塑性力學(xué)-第四章-塑性本構(gòu)關(guān)系課件

第四章塑性本構(gòu)關(guān)系—全量理論和增量理論第四章塑性本構(gòu)關(guān)系—全量理論和增量理論1塑性模型三要素屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较颍布锤鞣至康谋戎禌Q定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變?cè)隽看笮”菊聝?nèi)容屈服后塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较?，也即各分量的比值塑性模型三要素屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后2第四章塑性本構(gòu)關(guān)系—全量理論和增量理論引言:塑性變形規(guī)律的復(fù)雜性,到目前為止這個(gè)塑性本構(gòu)關(guān)系問題還沒有得到滿意的解決.現(xiàn)在廣范采用的理論分為兩大類:(1)全量理論,又稱為形變理論,它認(rèn)為在塑性狀態(tài)下仍有應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系.有Hencky(亨奇)理論和Il’yushin(伊柳辛)理論.(2)增量理論,又稱為流動(dòng)理論,它認(rèn)為在塑性狀態(tài)下是塑性應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力及應(yīng)力增量之間有關(guān)系.有Levy-Mises(萊維-米澤斯)理論和Prandtl-Reuss(普朗特-羅伊斯)理論.4-1建立塑性本構(gòu)關(guān)系的基本要素Shield和Ziegler指出,建立塑性本構(gòu)關(guān)系需要考慮三個(gè)基本要素:(1)初始屈服條件;(2)流動(dòng)法則;(3)加載條件.其中(1)和(3)在第二章已經(jīng)解決,本章要解決第(2)點(diǎn).第四章塑性本構(gòu)關(guān)系—全量理論和增量理論引言:塑性變形規(guī)律的34-2廣義Hooke定律在彈性范圍內(nèi),廣義Hooke定律可以表達(dá)為也可以表示為:我們來證明一下:由應(yīng)力和應(yīng)變的分解式,即代入上面廣義Hooke定律的公式,考慮到所以可以寫成兩個(gè)相應(yīng)分解張量之間的關(guān)系.4-2廣義Hooke定律在彈性范圍內(nèi),廣義Hooke定4所以也可寫成如下形式當(dāng)應(yīng)力從加載面卸載,也服從廣義Hooke定律,寫成增量形式這是七個(gè)方程第二個(gè)式子是六個(gè)方程,但因?yàn)橛?所以有5個(gè)是獨(dú)立的.從第二式可以看到在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是一致的.應(yīng)變偏量的分量和相應(yīng)的應(yīng)力偏量的分量成正比.第二式也可以寫成,把它代入應(yīng)力強(qiáng)度的表達(dá)式就可以得到下面的第二式,然后有再代回上面第一式得到下面的第二式.所以也可寫成如下形式當(dāng)應(yīng)力從加載面卸載,也服從廣義Ho54-3全量型本構(gòu)方程Il’yushin在1943年提出的硬化材料在彈塑性小變形情況下的本構(gòu)關(guān)系,這是一個(gè)全量型的關(guān)系,類似于廣義Hooke定律.在小變形的情況下作出下列關(guān)于基本要素的假定:(1)體積變形是彈性的,即(2)應(yīng)變偏張量和應(yīng)力偏張量成比例這個(gè)假定就是應(yīng)力和應(yīng)變的定性關(guān)系,即方向關(guān)系和分配關(guān)系.方向關(guān)系指應(yīng)變偏量主軸和應(yīng)力偏量主軸重合,也即應(yīng)變主軸和應(yīng)力主軸重合,而分配關(guān)系是指應(yīng)變偏量和應(yīng)力偏量成正比。4-3全量型本構(gòu)方程Il’yushin在1943年提出的硬6簡(jiǎn)單加載（簡(jiǎn)單變形）：各應(yīng)力分量按同一比例增加，此時(shí)應(yīng)力主軸方向固定不變。由于應(yīng)變?cè)隽康闹鬏S方向和應(yīng)力主軸方向重合，應(yīng)變主軸也始終不變。1924年漢基提出了不包括硬化的全量關(guān)系。形式上和廣義Hooke定律相似,但這里的比例系數(shù)不是一個(gè)常數(shù).這是一個(gè)非線性關(guān)系.下面我們來看一下這個(gè)系數(shù)等于什么?簡(jiǎn)單加載（簡(jiǎn)單變形）：各應(yīng)力分量按同一比例增加，此時(shí)應(yīng)力主軸7因?yàn)閼?yīng)力強(qiáng)度和應(yīng)變強(qiáng)度的公式為:把代入上面右式并考慮上面左式得到(3)應(yīng)力強(qiáng)度是應(yīng)變強(qiáng)度的函數(shù),即按單一曲線假定的硬化條件.綜上所述,全量型塑性本構(gòu)方程為注意的是上式只是描述了加載過程中的彈塑性變形規(guī)律.加載的標(biāo)志是應(yīng)力強(qiáng)度成單調(diào)增長(zhǎng).下降時(shí)為卸載過程,它時(shí)服從增量Hooke定律.