對(duì)深水小波幅有：例圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 2、動(dòng)量平衡——流體運(yùn)動(dòng)方程

1）積分形式

2）微分形式

守恒形式非守恒形式張量表示：矢量表示：矢量表示：張量表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

3）N—S方程（Navier—StokesEquations） 引進(jìn)牛頓流體本構(gòu)方程，運(yùn)動(dòng)方程稱為N—S方程。

μ、λ為常數(shù)，在直角坐標(biāo)下有

矢量表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

當(dāng)流體不可壓時(shí)，有：

N—S方程為

張量表示：矢量表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 3、動(dòng)量矩平衡

1）積分形式：

2）微分形式 未增加獨(dú)立方程，僅證明應(yīng)力張量的對(duì)稱性。 北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 4、能量守恒

1）積分形式：

2）微分形式 其中對(duì)牛頓流體

Ф——耗散函數(shù)，為不可逆過程。

北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 3）耗散函數(shù)Ф在直角坐標(biāo)中的表示

?。害?-2μ/3

Φ表示的損失包括：

非對(duì)稱膨脹或壓縮

+流體形狀改變兩部分北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

三、N—S方程的求解途徑

1、流體力學(xué)方程組的封閉性 當(dāng)設(shè)k、cV、μ及λ為常數(shù)下，有未知量12個(gè)：

{ρ、u、v、w、T、p及六個(gè)σij}

需補(bǔ)充7個(gè)方程，即： 狀態(tài)方程： 本構(gòu)方程：運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：能量方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

2、N—S方程的屬性（千禧年7大數(shù)學(xué)難題之一） 非定常、非線性、二階對(duì)流擴(kuò)散偏微分方程組。 基本簡(jiǎn)化思路 （1）忽略非定常、非線性項(xiàng) 對(duì)質(zhì)量力僅有重力作用情況： （2）忽略粘性項(xiàng)——?dú)W拉方程 （3）解決流體問題的基本手段（方法）：解析法；數(shù)值法；實(shí)驗(yàn)法。運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

3、N—S方程的解析法求解途徑 （1）特定的、簡(jiǎn)單問題的解析解 僅有有限的幾個(gè)解析解，其成果為近似解的構(gòu)建方法，驗(yàn)證數(shù)值解法提供依據(jù)。 （2）近似解法

N—S方程的無量綱形式 參照量：長(zhǎng)度L0；速度U0；壓強(qiáng)p0；時(shí)間T0=L0/U0。

1）小雷諾數(shù)小的近似解——蠕動(dòng)問題（CreepingFlowing）

2）大雷諾數(shù)下的近似解——有勢(shì)流動(dòng)與邊界層的銜接解法 運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：即：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

四、經(jīng)典問題的解析解

1、兩無限大平行板間的流動(dòng)

——庫(kù)特—泊肅葉流（Couette—Poiseuille） （1）問題分析 平面（xoy）定常流動(dòng)，v=0，w=0，u(x,y)=u(y)

上平板速度：U，下平板靜止。 （2）笛卡爾坐標(biāo)系N—S方程分析題圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（3）得方程 （4）邊界條件

y=0，u=0；y=h，u=U。 （5）方程的解 （6）解的分析 是Couette流動(dòng)解與Poiseuille流動(dòng)界的疊加。壓強(qiáng)沿y方向靜壓分布ρgh，當(dāng)h很小時(shí)可認(rèn)為沿y不變北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 2、水平無限長(zhǎng)柱體內(nèi)的流動(dòng)

——哈根—泊肅葉流動(dòng)（Hagen—Poiseuille） （1）流動(dòng)分析 柱坐標(biāo)下，定常軸對(duì)稱流動(dòng)， 笛卡爾坐標(biāo)下，有： 不計(jì)重力作用下有：題圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（2）柱坐標(biāo)下N—S方程

連續(xù)方程：運(yùn)動(dòng)方程：其中：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（3）得方程 （4）邊界條件 （5）方程的解 （6）最大流速 （7）流量

