橢圓專題復(fù)習(xí)講義全

..橢圓專題復(fù)習(xí)★知識(shí)梳理★1.橢圓定義：〔1第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓,其中兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn).〔2橢圓的第二定義:平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線<定點(diǎn)不在定直線上>的距離之比是常數(shù)<>的點(diǎn)的軌跡為橢圓〔利用第二定義,可以實(shí)現(xiàn)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化.2.橢圓的方程與幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)參數(shù)關(guān)系焦點(diǎn)焦距范圍頂點(diǎn)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱離心率準(zhǔn)線考點(diǎn)1橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程題型1:橢圓定義的運(yùn)用OxyOxyDPABCQA．4a B．2<a－c> C．2<a+c> D．以上答案均有可能[解析]按小球的運(yùn)行路徑分三種情況:<1>,此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2<a－c>;<2>,此時(shí)小球經(jīng)過的路程為2<a+c>;<3>此時(shí)小球經(jīng)過的路程為4a,故選D[名師指引]考慮小球的運(yùn)行路徑要全面1.短軸長(zhǎng)為,離心率的橢圓兩焦點(diǎn)為F1,F2,過F1作直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),則△ABF2的周長(zhǎng)為〔 A.3 B.6 C.12 D.242.已知為橢圓上的一點(diǎn),分別為圓和圓上的點(diǎn),則的最小值為〔A．5B．7C．13D．153．設(shè)k＞1,則關(guān)于x,y的方程〔1﹣kx2+y2=k2﹣1所表示的曲線是〔A.長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓B.實(shí)軸在y軸上的雙曲線C.實(shí)軸在x軸上的雙曲線D.長(zhǎng)軸在y軸上的橢圓4．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為〔A．2B.3C.6D.95．已知橢圓〔的兩個(gè)焦點(diǎn)為,以為邊作正三角形,若橢圓恰好平分正三角形的另外兩條邊,且,則等于___________.題型2求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[例2]設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn),坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直,且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為－4,求此橢圓方程.[解題思路]將題中所給條件用關(guān)于參數(shù)的式子"描述"出來[解析]設(shè)橢圓的方程為或,則,解之得：,b=c＝4.則所求的橢圓的方程為或.[名師指引]準(zhǔn)確把握?qǐng)D形特征,正確轉(zhuǎn)化出參數(shù)的數(shù)量關(guān)系．［警示］易漏焦點(diǎn)在y軸上的情況．1.如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸的橢圓,那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.2．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),過的直線交橢圓于兩點(diǎn),若的周長(zhǎng)為8,則橢圓方程為〔A.B.C.D.3．已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為,它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是〔A．B．C．D．4.已知方程,討論方程表示的曲線的形狀5.橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形,焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離是,求這個(gè)橢圓方程.考點(diǎn)2橢圓的幾何性質(zhì)題型1:求橢圓的離心率〔或范圍[例3]在中,．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn),則該橢圓的離心率．[解題思路]由條件知三角形可解,然后用定義即可求出離心率[解析],,[名師指引]〔1離心率是刻畫橢圓"圓扁"程度的量,決定了橢圓的形狀；反之,形狀確定,離心率也隨之確定〔2只要列出的齊次關(guān)系式,就能求出離心率〔或范圍〔3"焦點(diǎn)三角形"應(yīng)給予足夠關(guān)注[新題導(dǎo)練]1.如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,那么這個(gè)橢圓的離心率為....2.已知m,n,m+n成等差數(shù)列,m,n,mn成等比數(shù)列,則橢圓的離心率為3．已知橢圓方程,橢圓上點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離是2,N是MF1的中點(diǎn),O是橢圓的中心,那么線段ON的長(zhǎng)是〔A.2B.4C.8D.4．設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,線段的中點(diǎn)在軸上,若,則橢圓的離心率為〔A．B．C．D．5．橢圓與漸近線為的雙曲線有相同的焦點(diǎn),為它們的一個(gè)公共點(diǎn),且,則橢圓的離心率為〔>〔A〔B>〔C〔D>6．已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為、,左、右焦點(diǎn)分別為、,若四邊形是正方形,則此橢圓的離心率等于A．B．C．D．7．過點(diǎn)M〔1,1作斜率為﹣的直線與橢圓C：+=1〔a＞b＞0相交于A,B,若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率為〔A．B．C．D．8．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是,若上的點(diǎn)滿足,則橢圓的離心率的取值范圍是〔A．B．C．D．或9．橢圓＋＝1<a>b>0>的兩頂點(diǎn)為A<a,0>,B<0,b>,且左焦點(diǎn)為F,△FAB是以角B為直角的直角三角形,則橢圓的離心率e為<>A．B．C．D．題型2:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運(yùn)用〔范圍、對(duì)稱性等[例4]已知實(shí)數(shù)滿足,求的最大值與最小值[解題思路]把看作的函數(shù)[解析]由得,當(dāng)時(shí),取得最小值,當(dāng)時(shí),取得最大值6[新題導(dǎo)練]1.已知點(diǎn)是橢圓〔,上兩點(diǎn),且,則=2.