因?yàn)閼?yīng)力強(qiáng)度和應(yīng)變強(qiáng)度的公式為:把84-4全量理論的基本方程及邊值問題的提法設(shè)在物體內(nèi)給定體力,在應(yīng)力邊界上給定面力,在位移邊界上給定位移為,要求確定物體內(nèi)處于塑性變形狀態(tài)的各點(diǎn)的應(yīng)力,應(yīng)變和位移.按照全量理論,確定這些基本未知量的基本方程有平衡方程幾何方程本構(gòu)方程其中邊界條件這就是對(duì)于全量理論的塑性力學(xué)的邊值問題.4-4全量理論的基本方程及邊值問題的提法設(shè)在物體94-5全量理論的適用范圍簡(jiǎn)單加載定律全量理論適用小變形并且是簡(jiǎn)單加載.那么上面是簡(jiǎn)單加載?理論上指在加載過程中物體每一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量按比例增長(zhǎng).即其中是某一非零的參考應(yīng)力狀態(tài),是單調(diào)增加的參數(shù).這樣定義的簡(jiǎn)單加載說明,在加載時(shí)物體內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力的主方向都保持不變.但是物體內(nèi)的內(nèi)力是不能事先確定的,那么如何判斷加載過程是簡(jiǎn)單加載?Il’yushin指出,在符合下列三個(gè)條件時(shí),可以證明物體內(nèi)所有各點(diǎn)是處于簡(jiǎn)單加載過程:(1)荷載(包括體力)按比例增長(zhǎng).如有位移邊界條件應(yīng)為零.(2)材料是不可壓縮的.(3)應(yīng)力強(qiáng)度和應(yīng)變強(qiáng)度之間冪指數(shù)關(guān)系,即這就是Il’yushin簡(jiǎn)單加載定律.有人認(rèn)為只有第(1)條就可以了.4-5全量理論的適用范圍簡(jiǎn)單加載定律全量理104-6卸載定律從單向拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變曲線看:加載至過彈性極限達(dá)到A點(diǎn),然后卸載至B點(diǎn),此時(shí)總應(yīng)變的彈性部分中的部分應(yīng)變得到恢復(fù),塑性應(yīng)變部分要被保留下來.此時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變的改變量,即B點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)橐驗(yàn)樾遁d要服從彈性本構(gòu)關(guān)系,即.這就是說,我們可以由因?yàn)樾遁d引起的荷載的改變量按彈性計(jì)算得到.推廣到復(fù)雜應(yīng)力的卸載情況(即應(yīng)力強(qiáng)度減小)得到:卸載定律.即:卸載后的應(yīng)力或應(yīng)變等于卸載前的應(yīng)力或應(yīng)變減去卸載時(shí)的荷載改變量為假想荷載按彈性計(jì)算所得之應(yīng)力或應(yīng)變(即卸載過程中應(yīng)力或應(yīng)變的改變量.4-6卸載定律從單向拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變曲線看:加載至過彈11使用卸載定律要注意兩點(diǎn):卸載過程必須是簡(jiǎn)單加載,即卸載過程中各點(diǎn)的應(yīng)力分量時(shí)按比例減少的;卸載過程中不發(fā)生第二次塑性變形,即卸載不引起應(yīng)力改變符號(hào)而達(dá)到新的屈服.由卸載定律可以看出,全部卸載后,在物體內(nèi)不僅留下殘余應(yīng)變,而且還有殘余應(yīng)力.4-7Levy-Mises流動(dòng)法則和Prandtl-Reuss流動(dòng)法則塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的重要特點(diǎn)是它的非線性和不唯一性.全量理論則企圖直接建立全量形式表示的與加載路徑無關(guān)的本構(gòu)關(guān)系,一般是不正確的.所以作為描述本構(gòu)關(guān)系應(yīng)該是它們的增量之間的關(guān)系.這就是增量理論,也就是流動(dòng)法則.這里介紹兩個(gè)增量理論.即Levy-Mises流動(dòng)法則和Prandtl-Reuss流動(dòng)法則.使用卸載定律要注意兩點(diǎn):卸載過程必須是簡(jiǎn)單加載,即卸載過12Levy-Mises流動(dòng)法則

假設(shè)：（1）材料為理想剛塑性材料，即彈性增量為0；（2）材料符合Mises屈服準(zhǔn)則；（3）塑性變形時(shí)體積不變；（4）應(yīng)變?cè)隽恐鬏S和應(yīng)力主軸重合；（5）應(yīng)變?cè)隽糠至颗c相應(yīng)的應(yīng)力偏量分量成比例,即式中的比例系數(shù)決定于質(zhì)點(diǎn)的位置和荷載的水平.這一理論是Levy和Mises分別在1871年和1931年獨(dú)立提出的,所以被稱為L(zhǎng)evy-Mises流動(dòng)法則.Levy-Mises流動(dòng)法則式中的比例系數(shù)決定于質(zhì)點(diǎn)的位132.Prandtl-Reuss（普朗特－勞斯）流動(dòng)法則這個(gè)理論考慮了塑性狀態(tài)變形中的彈性變形部分,并認(rèn)為彈性變形服從廣義Hooke定律;而對(duì)于塑性變形部分,被認(rèn)為塑性應(yīng)變?cè)隽康闹鬏S和應(yīng)力偏量的主軸重合（塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力的關(guān)系和Levy-Mises方程相同）.