全等三角形綜合運(yùn)用講解課件

全等三角形的應(yīng)用全等三角形的應(yīng)用1將兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD如圖所示拼在一起，把含60°角的三角板與這個(gè)圖形重合，使三角板的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合。將三角板繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。(1)當(dāng)三角板的兩邊分別與兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)，如圖，通過(guò)觀察或根據(jù)定義你能得出圖中有哪幾對(duì)三角形全等？并說(shuō)明理由。ABECDF將兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD如圖所示ABECDF2將兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD如圖所示拼在一起，把含60°角的三角板與這個(gè)圖形重合，使三角板的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合。將三角板繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。(2)當(dāng)三角板兩邊分別與兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于E、F時(shí)，如圖，你在①中得出的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。ABDCEF將兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD如圖所示ABDCEF3習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）圖1圖3圖2習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙4習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）小明在對(duì)這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決。（1）將圖3中的△ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，請(qǐng)你求出平移的距離；圖4圖3習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙5習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）小明在對(duì)這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決。（2）將圖3中的△ABF繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°到圖5的位置，A1F交DE于點(diǎn)G，請(qǐng)你求出線段FG的長(zhǎng)度；圖3圖5習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙6習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）小明在對(duì)這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決。（3）將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE于點(diǎn)H，請(qǐng)證明：AH﹦DH圖6圖3習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙7(1)操作:固定△ABC,將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE,CE的延長(zhǎng)線交AB于F（如圖②）；下圖①是邊長(zhǎng)分別為的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（C與C′重合）(2007年河北省課程改革實(shí)驗(yàn)區(qū)初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試.)′′′′′′探究：在圖②中,線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你的結(jié)論.(′)D′E′ABCC圖①(1)操作:固定△ABC,將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)308(1)操作:固定△ABC,將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE,CE的延長(zhǎng)線交AB于F（如圖②）；下圖①是邊長(zhǎng)分別為的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（C與C′重合）(2007年河北省課程改革實(shí)驗(yàn)區(qū)初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試.)′′′′′′探究：在圖②中,線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你的結(jié)論.ABCDEF圖②(30(1)操作:固定△ABC,將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)309已知:△ABC和△EFG是兩塊完全重合的等邊三角形紙片，O是AC（或EF）的中點(diǎn)，△ABC不動(dòng)，將△EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)X度（0<

X<120）角(2007江西)（1）試分別說(shuō)明X為多少時(shí)，點(diǎn)F在△ABC外部、BC邊上、內(nèi)部（不要求證明）A(E)B(G)C(F)O已知:△ABC和△EFG是兩塊完全重合的等邊三角形紙片，10ABCOABCGEFX。PGEF圖1圖2Q（2）當(dāng)點(diǎn)F不在BC上時(shí)，在圖1和圖2兩種情況下，分別寫出OP與OQ的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的情況給予說(shuō)明。X。PO△OCP≌△OEQQABCOABCGEFX。PGEF圖1圖2Q（2）當(dāng)點(diǎn)F不在B11如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。

問(wèn)題如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把12

⑴在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①證明DM＝DN；②在這一過(guò)程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請(qǐng)說(shuō)明四邊DMBN的面積是否發(fā)生變化？

若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明

是如何變化的？

若不發(fā)生變化，

求出其面積；

問(wèn)題第25題圖圖3圖2圖1NFEBCDAM

⑴在圖1中，DE交13⑵繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，

請(qǐng)給出證明；

若不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

第25題圖圖2MADCBEFN⑵繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF14⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長(zhǎng)FD交BC于N，延長(zhǎng)ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？