如圖,把橢圓的長(zhǎng)軸分成等份,過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn),是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)則________________3．已知橢圓上存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱,求的取值范圍.考點(diǎn)3橢圓的最值問題[例5]橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為___________．[解題思路]把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為某個(gè)變量的函數(shù)[解析]在橢圓上任取一點(diǎn)P,設(shè)P<>.那么點(diǎn)P到直線l的距離為：[名師指引]也可以直接設(shè)點(diǎn),用表示后,把動(dòng)點(diǎn)到直線的距離表示為的函數(shù),關(guān)鍵是要具有"函數(shù)思想"[新題導(dǎo)練]1.橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為2.是橢圓上一點(diǎn),、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),求的最大值與最小值3.已知點(diǎn)是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn),又、,是原點(diǎn),則四邊形的面積的最大值是_________．4．已知是曲線上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值為A.B.C.D.5．點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最大值為〔．A．B．C．D．6．若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和右焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最小值為A．B．C．D．17．動(dòng)點(diǎn)在橢圓上,若點(diǎn)坐標(biāo)為,,且,則的最小值是〔>A.B.C.D.8．在橢圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為定點(diǎn),,則的最小值為〔A.6B.C.9D.9．[2014·XX調(diào)研]若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則·的最大值為<>A.2B.3C.6D.8中點(diǎn)弦問題1．已知橢圓,則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為<>．A．B．C．D．2．已知橢圓,則以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為<>．A．B．C．D．3.橢圓的一條弦被平分,那么這條弦所在的直線方程是A．B．C．D．焦點(diǎn)弦問題1．已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn),B是短軸的一個(gè)端點(diǎn),線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D,且＝2,則C的離心率為________．2．〔2011?XX設(shè)F1,F2分別為橢圓+y2=1的焦點(diǎn),點(diǎn)A,B在橢圓上,若=5；則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_________．考點(diǎn)4橢圓的綜合應(yīng)用題型：橢圓與向量、解三角形的交匯問題[例6]已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為,短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形,直線與y軸交于點(diǎn)P〔0,m,與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B,且．〔1求橢圓方程；〔2求m的取值范圍．[解題思路]通過,溝通A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系,再利用判別式和根與系數(shù)關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于m的不等式[解析]〔1由題意可知橢圓為焦點(diǎn)在軸上的橢圓,可設(shè)由條件知且,又有,解得故橢圓的離心率為,其標(biāo)準(zhǔn)方程為：〔2設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A〔x1,y1,B〔x2,y2eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<y＝kx＋m,2x2＋y2＝1>>得〔k2＋2x2＋2kmx＋〔m2－1＝0Δ＝〔2km2－4〔k2＋2〔m2－1＝4〔k2－2m2＋2>0〔*x1＋x2＝eq\f<－2km,k2＋2>,x1x2＝eq\f<m2－1,k2＋2>∵eq\x\to<AP>＝3eq\x\to<PB>∴－x1＝3x2∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<x1＋x2＝－2x2,x1x2＝－3x\o\al<2,2>>>消去x2,得3〔x1＋x22＋4x1x2＝0,∴3〔eq\f<－2km,k2＋2>2＋4eq\f<m2－1,k2＋2>＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0m2＝eq\f<1,4>時(shí),上式不成立；m2≠eq\f<1,4>時(shí),k2＝eq\f<2－2m2,4m2－1>,因λ＝3∴k≠0∴k2＝eq\f<2－2m2,4m2－1>>0,∴－1<m<－eq\f<1,2>或eq\f<1,2><m<1容易驗(yàn)證k2>2m2－2成立,所以〔*成立即所求m的取值范圍為〔－1,－eq\f<1,2>∪〔eq\f<1,2>,1[名師指引]橢圓與向量、解三角形的交匯問題是高考熱點(diǎn)之一,應(yīng)充分重視向量的功能[新題導(dǎo)練]1.設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),若,且,則點(diǎn)的軌跡方程是〔A.B.C.D.[解析],選A.2.如圖,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AB=2,AC=。一曲線E過點(diǎn)C,動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng),且保持|PA|+|PB|的值不變,直線l經(jīng)過A與曲線E交于M、N兩點(diǎn)?！?建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線E的方程；〔2設(shè)直線l的斜率為k,若∠MBN為鈍角,求k的取值范圍。解：〔1以AB所在直線為x軸,AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則A〔－1,0,B〔1,0由題設(shè)可得∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為,則∴曲線E方程為〔2直線MN的方程為由∴方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根∵∠MBN是鈍角即解得：又M、B、N三點(diǎn)不共線綜上所述,k的取值范圍是基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.