高中數(shù)學(xué)高考 2020-2021學(xué)年下學(xué)期高三4月月考卷 文科數(shù)學(xué) 教師版

此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號(hào)此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場號(hào)座位號(hào)此卷只裝訂不密封班級姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場號(hào)座位號(hào)文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故選A．2．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】若，即，又，則，解得，又，所以當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為集合的補(bǔ)集，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故選C．3．為了了解運(yùn)動(dòng)健身減肥的效果，某健身房調(diào)查了20名肥胖者，健身之前他們的體重情況如三維餅圖（1）所示，經(jīng)過四個(gè)月的健身后，他們的體重情況如三維餅圖（2）所示．對比健身前后，關(guān)于這20名肥胖者，下面結(jié)論不正確的是（）A．他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人增加了2個(gè)B．他們健身后，體重在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)沒有改變C．他們健身后，20人的平均體重大約減少了D．他們健身后，原來體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少【答案】C【解析】體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人，所以人數(shù)增加了2個(gè)，A正確；他們健身后體重在區(qū)間內(nèi)的百分比沒有變，所以人數(shù)沒有變，B正確；他們健身后20人的平均體重大約減少了，C錯(cuò)誤；因?yàn)閳D（2）中沒有體重在區(qū)間內(nèi)的比例，所以原來體重在區(qū)間內(nèi)的肥胖者體重都有減少，D正確，故選C．4．設(shè)，則“”是“直線和圓有公共點(diǎn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】圓，圓心，半徑，若直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，解得，，所以“”是“直線和圓有公共點(diǎn)”的充分不必要條件，故選A．5．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知向量，，則，，由可得，解得，故選B．6．若兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別是，，已知，則（）A． B． C．7 D．【答案】B【解析】由已知得，故選B．7．已知函數(shù)為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)），若，，，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，，故，而顯然為減函數(shù)，所以，故選D．8．已知函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，把函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）①函數(shù)是奇函數(shù)②的圖象關(guān)于直線對稱③在上是增函數(shù)④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域是A．①③ B．③④ C．② D．②③④【答案】C【解析】因?yàn)?，又的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以向左平移個(gè)單位得到，橫坐標(biāo)伸長到原來倍得到，①為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；②，所以是的一條對稱軸，故正確；③因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谏舷仍龊鬁p，所以在上不是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；④當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)；，此時(shí)，所以的值域?yàn)?，故錯(cuò)誤，故選C．9．為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏．某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島．若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（）A．北偏東， B．北偏東，C．北偏東， D．北偏東，【答案】C【解析】據(jù)題意知，在中，，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因?yàn)闉殇J角，所以，所以航行的方向和路程分別為北偏東，海里，故選C．10．古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出k的值．17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對求球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)k稱為“立圓率”或“玉積率”，類似地，對于正四面體、正方體也可利用公式求體積（在正四面體中，D表示正四面體的棱長；在正方體中，D表示棱長），假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得球（直徑為a）、正四面體（正四面體棱長為a）、正方體（棱長為a）的“玉積率”分別為，，，那么的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，如圖所示，設(shè)正四面體的棱長為，為正四面體的高，可知正四面體底面高，則，由勾股定理可得正四面體的高，所以正四面體的體積，，，，，故選B．11．已知圓，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，若圓上存在兩點(diǎn)、，使得成立，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長度為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，故直線與圓相離，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，連接、，則，，如下圖所示：由于，則，即，由切線長定理可得，，，，，則，，，所以，設(shè)點(diǎn)，則，整理可得，解得，所以，點(diǎn)的軌跡的長度為，故選D．12．若曲線與曲線存在公共切線，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由，得，曲線與曲線存在公共切線，則設(shè)公切線與曲線切于點(diǎn)，與曲線切于點(diǎn)，則，將代入，可得，，記，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．的范圍是，故選C．