若成立，

請(qǐng)給出寫出結(jié)論，

不用證明。第25題圖圖3圖2MADCBEFN⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長(zhǎng)FD交BC于N，延長(zhǎng)ED交AB15四邊形背景四邊形背景16（07．佳木斯）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到時(shí)AE=CF（如圖1），易證AE+CF=EF．當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．（第26題圖1）（第26題圖2）（第26題圖3）ABCDEFMNABCDEFMNABCDEFMN（07．佳木斯）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD17已知正方形ABCD,現(xiàn)將三塊不同的三角板紙片的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A重合,適當(dāng)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)該三角形紙片,該銳角的兩邊分別交直線BC、CD于M、N,且滿足AN平分DAM (1)當(dāng)M、N分別在BC、CD上時(shí)，求證：AM=BM+DNABMCNDF1234已知正方形ABCD,現(xiàn)將三塊不同的ABMCND18且滿足AN平分DAM(2)當(dāng)M、N分別在BC、CD所在的直線上時(shí)，線段AM、BM、DN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論.ABMCND圖2F2134且滿足AN平分DAMABMCND圖2F213419且滿足AN平分DAM(2)當(dāng)M、N分別在BC、CD所在的直線上時(shí)，線段AM、BM、DN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論.圖3ABMCNDF1234且滿足AN平分DAM圖3ABMCNDF123420且滿足AN平分DAM(3)在圖3中,連結(jié)BD交AN于K,若CN=4,AM=5,求AK的長(zhǎng).圖3ABMCNDK4xDN=AM+BM5x-1x且滿足AN平分DAM圖3ABMCNDK4xDN=AM+21圖8-2圖8-1（07．四川資陽(yáng)）已知P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F.(1)求證：BP=DP；圖8-2圖8-1（07．四川資陽(yáng)）已知P為正方形ABCD的對(duì)22(2)如圖8-2，若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有BP=DP？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)用反例加以說(shuō)明；圖8-2圖8-1(2)如圖8-2，若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，23(3)試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明你的結(jié)論圖8-2圖8-1(3)試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF24階梯式習(xí)題階梯式習(xí)題25四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn)，且CF＝2AD.探究：線段MD、MF的關(guān)系.MF的關(guān)系，并加以證明。

MD=MFMD⊥MF

階梯1四邊形ABCD與四邊形CGEF都26四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn)，且CF＝2AD.探究：線段MD、MF的關(guān)系.

究：線段MD、MF的關(guān)系，延長(zhǎng)DM交FE于N

階梯1四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)27

四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn).

探究：線段MD、MF的關(guān)系.

探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明。

MD=MFMD⊥MF

階梯2四邊形A28延長(zhǎng)DM交FE于N

四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn).

探究：線段MD、MF的關(guān)系.

探究：線段MD、MF的。

階梯2延長(zhǎng)29四邊形ABCD與四邊形CGEF為正方形，D在線段CF上，

將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，DM的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)N，且AD＝NE；其他條件不變；

探究：線段MD、MF的關(guān)系.連結(jié)FD、FN

階梯3四邊形ABCD與四邊形CGEF為正方形，D在線段CF上，30

四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn).將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，其他條件不變；探究：線段MD、MF的關(guān)系.

MD=MFMD⊥MF

階梯4四邊形ABCD與四邊形C31

四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn)。

將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，其他條件不變；探究：線段MD、MF的關(guān)系.

延長(zhǎng)DM交CE于N，連結(jié)FD、FN.階梯4方法1

32

四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn).將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，其他條件不變；探究：線段MD、MF的關(guān)系.

連結(jié)AC、FD，延長(zhǎng)DM交CE于N，連結(jié)CM并延長(zhǎng)交FE于H.

階梯4方法2四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D33將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后，其他條件不變.探究：線段MD、MF的關(guān)系.階梯5將正方形CGEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度后，其他條件不變.34

方法1：延長(zhǎng)DM到N，使MN=MD，連結(jié)FD、FN、EN，延長(zhǎng)EN與DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H.

