第75節(jié)剛體平面運動的動力學

第7.5節(jié)剛體平面運動的動力學7.5.110m搞得煙筒因底部損壞而倒下來，求其上端到達地面時的線速度。設(shè)傾倒時底部未移動?？山普J為煙筒為均質(zhì)桿。解：煙筒的長度l=10m。設(shè)煙筒上端到達地面的瞬間，煙筒繞其底部的轉(zhuǎn)動角速度為①。在傾倒過程中，只受重力作用，做的功為：mg.%l。由剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：mgmg-+/=+1?222I=+ml23煙筒上端到達地面時的線速度為：v=l?=.3gl= x9.8x10沁17.2m/s解：先求正方形框架對通過其質(zhì)心且與其垂直的轉(zhuǎn)軸(質(zhì)心軸)的轉(zhuǎn)動慣量：框架的質(zhì)心位于框架的中心，即兩條對角線的交點上。每根細桿對其本身的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量：I=壬ml2，細桿的質(zhì)心與框架的質(zhì)心的距離為+1，由平行軸定理：0122I=4?[I+m?(十l)2]=4ml2

c 0 2 3再由平行軸定理，得框架對通過0點的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：I=I+4m?(il)2=7ml2

c 2 3求框架質(zhì)心的線速度vc框架在下擺過程中，只有重力做功，機械能守恒。選取桿AB達到水平時框架質(zhì)心位置位勢能零點，得：Mgh=+1?2c2M=4mh=+1c2I ...?='71V=+l?=.3glc2 '7求框架對支點的壓力N以框架為研究對象，它受到重力Mg和支點的支撐力N的作用，由質(zhì)心運動定理：N+Mg=Mac

取自然坐標系，T沿水平方向，“鉛直向上，得投影方程:n:N一Mg=Ma=M=4m--7=寺mgnN=寺mg+4mg=7今mgn n h 11 7 n7 7f: c 2N=Ma=Mh卩ffc在鉛直位置時，外力矩為0故角加速度卩=0,==〉Nf=07.5.3由長為2,質(zhì)量各為m的均質(zhì)細桿組成正方形框架，其中一角連于光滑水平轉(zhuǎn)軸O,轉(zhuǎn)軸與框架所在平面垂直.最初，對角線OP處于水平，然后從靜止開始向下自由擺動.求OP對角線與水平成45。時P點的速度，并求此時框架對支點的作用力.解:先求正方形框架對通過其質(zhì)心且與其垂直的轉(zhuǎn)軸(質(zhì)心軸)的轉(zhuǎn)動慣量:框架的質(zhì)心位于框架的中心，即兩條對角線的交點上。每根細桿對其本身的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量：I=壬ml2,細桿的質(zhì)心與框架的質(zhì)心的距離為+1，由平行軸定理：0122I=4?[I+m?(+1)2]=4ml2

c 0 2 3L框架的質(zhì)心距o點的距離為：亠l，由平行軸定理得框架通過o點的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為2I=I+4mCl)=ioml2c 2 31)求p點的速度vpNPP框架在下擺過程中，只有重力做功，機械能守恒。選取對角NPP線op與水平成450角時框架質(zhì)心位置為勢能零點，得：Mgh=11?2c2M=4mh=11_c2?=、：礙:5lv=、]2l?= glp '5(2)求框架對支點的壓力N以框架為研究對象，它受到重力Mg和支點的支撐力N的作用，由質(zhì)心運動定理:N+Mg=Mac取自然坐標系，n沿op方向，f沿垂直于op方向，得投影方程：N—Mgcos45°=Ma a=l?2=21=2?6gTOC\o"1-5"\h\zn n n c 2 5l 2 5N—Mgsin45°=Ma a=lp\o"CurrentDocument"f f f cN= mg+4mg?亠=i3\：2mg\o"CurrentDocument"n5 2 5由定軸轉(zhuǎn)動定理:Mg十l=IPnP=