（8）平均流速：值有限北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

直角坐標(biāo)系下的解法 （1）方程 （2）邊界條件 （3）待定系數(shù)解 解得：值有限北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 3、兩無限長(zhǎng)同心圓柱間的流動(dòng)問題

——Couette流動(dòng) （1）流動(dòng)分析 （2）方程組 （3）邊界條件

題圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（4）方程的解 （5）剪應(yīng)力計(jì)算 （6）計(jì)算單位長(zhǎng)度圓柱的阻力矩北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

五、小雷諾數(shù)下N—S方程的近似解

1、小雷諾數(shù)近似下的N—S方程

式中壓強(qiáng)項(xiàng)包含了質(zhì)量力-gρz。

2、下雷諾數(shù)球體繞流問題的解（Stokes流動(dòng)，1851） （1）問題分析 與流動(dòng)有關(guān)的變數(shù)（R，θ）；

運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：題圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（2）球坐標(biāo)系問題的N—S方程 （3）邊界條件

1）求面無滑動(dòng)：

2）無窮遠(yuǎn)來流體條件：

連續(xù)方程：運(yùn)動(dòng)方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 3）解具有的形式 對(duì)應(yīng)邊界條件

4）解出的結(jié)果北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 5）球體所受阻力的合力

以來流方向?yàn)閦向， 由壓強(qiáng)差產(chǎn)生的阻力： 由切應(yīng)力產(chǎn)生的阻力： 阻力合力大?。? 阻力系數(shù)：

6）適用條件北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 7）奧森（Oseen）修整（1910） 提出考慮主要項(xiàng)，方程修整為： 計(jì)算阻力大小： 適用條件：

8）White（1974）經(jīng)驗(yàn)公式 適用范圍：運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 2、垂直壁面流動(dòng)問題 （1）問題要求 粘性流體從平面垂直壁溢出，要求確定溢出單寬流 量及沿壁面厚度的流速分布。 （2）問題分析 滿足小雷諾數(shù)條件，且有：

（3）適用方程題圖運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（4）所得結(jié)果 （5）試驗(yàn)驗(yàn)證，確定適用條件 當(dāng)滿足 適用。單寬流量：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程本講內(nèi)容小結(jié)

1、雷諾數(shù)運(yùn)定理—— 2、流體運(yùn)動(dòng)基本方程

3、N—S方程的解析解法 （1）N—S方程

運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：（2）運(yùn)動(dòng)方程：（1）連續(xù)方程：（3）能量方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（1）簡(jiǎn)單為題的解析解

1）兩平板間的Couette—Poiseuille流動(dòng)

2）圓柱內(nèi)的Hagen—Poiseuille流動(dòng)

3）同心圓柱內(nèi)的Couette流動(dòng) （2）小雷諾數(shù)下的近似解析解

1）基本方程

2）球體繞流問題

3）重力作用下的直壁流動(dòng)問題運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

本講結(jié)束北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二講流體運(yùn)動(dòng)基本方程

一、基本方程推導(dǎo)的基礎(chǔ)知識(shí)

二、基本方程的推導(dǎo)

三、N—S方程的求解途徑

四、經(jīng)典問題的解析解

五、小雷諾數(shù)下N—S方程的近似解北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二講流體運(yùn)動(dòng)基本方程

一、基本方程推導(dǎo)的基礎(chǔ)知識(shí)

1、質(zhì)量體與控制體的概念 （1）定義

1）質(zhì)量體：選定的具有確定不變的流體質(zhì)點(diǎn)所組成的流體團(tuán)——對(duì)應(yīng)于拉氏描述。

2）控制體：依據(jù)研究問題而選定的，相對(duì)于所選定的坐標(biāo)系固定不動(dòng)的有限空間——相應(yīng)于歐拉描述。 （2）特點(diǎn)與區(qū)別 幾個(gè)方面比較：1）相對(duì)于所選定的坐標(biāo)系是否有運(yùn)動(dòng)？