方法2：過(guò)點(diǎn)E作AD的平行線交DM、DC的延長(zhǎng)線于N、H，連結(jié)DF、FN.階梯5方法1：延長(zhǎng)DM到N，使MN=MD，連結(jié)FD、FN、方35階梯式習(xí)題階梯式習(xí)題36132GFHEDABC如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F使CF＝AE．（1）若把△ADE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)一定的角度時(shí)，能否與△CDF重合？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）現(xiàn)把△DCF向左平移，使DC與AB重合，得△ABH，AH交ED于點(diǎn)G．求證：AH⊥ED，并求AG的長(zhǎng)．132GFHEDABC如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E37與平面直角坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系38X=1OLPXYCBA如圖，點(diǎn)A在Y軸上，點(diǎn)B在X軸上，且OA=OB=1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線L交線段AB于點(diǎn)C，過(guò)C作OC的垂線，與直線X=1相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線L繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動(dòng)，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長(zhǎng)為t，分析此圖后，對(duì)下列問(wèn)題作出探究：（1）當(dāng)△AOC和△BCP全等時(shí)，求出t的值。（2）通過(guò)動(dòng)手測(cè)量線段OC和CP的長(zhǎng)來(lái)判斷它們之間的大小關(guān)系？并證明你得到的結(jié)論。X=1OLPXYCBA如圖，點(diǎn)A在Y軸上，點(diǎn)B在X軸上，且O39xyOABC11在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)全等的直角三角形的直角頂點(diǎn)及一條直角邊重合，點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B，點(diǎn)C在軸的負(fù)半軸上，（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；xyOABC11在平面直角坐標(biāo)系中，兩個(gè)全等的40（2）將繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°到的位置，其中交直線OA于點(diǎn)E，分別交直線OA,CA于點(diǎn)F,G，則除外，還有哪幾對(duì)全等的三角形，請(qǐng)直接寫出答案；xyOABC11BAFEGxyOABC11BAFEG41全等三角形的應(yīng)用全等三角形的應(yīng)用42將兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD如圖所示拼在一起，把含60°角的三角板與這個(gè)圖形重合，使三角板的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合。將三角板繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。(1)當(dāng)三角板的兩邊分別與兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)，如圖，通過(guò)觀察或根據(jù)定義你能得出圖中有哪幾對(duì)三角形全等？并說(shuō)明理由。ABECDF將兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD如圖所示ABECDF43將兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD如圖所示拼在一起，把含60°角的三角板與這個(gè)圖形重合，使三角板的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB、AC重合。將三角板繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。(2)當(dāng)三角板兩邊分別與兩邊BC、CD的延長(zhǎng)線相交于E、F時(shí)，如圖，你在①中得出的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。ABDCEF將兩個(gè)全等的等邊三角形△ABC和△ACD如圖所示ABDCEF44習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）圖1圖3圖2習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙45習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）小明在對(duì)這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決。（1）將圖3中的△ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，請(qǐng)你求出平移的距離；圖4圖3習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙46習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）小明在對(duì)這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決。（2）將圖3中的△ABF繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°到圖5的位置，A1F交DE于點(diǎn)G，請(qǐng)你求出線段FG的長(zhǎng)度；圖3圖5習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙47習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）小明在對(duì)這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決。（3）將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE于點(diǎn)H，請(qǐng)證明：AH﹦DH圖6圖3習(xí)題如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙48(1)操作:固定△ABC,將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE,CE的延長(zhǎng)線交AB于F（如圖②）；下圖①是邊長(zhǎng)分別為的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（C與C′重合）(2007年河北省課程改革實(shí)驗(yàn)區(qū)初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試.)′′′′′′探究：在圖②中,線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你的結(jié)論.(′)D′E′ABCC圖①(1)操作:固定△ABC,將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3049(1)操作:固定△ABC,將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30得到△CDE，聯(lián)結(jié)AD、BE,CE的延長(zhǎng)線交AB于F（如圖②）；下圖①是邊長(zhǎng)分別為的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和CDE疊放在一起（C與C′重合）(2007年河北省課程改革實(shí)驗(yàn)區(qū)初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試.)′′′′′′探究：在圖②中,線段BE與AD之間有怎樣的大小關(guān)系?試證明你的結(jié)論.ABCDEF圖②(30(1)操作:固定△ABC,將△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)3050已知:△ABC和△EFG是兩塊完全重合的等邊三角形紙片，O是AC（或EF）的中點(diǎn)，△ABC不動(dòng)，將△EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)X度（0<

X<120）角(2007江西)（1）試分別說(shuō)明X為多少時(shí)，點(diǎn)F在△ABC外部、BC邊上、內(nèi)部（不要求證明）A(E)B(G)C(F)O已知:△ABC和△EFG是兩塊完全重合的等邊三角形紙片，51ABCOABCGEFX。PGEF圖1圖2Q（2）當(dāng)點(diǎn)F不在BC上時(shí)，在圖1和圖2兩種情況下，分別寫出OP與OQ的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的情況給予說(shuō)明。X。PO△OCP≌△OEQQABCOABCGEFX。PGEF圖1圖2Q（2）當(dāng)點(diǎn)F不在B52如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長(zhǎng)直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。

問(wèn)題如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把53

⑴在圖1中，DE交AB于M，DF交BC于N。①證明DM＝DN；②在這一過(guò)程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請(qǐng)說(shuō)明四邊DMBN的面積是否發(fā)生變化？