如圖所示,橢圓中心在原點(diǎn),F是左焦點(diǎn),直線與BF交于D,且,則橢圓的離心率為<>ABCD2.設(shè)F1、F2為橢圓+y2=1的兩焦點(diǎn),P在橢圓上,當(dāng)△F1PF2面積為1時(shí),的值為A、0B、1C、2D、34.在中,,．若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn),則該橢圓的離心率．5.已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),若,則此橢圓的離心率為_________.6.在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓1<0>的焦距為2,以O(shè)為圓心,為半徑的圓,過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直,則離心率=．綜合提高訓(xùn)練1、已知橢圓與過點(diǎn)A<2,0>,B<0,1>的直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T,且橢圓的離心率．求橢圓方程2、已知A、B分別是橢圓的左右兩個(gè)焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,線段PB與y軸的交點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)。〔1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2點(diǎn)C是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),對(duì)于△ABC,求的值。3.已知長(zhǎng)方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.<Ⅰ>求以A、B為焦點(diǎn),且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;OABCD圖8<Ⅱ>過點(diǎn)P<0,2>的直線交<Ⅰ>中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線OABCD圖8[解析]<Ⅰ>由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是..橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是<Ⅱ>由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為聯(lián)立方程:消去整理得,有若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn),則,所以,所以,,即所以,即得所以直線的方程為,或.所以存在過P<0,2>的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn).參考例題：1、從橢圓上一點(diǎn)向軸引垂線,垂足恰為橢圓的左焦點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),是橢圓的上頂點(diǎn),且.⑴、求該橢圓的離心率.⑵、若該橢圓的準(zhǔn)線方程是,求橢圓方程.[解析]⑴、,∥,△∽△,,又,,而.⑵、為準(zhǔn)線方程,,由．所求橢圓方程為．2、設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),若,證明：的面積只與橢圓的短軸長(zhǎng)有關(guān)[解析]由得,,,命題得證綜合橢圓試題1．已知橢圓〔a＞b＞0和直線l：y＝bx＋2,橢圓的離心率e＝,坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為．〔1求橢圓的方程；〔2已知定點(diǎn)E〔﹣1,0,若直線y＝kx＋2〔k≠0與橢圓相交于C,D兩點(diǎn),試判斷是否存在實(shí)數(shù)k,使得以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E？若存在,求出k的值；若不存在,請(qǐng)說明理由．2．已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率等于,它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).〔Ⅰ求橢圓C的方程；〔Ⅱ點(diǎn)P<2,3>,Q〔2,-3在橢圓上,A,B是橢圓上位于直線PQ兩惻的動(dòng)點(diǎn),①若直線AB的斜率為,求四邊形APBQ面積的最大值；②當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí),滿足于∠APQ=∠BPQ,試問直線AB的斜率是否為定值,請(qǐng)說明理由.3．已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn)〔1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：〔2四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上,且對(duì)角線AC,BD過原點(diǎn)O,若〔ⅰ求的最值：〔ⅱ求證：四邊形ABCD的面積為定值.4．已知橢圓E：的離心率,并且經(jīng)過定點(diǎn)〔1求橢圓E的方程；〔2問是否存在直線y=-x+m,使直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),滿足,若存在求m值,若不存在說明理由．5．已知橢圓的方程為,雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是的左、右頂點(diǎn),而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn)．〔1求雙曲線的方程；〔2若直線與雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且〔其中為原點(diǎn),求實(shí)數(shù)的范圍．6．設(shè)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn).〔1若是橢圓在第一象限上一點(diǎn),且,求點(diǎn)坐標(biāo)；〔2設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),且為銳角〔其中為原點(diǎn),求直線的斜率的取值范圍.7．已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn),直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．〔1求橢圓的方程；〔2當(dāng)四邊形面積取最大值時(shí),求的值．7．：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),、為兩個(gè)頂點(diǎn),已知頂點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和為.〔1求橢圓的方程；〔2求橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值；〔3作的平行線交橢圓于、兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)的最大值,并求取最大值時(shí)的面積.8．橢圓＞＞與直線交于、兩點(diǎn),且,其中為坐標(biāo)原點(diǎn).