即又由塑性不可壓縮性,體積變化是彈性的,有這就是Prandtl-Reuss流動(dòng)法則p2.Prandtl-Reuss（普朗特－勞斯）流動(dòng)法則144-8理想彈塑性材料的增量本構(gòu)方程對(duì)于理想彈塑性材料,后繼屈服面和初始屈服面是重合的.若采用Mises條件,則應(yīng)有求微分有又因?yàn)閼?yīng)變比能的增量為上式第一項(xiàng)是體積比能增量,第二項(xiàng)為形狀變形比能,記為這樣考慮Prandtl-Reuss（普朗特－勞斯）流動(dòng)法則有:所以有4-8理想彈塑性材料的增量本構(gòu)方程對(duì)于理想彈塑性材料,15理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程可以寫為4-9理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程理想剛塑性材料的Levy-Mises流動(dòng)法則為把它代入Mises屈服條件得到現(xiàn)在定義應(yīng)變?cè)隽繌?qiáng)度為那么理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程為:理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程可以寫為4-9理想剛塑性材164-10彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程對(duì)于彈塑性硬化材料,采用等向硬化模型,取Mises屈服條件,即(對(duì)于理想彈塑性Mises條件為)去掉彈性理想彈塑性上式微分得到是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),有簡(jiǎn)單的物理意義,見上圖.在線性強(qiáng)化時(shí)時(shí)常數(shù).由把Levy-Mises流動(dòng)法則代入塑性應(yīng)變?cè)隽繌?qiáng)度的公式得到所以4-10彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程對(duì)于彈塑性硬化材料17將上面得到的代入Prandtl-Reuss（普朗特－勞斯）流動(dòng)法則就得到彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程:或?qū)懗?例題3-1如圖所示,一薄壁圓管,其材料的拉伸硬化曲線為線性.試根據(jù)增量理論分別對(duì)下列三種加載路徑求管的總軸向應(yīng)變和切向應(yīng)變將上面得到的代入Prandtl-Reuss（普18屈服曲線先拉后扭OAB先扭后拉OCB拉扭同時(shí),并保持比例,如圖OB.解:根據(jù)題意薄壁圓管的應(yīng)力只有,其它為零.應(yīng)力強(qiáng)度為,那么Mises屈服面是一橢圓:每一加載路徑分為彈性和彈塑性兩個(gè)階段,在彈性階段本構(gòu)關(guān)系有:在彈塑性階段本構(gòu)關(guān)系有:下面分三個(gè)路徑進(jìn)行計(jì)算.屈服曲線先拉后扭OAB解:根據(jù)題意薄壁圓管的應(yīng)力只有19屈服曲線(1)OAB路徑,分OA和AB段.OA段是彈性階段,A點(diǎn)是屈服點(diǎn),則有AB段是彈塑性階段,保持不變,變化,其它應(yīng)力分量為零,則有從Mises屈服條件得將這些量代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系,并沿路徑積分,則得屈服曲線(1)OAB路徑,分OA和AB段.OA段是彈性階段20得到:總應(yīng)變?yōu)?2)同理可得OCB路徑總應(yīng)變(3)同理可得OB路徑總應(yīng)變可以看到應(yīng)力狀態(tài)相同,由于路徑不同所得應(yīng)變狀態(tài)不同.屈服曲線得到:總應(yīng)變?yōu)?2)同理可得OCB路徑總應(yīng)變(3)同理可得O214-11Prandtl-Reuss假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Prandtl-Ress假設(shè)是應(yīng)力主軸和塑性應(yīng)變?cè)隽恐鬏S是一致的,也就是說應(yīng)力Lode參數(shù)和塑性應(yīng)變?cè)隽康腖ode參數(shù)應(yīng)該相等.為了驗(yàn)證這一點(diǎn),W.Lode做了薄壁圓筒受軸向拉伸和內(nèi)壓力的復(fù)合抗力實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明它們大致上是成立的.4-12增量理論的基本方程及邊值問題的解法問題的解法在加載過程的某一瞬時(shí),已知,和外荷載的增量:求:4-11Prandtl-Reuss假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Prand22基本方程這些基本物理量必須滿足增量型基本方程.其中是卸載或中性變載,是加載.邊界條件在彈塑性區(qū)交界面上還應(yīng)滿足一定的連續(xù)條件.