2）體內(nèi)流體體積是否變化？

3）自身形狀是否變化？

4）通過界面是否有質(zhì)量交換？

5）通過界面是否有動(dòng)量交換？

6）通過界面是否有能量交換？北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 2、雷諾輸運(yùn)定理（Reynolds’TransportTheorem） 考慮一物理量在質(zhì)量體上的體積分的隨時(shí)間的變化率與相應(yīng)控制體上體積分隨時(shí)間的變化率間的關(guān)系。 （1）定義 對(duì)一物理量Φ（x,y,z,t）， 質(zhì)量體體積為：VM；

t時(shí)刻，對(duì)應(yīng)控制的體積為：VC； 此時(shí)取控制體的截面積為質(zhì)量體的界面：S

質(zhì)量體內(nèi)總量： 控制體內(nèi)總量：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

對(duì)質(zhì)量體的導(dǎo)數(shù) 對(duì)控制體的導(dǎo)數(shù)北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（2）推證結(jié)果 當(dāng)控制體的體積Vc不變時(shí)，有： 當(dāng)Φ為矢量時(shí)，須注意通量項(xiàng)的表示（面的法線方向與速度矢量的點(diǎn)積）：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 3、體積分與面積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系——廣義高斯公式

（1）標(biāo)量函數(shù)

（2）對(duì)矢量函數(shù)北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 4、基本定律的概念

基本定律的質(zhì)量體形式表示——拉格朗日描述法的表現(xiàn)形式 （1）質(zhì)量守恒定律的概念 微體積的質(zhì)量： 質(zhì)量體的總質(zhì)量：

質(zhì)量守恒的表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（2）動(dòng)量平衡的概念 牛頓第二定律：

微體積的動(dòng)量： 質(zhì)量體的總動(dòng)量：

動(dòng)量平衡的表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（3）動(dòng)量矩平衡的概念 動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：

微體積的動(dòng)量矩： 質(zhì)量體的總動(dòng)量矩：

動(dòng)量矩平衡的表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（4）能量守恒的概念 熱力學(xué)第二定律：

微體積流體的能量： 質(zhì)量體的總能量：

外界對(duì)質(zhì)量體所做的功率

單位時(shí)間內(nèi)輸入質(zhì)量體的熱量北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

二、基本方程的推導(dǎo)

用控制體描述的基本定律——?dú)W拉描述法的表現(xiàn)形式。

1、質(zhì)量守恒——連續(xù)性方程

1）積分形式

2）微分形式

3）不可壓縮流體的概念

4）不可壓縮流體連續(xù)性方程守恒形式非守恒形式矢量表示：；i=1，2，3張量表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 5）應(yīng)用舉例 確定沿變深度矩形截面河道的水面波動(dòng)運(yùn)動(dòng)，其在一維假設(shè)下的連續(xù)方程表達(dá)形式。 解：1、描述參數(shù) 設(shè)河道寬：B，河道靜止水深：h(x);

波面高度：ξ(x,t)，一維斷面均勻流速u(x,t)； 控制體及坐標(biāo)選擇如圖。

2、由積分形式的連續(xù)方程：

3、結(jié)果：

對(duì)深水小波幅有：例圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 2、動(dòng)量平衡——流體運(yùn)動(dòng)方程

1）積分形式

2）微分形式

守恒形式非守恒形式張量表示：矢量表示：矢量表示：張量表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

3）N—S方程（Navier—StokesEquations） 引進(jìn)牛頓流體本構(gòu)方程，運(yùn)動(dòng)方程稱為N—S方程。

μ、λ為常數(shù)，在直角坐標(biāo)下有

矢量表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

當(dāng)流體不可壓時(shí)，有：

N—S方程為

張量表示：矢量表示：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 3、動(dòng)量矩平衡

1）積分形式：

2）微分形式 未增加獨(dú)立方程，僅證明應(yīng)力張量的對(duì)稱性。 北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 4、能量守恒

1）積分形式：

2）微分形式 其中對(duì)牛頓流體

Ф——耗散函數(shù)，為不可逆過程。

北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 3）耗散函數(shù)Ф在直角坐標(biāo)中的表示