7.5.4質(zhì)量為m長為l的均質(zhì)桿，其B端放在桌上,使桿成水平.突然釋放A端，在此瞬時，求：桿質(zhì)心的加速度,桿B端所受的力.解：(1)T=I卩9mg--=-ml2-P23TOC\o"1-5"\h\z-g l-\o"CurrentDocument"B= a=p- =g21 24(2)由質(zhì)心運動定理：-1mg-N=ma=mg9N=—mg447.5.5下面是均質(zhì)圓柱體在水平地面上作無滑滾動的幾種情況，求地面對圓柱體的靜摩擦力f.沿圓柱體上緣作用以水平拉力F,柱體作加速滾動.水平拉力F通過圓柱體中心軸線，柱體作加速滾動不受任何主動力的拉動或推動，柱體作勻速滾動.在主動力偶矩i的驅(qū)動下加速滾動?設(shè)柱體牛徑為R解：規(guī)定前進方向和順時針方向為正方向。假設(shè)靜摩擦力方向向后，其余受力情況如圖所示。對每種情況，都可以根據(jù)質(zhì)心定理、繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動定理和無滑滾動條件，建立三個方程求解。⑴F-f=ma,(F+f)R=+mR2p,a=PRc2c可求得f=-F/3,負號說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。(2)F-f=ma,fR=+mR2P,a=PRc2c可求得f=F/3,正號說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相同，向后。⑶a=0,f=0c⑷一f=ma,T+fR=imR2P,a=PR，求得f=-*c 2 c -R負號說明靜摩擦力方向與假設(shè)方向相反，應(yīng)向前。7.5.6板的質(zhì)量為M,受水平力F的作用，沿水平面運動?板與平面間的摩擦系數(shù)為從在板上放一半徑為R質(zhì)量為M2的實心圓柱，此圓柱只滾動不滑動.求板的加速度.解:f=P(M+M2)g fj F對圓柱：

轉(zhuǎn)動定理：fR=IP=iMR2P222質(zhì)心運動定理：f=Ma22轉(zhuǎn)動定理：fR=IP=iMR2P222質(zhì)心運動定理：f=Ma22C對板：質(zhì)心運動定理：F-f-f=Ma由于圓柱在板上只滾不滑a=Rp+aC聯(lián)立解得：F一嘰M+M)ga= 2——M+十M327.5.7在水平桌面上放置一質(zhì)量為m的線軸，內(nèi)徑為b,外徑為R,其繞中心軸轉(zhuǎn)動慣量為|mR2.線軸和地面之間的靜摩擦系數(shù)為山線軸受一水平拉力F,如圖所示.(1)使線軸在桌面上保持無滑滾動之F最大值是多少?(2)若F和水平方向成e角，試證，cos0>b/R時，線軸向前滾動；cosevb/R時，線軸向后滾動。解：(1)當線軸在桌面上只滾不滑時Fb-fR=IP二十mR2P3f-F=maf5卩mg聯(lián)立解得：a=Rp4卩mgRR+3b2)若線軸向前滾動，則有：T>T且FCOS0>ffF即：fR>FbFCOS0>fFR9cos0>-cos0>b/R若線軸向后滾動，則有：T<T且Fcos0<ffF即：fR<FbFcos0<fFR9cos0<Fcos0<b/R7.5.8氧分子總質(zhì)量為5.30x10-26kg,對于通過其質(zhì)心且與二原子連線垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為10x10-46kg?m2.設(shè)在氣體中某氧分子運動的速率為500m/s,且其轉(zhuǎn)動動能為其平動動能的2/3，求這一氧分子的角速率．7.5.9,—質(zhì)量為m,半徑為r的均質(zhì)實心小球沿圓弧形導軌自靜止開始無滑滾下，圓弧形導軌在鉛直面內(nèi)，半徑為R.最初，小球質(zhì)心與圓環(huán)中心同高度?求小球運動到最低點時的速率以及它作用于導軌的正壓力.解：設(shè)小球運動到最低點時，其質(zhì)心速度為v,有mg(R—r)=imv2+士(乞mr2)02225無滑滾動條件：—代入上式，可求得v評云在最低點應(yīng)用質(zhì)心運動定理： N-mg=mv2/(R—r)N=m[g+v2/(R+r)]=m(g+千g)=2