上述條件下可求出這15個(gè)量,然后疊加到原來的上,最后確定新的屈服面,再求下一步增量.基本方程這些基本物理量必須滿足增量型基本方程234-13全量理論與增量理論的比較增量理論在加載過程中最后的應(yīng)變狀態(tài)取決于應(yīng)變路徑,而全量理論不管應(yīng)變路徑.特別是在中性變載情況,兩者相差最明顯.通過實(shí)驗(yàn)觀察,對(duì)中性變載不產(chǎn)生塑性應(yīng)變的改變,增量理論反映了這一特點(diǎn),而按全量理論只要應(yīng)力分量改變,塑性應(yīng)變也要發(fā)生改變.這是因?yàn)榧虞d條件中的中性變載就是增量理論的塑性部分等于零.增量理論在中性區(qū)可以保證應(yīng)力應(yīng)變的連續(xù)性,而全量理論不能.在小變形且簡(jiǎn)單加載的情況下,這兩個(gè)理論是一致的.現(xiàn)在我們來證明一下,下面是這兩個(gè)理論.增量理論全量理論小變形且簡(jiǎn)單加載4-13全量理論與增量理論的比較增量理論在加載過程中最后24簡(jiǎn)單加載各分量成比例代入增量理論公式,因?yàn)楹?jiǎn)單加載所以在加載過程中主方向不變,又是小變形,下面積分存在.增量理論第一式有:增量理論第二式有:簡(jiǎn)單加載各分量成比例代入增量理論公式,因?yàn)楹?jiǎn)單加載所以在加載25上面就證明了在簡(jiǎn)單加載,小變形情況下:增量理論=全量理論.雖然增量理論比較合理,但全量理論仍有很大的工程應(yīng)用范圍.這不僅是因?yàn)槿坷碚撨m用于簡(jiǎn)單加載,數(shù)學(xué)處理方便,而且對(duì)于偏離簡(jiǎn)單加載一個(gè)相當(dāng)大的范圍全量理論也適用.4-14塑性勢(shì)理論前面所討論的基本上是有Mises條件和Prandtl-Reuss流動(dòng)法則建立的塑性本構(gòu)關(guān)系.本節(jié)應(yīng)用塑性勢(shì)的概念討論一般的屈服和流動(dòng)問題.Mises在1928年把彈性勢(shì)的概念推廣于塑性力學(xué)以后,使得塑性力學(xué)中的屈服條件,硬化條件和塑性應(yīng)變?cè)隽拷⒘寺?lián)系.上面就證明了在簡(jiǎn)單加載,小變形情況下:增量理論=全量理論.26傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論流動(dòng)法則傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論剖析傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論27§4.14.1傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論Mises(1928)假設(shè)對(duì)于塑性流動(dòng)，也存在著類同彈性勢(shì)函數(shù)的某種塑性勢(shì)函數(shù)Q(σij)，純塑性流動(dòng)方向與塑性勢(shì)函數(shù)Q的梯度或外法線方向一致，這就是傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論。式中Q(σij)的一般寫成主應(yīng)力σ1、σ2、σ3或不變量I1、J2、J3

或p、q、θσ的函數(shù)；為一非負(fù)的比例系數(shù)。可以看出，傳統(tǒng)塑性勢(shì)函數(shù)理論上是有條件的，既要存在滿足上式的勢(shì)函數(shù)，還要求應(yīng)力主軸與塑性應(yīng)變?cè)隽恐鬏S一致。上式只是一種假設(shè)，沒有嚴(yán)格的理論證明，但用于金屬材料已有大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)而被公認(rèn)?！?.14.1傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論Mises(1928)假設(shè)對(duì)28與德魯克公設(shè)表達(dá)式比較，可以看出，服從于德魯克公設(shè)的材料，塑性勢(shì)函數(shù)Q就是屈服函數(shù)Φ。即Q=Φ，由此得到的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系通常稱為與加載條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則。如果Q≠Φ，即屈服面與塑性應(yīng)變?cè)隽坎徽?，則其相應(yīng)的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系稱為非關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則。