若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明

是如何變化的？

若不發(fā)生變化，

求出其面積；

問(wèn)題第25題圖圖3圖2圖1NFEBCDAM

⑴在圖1中，DE交54⑵繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，

請(qǐng)給出證明；

若不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

第25題圖圖2MADCBEFN⑵繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長(zhǎng)AB交DE于M，延長(zhǎng)BC交DF55⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長(zhǎng)FD交BC于N，延長(zhǎng)ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？

若成立，

請(qǐng)給出寫出結(jié)論，

不用證明。第25題圖圖3圖2MADCBEFN⑶繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長(zhǎng)FD交BC于N，延長(zhǎng)ED交AB56四邊形背景四邊形背景57（07．佳木斯）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E，F(xiàn)．當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到時(shí)AE=CF（如圖1），易證AE+CF=EF．當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE、CF、EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．（第26題圖1）（第26題圖2）（第26題圖3）ABCDEFMNABCDEFMNABCDEFMN（07．佳木斯）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD,BC⊥CD58已知正方形ABCD,現(xiàn)將三塊不同的三角板紙片的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與A重合,適當(dāng)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)該三角形紙片,該銳角的兩邊分別交直線BC、CD于M、N,且滿足AN平分DAM (1)當(dāng)M、N分別在BC、CD上時(shí)，求證：AM=BM+DNABMCNDF1234已知正方形ABCD,現(xiàn)將三塊不同的ABMCND59且滿足AN平分DAM(2)當(dāng)M、N分別在BC、CD所在的直線上時(shí)，線段AM、BM、DN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論.ABMCND圖2F2134且滿足AN平分DAMABMCND圖2F213460且滿足AN平分DAM(2)當(dāng)M、N分別在BC、CD所在的直線上時(shí)，線段AM、BM、DN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論.圖3ABMCNDF1234且滿足AN平分DAM圖3ABMCNDF123461且滿足AN平分DAM(3)在圖3中,連結(jié)BD交AN于K,若CN=4,AM=5,求AK的長(zhǎng).圖3ABMCNDK4xDN=AM+BM5x-1x且滿足AN平分DAM圖3ABMCNDK4xDN=AM+62圖8-2圖8-1（07．四川資陽(yáng)）已知P為正方形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)(不與A、C重合)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F.(1)求證：BP=DP；圖8-2圖8-1（07．四川資陽(yáng)）已知P為正方形ABCD的對(duì)63(2)如圖8-2，若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否總有BP=DP？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)用反例加以說(shuō)明；圖8-2圖8-1(2)如圖8-2，若四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，64(3)試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF的兩個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中長(zhǎng)度始終相等，并證明你的結(jié)論圖8-2圖8-1(3)試選取正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)，分別與四邊形PECF65階梯式習(xí)題階梯式習(xí)題66四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn)，且CF＝2AD.探究：線段MD、MF的關(guān)系.MF的關(guān)系，并加以證明。

MD=MFMD⊥MF

階梯1四邊形ABCD與四邊形CGEF都67四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn)，且CF＝2AD.探究：線段MD、MF的關(guān)系.

究：線段MD、MF的關(guān)系，延長(zhǎng)DM交FE于N

階梯1四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)68

四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn).

探究：線段MD、MF的關(guān)系.

探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明。

MD=MFMD⊥MF

階梯2四邊形A69延長(zhǎng)DM交FE于N

四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn).

探究：線段MD、MF的關(guān)系.

探究：線段MD、MF的。

階梯2延長(zhǎng)70四邊形ABCD與四邊形CGEF為正方形，D在線段CF上，

將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，DM的延長(zhǎng)線交CE于點(diǎn)N，且AD＝NE；其他條件不變；

探究：線段MD、MF的關(guān)系.連結(jié)FD、FN

階梯3四邊形ABCD與四邊形CGEF為正方形，D在線段CF上，71

四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn).將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，其他條件不變；探究：線段MD、MF的關(guān)系.

MD=MFMD⊥MF

階梯4四邊形ABCD與四邊形C72

四邊形ABCD與四邊形CGEF都為正方形，點(diǎn)D在線段CF上，M為AE的中點(diǎn)。

將正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，其他條件不變；探究：線段MD、MF的關(guān)系.

延長(zhǎng)D