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．總體由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行第6列的數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為______．附：第1行至第2行的隨機(jī)數(shù)表21166508903420764381263491641750715945069127353680727467213350258312027611870526【答案】15【解析】從隨機(jī)數(shù)表的第1行第6列的數(shù)字開始，按規(guī)則得到的編號(hào)依次為50，89，03，42，07，64，38，12，63，49，16，41，75，07，15，94，50，……其中編號(hào)在01至20之間的依次為03，07，12，16，07，15，……按照編號(hào)重復(fù)的刪除后一個(gè)的原則，可知選出來的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為15．故答案為15．14．國產(chǎn)殺毒軟件進(jìn)行比賽，每個(gè)軟件進(jìn)行四輪考核，每輪考核中能夠準(zhǔn)確對病毒進(jìn)行查殺的進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰．已知某個(gè)軟件在四輪考核中能夠準(zhǔn)確殺毒的概率依次是，，，，且各輪考核能否通過互不影響．則該軟件至多進(jìn)入第三輪考核的概率為______．【答案】【解析】設(shè)事件表示“該軟件能通過第輪考核”，由已知得，，，，設(shè)事件表示“該軟件至多進(jìn)入第三輪”，則，故答案為．15．一種藥在病人血液中的量保持以上才有療效；而低于病人就有危險(xiǎn)．現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥，如果藥在血液中以每小時(shí)20％的比例衰減，為了充分發(fā)揮藥物的利用價(jià)值，那么從現(xiàn)在起經(jīng)過______小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效．（附：，，精確到）【答案】【解析】設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥經(jīng)過小時(shí)后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥，則血液中的含藥量與注射后的時(shí)間的關(guān)系式為，依題意，可得，整理可得，所以，即，由，所以，故在起經(jīng)過小時(shí)向病人的血液補(bǔ)充這種藥，才能保持療效，故答案為．16．過雙曲線的右焦點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為交另一條漸近線于點(diǎn)，若，，求的離心率的取值范圍為___________．【答案】【解析】設(shè)右焦點(diǎn)，設(shè)一條漸近線的方程為，另一條漸近線的方程為，由，可得的方程為，聯(lián)立方程，即；聯(lián)立方程，即，又，，解得，又，，即，解得，即，故答案為．三、解答題：本大題共6大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足．（1）求的值；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，所以，當(dāng)時(shí)，由，所以，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以．（2）由（1）知，，則，∴，∴，上式減下式，得，∴，∵，∴是關(guān)于的增函數(shù)，即，又易知，故．18．（12分）如圖所示，在四棱錐中，，，平面，，，設(shè)、分別為、的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的側(cè)面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴平面，在中，，，∴，又，∴，∵平面，平面，∴平面，又，∴平面平面．（2）∵平面，平面，平面，由（1）可知，∴，，∵，，，，∴，，，由（1）可知，在中，，∴，又，在中，，∴邊上的高，∴，∴三棱錐的側(cè)面積．19．（12分）某公司為研究某種圖書每冊的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量x(單位：千冊)的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步處理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．表中，．（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：與哪一個(gè)模型更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)y與印刷數(shù)量x的回歸方程？(只要求給出判斷，不必說明理由)（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程(結(jié)果精確到)；（3）若該圖書每冊的定價(jià)為元，則至少應(yīng)該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于80000元？(假設(shè)能夠全部售出，結(jié)果精確到1)附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．【答案】（1）更適合；（2）；（3）至少印刷11120冊才能使銷售利潤不低于80000元．【解析】（1）由散點(diǎn)圖判斷，更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)y(單位：元)與印刷數(shù)量(單位：千冊)的回歸方程．（2）令，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程，由于，所以，所以y關(guān)于u的線性回歸方程為，所以y關(guān)于x的回歸方程為．（3）假設(shè)印刷千冊，依題意得，解得，所以至少印刷11120冊才能使銷售利潤不低于80000元．20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上．（1）求拋物線的方程；（2）直線過點(diǎn)交拋物線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）因?yàn)槭巧系狞c(diǎn)，所以，化簡得，解得或．因?yàn)?，所以，拋物線的方程為．（2）依題意可知，，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去可得．設(shè)，，則，，所以，由，得，所以過A點(diǎn)的切線方程為，又，所以切線方程可化為，準(zhǔn)線為，可得，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為．21．（12分）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】（1），有且定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．（2）據(jù)題意，對任意的成立，整理得在恒成立，設(shè)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即，∴當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，即，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（1）求的普通