塑性勢(shì)函數(shù)Q(σij)在主應(yīng)力空間形成一個(gè)塑性勢(shì)面；在子午面和偏平面上各形成一條塑性勢(shì)線。與德魯克公設(shè)表達(dá)式比較，可以看出，服從于德魯克公設(shè)的291.塑性勢(shì)彈性勢(shì)大家知道,在彈性力學(xué)中應(yīng)變和彈性應(yīng)變比能有下列關(guān)系,即式中是彈性應(yīng)變比能,對(duì)理想彈性體它是正定函數(shù),稱為彈性勢(shì).若把看成應(yīng)力空間的一個(gè)等勢(shì)面,則上式可以理解為:應(yīng)變矢量的方向與彈性勢(shì)的梯度方向,即等勢(shì)面的外法線方向一致.1.塑性勢(shì)彈性勢(shì)大家知道,在彈性力學(xué)中應(yīng)變和彈30塑性勢(shì)Mises在1928年提出了類似與彈性勢(shì)的塑性勢(shì)理論.他考慮到塑性變形的特點(diǎn),提出塑性勢(shì)不僅與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān),而且與加載歷史有關(guān),即,類似與彈性勢(shì)有式中是一個(gè)非負(fù)的比例系數(shù),是標(biāo)量.如果,它在應(yīng)力空間中表示的面就是等勢(shì)面.上式即表示塑性應(yīng)變?cè)隽渴噶康姆较蚺c塑性勢(shì)的梯度方向,即等勢(shì)面外法線方向一致.把屈服條件和本構(gòu)關(guān)系聯(lián)系起來,稱為聯(lián)合流動(dòng)法則.回憶Drucker公設(shè)導(dǎo)出的式子與上式比較很自然可取屈服函數(shù)作為塑性勢(shì)函數(shù)塑性勢(shì)Mises在1928年提出了類似與彈性勢(shì)31這樣就是把屈服條件和塑性本構(gòu)關(guān)系聯(lián)合起來考慮,所得的流動(dòng)法則稱為聯(lián)合流動(dòng)法則.而時(shí)則稱為非聯(lián)合流動(dòng)法則.2.與Mises條件聯(lián)合的流動(dòng)法則對(duì)服從Mises屈服函數(shù)作為塑性勢(shì),即那么得到把它代入得到將3歸入,即這就是Prandtl-Reuss流動(dòng)法則.所以它可以看成由Mises屈服函數(shù)作為塑性勢(shì)函數(shù)而得到的.顯然,塑性勢(shì)應(yīng)變?cè)隽渴噶康姆较蚴谴怪庇贛ises圓的.這樣就是把屈服條件和塑性本構(gòu)關(guān)系聯(lián)合起來考慮,所得的流動(dòng)法323.與Tresca條件聯(lián)合的流動(dòng)法則如果把Tresca屈服函數(shù)作為塑性勢(shì)函數(shù),這個(gè)函數(shù)在應(yīng)力空間是正六棱柱體,導(dǎo)數(shù)在角點(diǎn)處不確定,那么怎樣來處理在這點(diǎn)的塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较蚰?這個(gè)問題的簡(jiǎn)單處理辦法是取角點(diǎn)兩則的塑性應(yīng)變?cè)隽康木€性組合.我們來看一下B點(diǎn)塑性應(yīng)變?cè)隽康奶幚?在AB面和BC面塑性勢(shì)分別取為:那么在這兩個(gè)面分別有得B點(diǎn)的流動(dòng)法則為具體取什么值需在計(jì)算過程中確定.3.與Tresca條件聯(lián)合的流動(dòng)法則如果把Tresca屈服33第四章塑性本構(gòu)關(guān)系—全量理論和增量理論第四章塑性本構(gòu)關(guān)系—全量理論和增量理論34塑性模型三要素屈服條件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较?，也即各分量的比值決定給定的應(yīng)力增量引起的塑性應(yīng)變?cè)隽看笮”菊聝?nèi)容屈服后塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较颍布锤鞣至康谋戎邓苄阅Ｐ腿厍l件流動(dòng)法則硬化規(guī)律判斷何時(shí)達(dá)到屈服屈服后35第四章塑性本構(gòu)關(guān)系—全量理論和增量理論引言:塑性變形規(guī)律的復(fù)雜性,到目前為止這個(gè)塑性本構(gòu)關(guān)系問題還沒有得到滿意的解決.現(xiàn)在廣范采用的理論分為兩大類:(1)全量理論,又稱為形變理論,它認(rèn)為在塑性狀態(tài)下仍有應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系.有Hencky(亨奇)理論和Il’yushin(伊柳辛)理論.(2)增量理論,又稱為流動(dòng)理論,它認(rèn)為在塑性狀態(tài)下是塑性應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力及應(yīng)力增量之間有關(guān)系.有Levy-Mises(萊維-米澤斯)理論和Prandtl-Reuss(普朗特-羅伊斯)理論.4-1建立塑性本構(gòu)關(guān)系的基本要素Shield和Ziegler指出,建立塑性本構(gòu)關(guān)系需要考慮三個(gè)基本要素:(1)初始屈服條件;(2)流動(dòng)法則;(3)加載條件.其中(1)和(3)在第二章已經(jīng)解決,本章要解決第(2)點(diǎn).第四章塑性本構(gòu)關(guān)系—全量理論和增量理論引言:塑性變形規(guī)律的364-2廣義Hooke定律在彈性范圍內(nèi),廣義Hooke定律可以表達(dá)為也可以表示為:我們來證明一下:由應(yīng)力和應(yīng)變的分解式,即代入上面廣義Hooke定律的公式,考慮到所以可以寫成兩個(gè)相應(yīng)分解張量之間的關(guān)系.4-2廣義Hooke定律在彈性范圍內(nèi),廣義Hooke定37所以也可寫成如下形式當(dāng)應(yīng)力從加載面卸載,也服從廣義Hooke定律,寫成增量形式這是七個(gè)方程第二個(gè)式子是六個(gè)方程,但因?yàn)橛?