?。害?-2μ/3

Φ表示的損失包括：

非對(duì)稱膨脹或壓縮

+流體形狀改變兩部分北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

三、N—S方程的求解途徑

1、流體力學(xué)方程組的封閉性 當(dāng)設(shè)k、cV、μ及λ為常數(shù)下，有未知量12個(gè)：

{ρ、u、v、w、T、p及六個(gè)σij}

需補(bǔ)充7個(gè)方程，即： 狀態(tài)方程： 本構(gòu)方程：運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：能量方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

2、N—S方程的屬性（千禧年7大數(shù)學(xué)難題之一） 非定常、非線性、二階對(duì)流擴(kuò)散偏微分方程組。 基本簡(jiǎn)化思路 （1）忽略非定常、非線性項(xiàng) 對(duì)質(zhì)量力僅有重力作用情況： （2）忽略粘性項(xiàng)——?dú)W拉方程 （3）解決流體問題的基本手段（方法）：解析法；數(shù)值法；實(shí)驗(yàn)法。運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

3、N—S方程的解析法求解途徑 （1）特定的、簡(jiǎn)單問題的解析解 僅有有限的幾個(gè)解析解，其成果為近似解的構(gòu)建方法，驗(yàn)證數(shù)值解法提供依據(jù)。 （2）近似解法

N—S方程的無量綱形式 參照量：長(zhǎng)度L0；速度U0；壓強(qiáng)p0；時(shí)間T0=L0/U0。

1）小雷諾數(shù)小的近似解——蠕動(dòng)問題（CreepingFlowing）

2）大雷諾數(shù)下的近似解——有勢(shì)流動(dòng)與邊界層的銜接解法 運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：即：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

四、經(jīng)典問題的解析解

1、兩無限大平行板間的流動(dòng)

——庫(kù)特—泊肅葉流（Couette—Poiseuille） （1）問題分析 平面（xoy）定常流動(dòng)，v=0，w=0，u(x,y)=u(y)

上平板速度：U，下平板靜止。 （2）笛卡爾坐標(biāo)系N—S方程分析題圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（3）得方程 （4）邊界條件

y=0，u=0；y=h，u=U。 （5）方程的解 （6）解的分析 是Couette流動(dòng)解與Poiseuille流動(dòng)界的疊加。壓強(qiáng)沿y方向靜壓分布ρgh，當(dāng)h很小時(shí)可認(rèn)為沿y不變北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 2、水平無限長(zhǎng)柱體內(nèi)的流動(dòng)

——哈根—泊肅葉流動(dòng)（Hagen—Poiseuille） （1）流動(dòng)分析 柱坐標(biāo)下，定常軸對(duì)稱流動(dòng)， 笛卡爾坐標(biāo)下，有： 不計(jì)重力作用下有：題圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（2）柱坐標(biāo)下N—S方程

連續(xù)方程：運(yùn)動(dòng)方程：其中：北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（3）得方程 （4）邊界條件 （5）方程的解 （6）最大流速 （7）流量

（8）平均流速：值有限北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

直角坐標(biāo)系下的解法 （1）方程 （2）邊界條件 （3）待定系數(shù)解 解得：值有限北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程 3、兩無限長(zhǎng)同心圓柱間的流動(dòng)問題

——Couette流動(dòng) （1）流動(dòng)分析 （2）方程組 （3）邊界條件

題圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（4）方程的解 （5）剪應(yīng)力計(jì)算 （6）計(jì)算單位長(zhǎng)度圓柱的阻力矩北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

五、小雷諾數(shù)下N—S方程的近似解

1、小雷諾數(shù)近似下的N—S方程

式中壓強(qiáng)項(xiàng)包含了質(zhì)量力-gρz。

2、下雷諾數(shù)球體繞流問題的解（Stokes流動(dòng)，1851） （1）問題分析 與流動(dòng)有關(guān)的變數(shù)（R，θ）；

運(yùn)動(dòng)方程：連續(xù)方程：題圖北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明北京工業(yè)大學(xué)市政學(xué)科部——馬長(zhǎng)明高等流體(水）力學(xué)講稿第二章流體運(yùn)動(dòng)基本方程

（2）球坐標(biāo)系問題的N—S方程 （