所以有5個(gè)是獨(dú)立的.從第二式可以看到在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸是一致的.應(yīng)變偏量的分量和相應(yīng)的應(yīng)力偏量的分量成正比.第二式也可以寫成,把它代入應(yīng)力強(qiáng)度的表達(dá)式就可以得到下面的第二式,然后有再代回上面第一式得到下面的第二式.所以也可寫成如下形式當(dāng)應(yīng)力從加載面卸載,也服從廣義Ho384-3全量型本構(gòu)方程Il’yushin在1943年提出的硬化材料在彈塑性小變形情況下的本構(gòu)關(guān)系,這是一個(gè)全量型的關(guān)系,類似于廣義Hooke定律.在小變形的情況下作出下列關(guān)于基本要素的假定:(1)體積變形是彈性的,即(2)應(yīng)變偏張量和應(yīng)力偏張量成比例這個(gè)假定就是應(yīng)力和應(yīng)變的定性關(guān)系,即方向關(guān)系和分配關(guān)系.方向關(guān)系指應(yīng)變偏量主軸和應(yīng)力偏量主軸重合,也即應(yīng)變主軸和應(yīng)力主軸重合,而分配關(guān)系是指應(yīng)變偏量和應(yīng)力偏量成正比。4-3全量型本構(gòu)方程Il’yushin在1943年提出的硬39簡(jiǎn)單加載（簡(jiǎn)單變形）：各應(yīng)力分量按同一比例增加，此時(shí)應(yīng)力主軸方向固定不變。由于應(yīng)變?cè)隽康闹鬏S方向和應(yīng)力主軸方向重合，應(yīng)變主軸也始終不變。1924年漢基提出了不包括硬化的全量關(guān)系。形式上和廣義Hooke定律相似,但這里的比例系數(shù)不是一個(gè)常數(shù).這是一個(gè)非線性關(guān)系.下面我們來看一下這個(gè)系數(shù)等于什么?簡(jiǎn)單加載（簡(jiǎn)單變形）：各應(yīng)力分量按同一比例增加，此時(shí)應(yīng)力主軸40因?yàn)閼?yīng)力強(qiáng)度和應(yīng)變強(qiáng)度的公式為:把代入上面右式并考慮上面左式得到(3)應(yīng)力強(qiáng)度是應(yīng)變強(qiáng)度的函數(shù),即按單一曲線假定的硬化條件.綜上所述,全量型塑性本構(gòu)方程為注意的是上式只是描述了加載過程中的彈塑性變形規(guī)律.加載的標(biāo)志是應(yīng)力強(qiáng)度成單調(diào)增長(zhǎng).下降時(shí)為卸載過程,它時(shí)服從增量Hooke定律.因?yàn)閼?yīng)力強(qiáng)度和應(yīng)變強(qiáng)度的公式為:把414-4全量理論的基本方程及邊值問題的提法設(shè)在物體內(nèi)給定體力,在應(yīng)力邊界上給定面力,在位移邊界上給定位移為,要求確定物體內(nèi)處于塑性變形狀態(tài)的各點(diǎn)的應(yīng)力,應(yīng)變和位移.按照全量理論,確定這些基本未知量的基本方程有平衡方程幾何方程本構(gòu)方程其中邊界條件這就是對(duì)于全量理論的塑性力學(xué)的邊值問題.4-4全量理論的基本方程及邊值問題的提法設(shè)在物體424-5全量理論的適用范圍簡(jiǎn)單加載定律全量理論適用小變形并且是簡(jiǎn)單加載.那么上面是簡(jiǎn)單加載?理論上指在加載過程中物體每一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量按比例增長(zhǎng).即其中是某一非零的參考應(yīng)力狀態(tài),是單調(diào)增加的參數(shù).這樣定義的簡(jiǎn)單加載說明,在加載時(shí)物體內(nèi)應(yīng)變和應(yīng)力的主方向都保持不變.但是物體內(nèi)的內(nèi)力是不能事先確定的,那么如何判斷加載過程是簡(jiǎn)單加載?Il’yushin指出,在符合下列三個(gè)條件時(shí),可以證明物體內(nèi)所有各點(diǎn)是處于簡(jiǎn)單加載過程:(1)荷載(包括體力)按比例增長(zhǎng).如有位移邊界條件應(yīng)為零.(2)材料是不可壓縮的.(3)應(yīng)力強(qiáng)度和應(yīng)變強(qiáng)度之間冪指數(shù)關(guān)系,即這就是Il’yushin簡(jiǎn)單加載定律.有人認(rèn)為只有第(1)條就可以了.4-5全量理論的適用范圍簡(jiǎn)單加載定律全量理434-6卸載定律從單向拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變曲線看:加載至過彈性極限達(dá)到A點(diǎn),然后卸載至B點(diǎn),此時(shí)總應(yīng)變的彈性部分中的部分應(yīng)變得到恢復(fù),塑性應(yīng)變部分要被保留下來.此時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變的改變量,即B點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)橐驗(yàn)樾遁d要服從彈性本構(gòu)關(guān)系,即.這就是說,我們可以由因?yàn)樾遁d引起的荷載的改變量按彈性計(jì)算得到.推廣到復(fù)雜應(yīng)力的卸載情況(即應(yīng)力強(qiáng)度減小)得到:卸載定律.即:卸載后的應(yīng)力或應(yīng)變等于卸載前的應(yīng)力或應(yīng)變減去卸載時(shí)的荷載改變量為假想荷載按彈性計(jì)算所得之應(yīng)力或應(yīng)變(即卸載過程中應(yīng)力或應(yīng)變的改變量.4-6卸載定律從單向拉伸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力應(yīng)變曲線看:加載至過彈44使用卸載定律要注意兩點(diǎn):卸載過程必須是簡(jiǎn)單加載,即卸載過程中各點(diǎn)的應(yīng)力分量時(shí)按比例減少的;卸載過程中不發(fā)生第二次塑性變形,即卸載不引起應(yīng)力改變符號(hào)而達(dá)到新的屈服.由卸載定律可以看出,全部卸載后,在物體內(nèi)不僅留下殘余應(yīng)變,而且還有殘余應(yīng)力.4-7Levy-Mises流動(dòng)法則和Prandtl-Reuss流動(dòng)法則塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的重要特點(diǎn)是它的非線性和不唯一性.全量理論則企圖直接建立全量形式表示的與加載路徑無關(guān)的本構(gòu)關(guān)系,一般是不正確的.所以作為描述本構(gòu)關(guān)系應(yīng)該是它們的增量之間的關(guān)系.這就是增量理論,也就是流動(dòng)法則.這里介紹兩個(gè)增量理論.即Levy-Mises流動(dòng)法則和Prandtl-Reuss流動(dòng)法則.使用卸載定律要注意兩點(diǎn):卸載過程必須是簡(jiǎn)單加載,即卸載過45Levy-Mises流動(dòng)法則

假設(shè)：（1）材料為理想剛塑性材料，即彈性增量為0；（2）材料符合Mises屈服準(zhǔn)則；（3）塑性變形時(shí)體積不變；（4）應(yīng)變?cè)隽恐鬏S和應(yīng)力主軸重合；（5）應(yīng)變?cè)隽糠至颗c相應(yīng)的應(yīng)力偏量分量成比例,即式中的比例系數(shù)決定于質(zhì)點(diǎn)的位置和荷載的水平.這一理論是Levy和Mises分別在1871年和1931年獨(dú)立提出的,所以被稱為L(zhǎng)evy-Mises流動(dòng)法則.Levy-Mises流動(dòng)法則式中的比例系數(shù)決定于質(zhì)點(diǎn)的位462.Prandtl-Reuss（普朗特－勞斯）流動(dòng)法則這個(gè)理論考慮了塑性狀態(tài)變形中的彈性變形部分,并認(rèn)為彈性變形服從廣義Hooke定律;而對(duì)于塑性變形部分,被認(rèn)為塑性應(yīng)變?cè)隽康闹鬏S和應(yīng)力偏量的主軸重合（塑性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力的關(guān)系和Levy-Mises方程相同）.即又由塑性不可壓縮性,體積變化是彈性的,有這就是Prandtl-Reuss流動(dòng)法則p2.Prandtl-Reuss（普朗特－勞斯）流動(dòng)法則474-8理想彈塑性材料的增量本構(gòu)方程對(duì)于理想彈塑性材料,后繼屈服面和初始屈服面是重合的.若采用Mises條件,則應(yīng)有求微分有又因?yàn)閼?yīng)變比能的增量為上式第一項(xiàng)是體積比能增量,第二項(xiàng)為形狀變形比能,記為這樣考慮Prandtl-Reuss（普朗特－勞斯）流動(dòng)法則有:所以有4-8理想彈塑性材料的增量本構(gòu)方程對(duì)于理想彈塑性材料,48理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程可以寫為4-9理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程理想剛塑性材料的Levy-Mises流動(dòng)法則為把它代入Mises屈服條件得到現(xiàn)在定義應(yīng)變?cè)隽繌?qiáng)度為那么理想剛塑性材料的增量型本構(gòu)方程為:理想彈塑性材料的增量型本構(gòu)方程可以寫為4-9理想剛塑性材494-10彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程對(duì)于彈塑性硬化材料,采用等向硬化模型,取Mises屈服條件,即(對(duì)于理想彈塑性Mises條件為)去掉彈性理想彈塑性上式微分得到是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù),有簡(jiǎn)單的物理意義,見上圖.在線性強(qiáng)化時(shí)時(shí)常數(shù).由把Levy-Mises流動(dòng)法則代入塑性應(yīng)變?cè)隽繌?qiáng)度的公式得到所以4-10彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程對(duì)于彈塑性硬化材料50將上面得到的代入Prandtl-Reuss（普朗特－勞斯）流動(dòng)法則就得到彈塑性硬化材料的增量型本構(gòu)方程:或?qū)懗?例題3-1如圖所示,一薄壁圓管,其材料的拉伸硬化曲線為線性.試根據(jù)增量理論分別對(duì)下列三種加載路徑求管的總軸向應(yīng)變和切向應(yīng)變將上面得到的代入Prandtl-Reuss（普51屈服曲線先拉后扭OAB先扭后拉OCB拉扭同時(shí),并保持比例,如圖OB.解:根據(jù)題意薄壁圓管的應(yīng)力只有,其它為零.應(yīng)力強(qiáng)度為,那么Mises屈服面是一橢圓:每一加載路徑分為彈性和彈塑性兩個(gè)階段,在彈性階段本構(gòu)關(guān)系有:在彈塑性階段本構(gòu)關(guān)系有:下面分三個(gè)路徑進(jìn)行計(jì)算.屈服曲線先拉后扭OAB解:根據(jù)題意薄壁圓管的應(yīng)力只有52屈服曲線(1)OAB路徑,分OA和AB段.OA段是彈性階段,A點(diǎn)是屈服點(diǎn),則有AB段是彈塑性階段,保持不變,變化,其它應(yīng)力分量為零,則有從Mises屈服條件得將這些量代入彈塑性本構(gòu)關(guān)系,并沿路徑積分,則得屈服曲線(1)OAB路徑,分OA和AB段.OA段是彈性階段53得到:總應(yīng)變?yōu)?2)同理可得OCB路徑總應(yīng)變(3)同理可得OB路徑總應(yīng)變可以看到應(yīng)力狀態(tài)相同,由于路徑不同所得應(yīng)變狀態(tài)不同.屈服曲線得到:總應(yīng)變?yōu)?2)同理可得OCB路徑總應(yīng)變(3)同理可得O544-11Prandtl-Reuss假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Prandtl-Ress假設(shè)是應(yīng)力主軸和塑性應(yīng)變?cè)隽恐鬏S是一致的,也就是說應(yīng)力Lode參數(shù)和塑性應(yīng)變?cè)隽康腖ode參數(shù)應(yīng)該相等.為了驗(yàn)證這一點(diǎn),W.Lode做了薄壁圓筒受軸向拉伸和內(nèi)壓力的復(fù)合抗力實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明它們大致上是成立的.4-12增量理論的基本方程及邊值問題的解法問題的解法在加載過程的某一瞬時(shí),已知,和外荷載的增量:求:4-11Prandtl-Reuss假設(shè)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證Prand55基本方程這些基本物理量必須滿足增量型基本方程.其中是卸載或中性變載,是加載.邊界條件在彈塑性區(qū)交界面上還應(yīng)滿足一定的連續(xù)條件.上述條件下可求出這15個(gè)量,然后疊加到原來的上,最后確定新的屈服面,再求下一步增量.基本方程這些基本物理量必須滿足增量型基本方程564-13全量理論與增量理論的比較增量理論在加載過程中最后的應(yīng)變狀態(tài)取決于應(yīng)變路徑,而全量理論不管應(yīng)變路徑.特別是在中性變載情況,兩者相差最明顯.通過實(shí)驗(yàn)觀察,對(duì)中性變載不產(chǎn)生塑性應(yīng)變的改變,增量理論反映了這一特點(diǎn),而按全量理論只要應(yīng)力分量改變,塑性應(yīng)變也要發(fā)生改變.這是因?yàn)榧虞d條件中的中性變載就是增量理論的塑性部分等于零.增量理論在中性區(qū)可以保證應(yīng)力應(yīng)變的連續(xù)性,而全量理論不能.在小變形且簡(jiǎn)單加載的情況下,這兩個(gè)理論是一致的.現(xiàn)在我們來證明一下,下面是這兩個(gè)理論.增量理論全量理論小變形且簡(jiǎn)單加載4-13全量理論與增量理論的比較增量理論在加載過程中最后57簡(jiǎn)單加載各分量成比例代入增量理論公式,因?yàn)楹?jiǎn)單加載所以在加載過程中主方向不變,又是小變形,下面積分存在.增量理論第一式有:增量理論第二式有:簡(jiǎn)單加載各分量成比例代入增量理論公式,因?yàn)楹?jiǎn)單加載所以在加載58上面就證明了在簡(jiǎn)單加載,小變形情況下:增量理論=全量理論.雖然增量理論比較合理,但全量理論仍有很大的工程應(yīng)用范圍.這不僅是因?yàn)槿坷碚撨m用于簡(jiǎn)單加載,數(shù)學(xué)處理方便,而且對(duì)于偏離簡(jiǎn)單加載一個(gè)相當(dāng)大的范圍全量理論也適用.4-14塑性勢(shì)理論前面所討論的基本上是有Mises條件和Prandtl-Reuss流動(dòng)法則建立的塑性本構(gòu)關(guān)系.本節(jié)應(yīng)用塑性勢(shì)的概念討論一般的屈服和流動(dòng)問題.Mises在1928年把彈性勢(shì)的概念推廣于塑性力學(xué)以后,使得塑性力學(xué)中的屈服條件,硬化條件和塑性應(yīng)變?cè)隽拷⒘寺?lián)系.上面就證明了在簡(jiǎn)單加載,小變形情況下:增量理論=全量理論.59傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論流動(dòng)法則傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論剖析傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論60§4.14.1傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論Mises(1928)假設(shè)對(duì)于塑性流動(dòng)，也存在著類同彈性勢(shì)函數(shù)的某種塑性勢(shì)函數(shù)Q(σij)，純塑性流動(dòng)方向與塑性勢(shì)函數(shù)Q的梯度或外法線方向一致，這就是傳統(tǒng)塑性位勢(shì)理論。