2021-2022學(xué)年上海市華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市華東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．復(fù)數(shù)的虛部為___________.【答案】4【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可直接得到其虛部.【詳解】由復(fù)數(shù)的概念可得復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：2．設(shè)向量，且，則______【答案】【分析】依題意可得，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，解得故答案為?．已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則___________.【答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，再根據(jù)二倍角公式求解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義得：，又因?yàn)楣蚀鸢笧椋?．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則___________.【答案】【分析】由對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出復(fù)數(shù)，代入算式中化簡(jiǎn).【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，.故答案為：5．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.【答案】19【分析】利用作差法求出，代入即可求解.【詳解】，所以，兩式相減得，，所以.故答案為：19.6．在中，角??所對(duì)邊分別是??，若，則___________.【答案】##【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.【詳解】，，，.故答案為：.7．已知向量，，則向量在方向上的數(shù)量投影為___________.【答案】【分析】利用平面向量的投影的定義求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，所以向量在方向上的?shù)量投影為，故答案為：8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則___________.【答案】12【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差數(shù)列知，，，.故答案為：129．已知的遞推公式為，則___________.【答案】4【分析】無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列求和，借助極限公式.【詳解】由遞推公式可得，是首項(xiàng)為1公比為的等比數(shù)列，數(shù)列前n項(xiàng)和為，.故答案為：410．對(duì)于函數(shù)，其中，已知，則___________.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式計(jì)算的值并觀察與的關(guān)系即可求得結(jié)果.【詳解】而所以，故故答案為：.11．在中，，點(diǎn)是外接圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為___________.【答案】48【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用圓的方程設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算的最大值．【詳解】，，即為直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，外接圓，設(shè)，，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．所以的最大值是48．故答案為：48．12．在計(jì)算機(jī)語(yǔ)言中，有一種函數(shù)叫做取整函數(shù)（也叫高斯函數(shù)），通常記作，表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，已知，，，則___________.【答案】7【分析】根據(jù)題意得到數(shù)列項(xiàng)，通過(guò)觀察可得數(shù)列的周期性，然后根據(jù)周期性求值即可．【詳解】∵，（，且），∴，，，同理可得∴，即數(shù)列的周期為6．∴．故答案為：7二、單選題13．若是內(nèi)一點(diǎn)，，則是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】B【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，由題可得，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，由，得，∴三點(diǎn)共線，是的三等分點(diǎn)，即是的重心.故選：B,14．設(shè)是復(fù)數(shù)，則以下命題中的真命題的個(gè)數(shù)是（

）①若，則

②若，則③若，則

④若，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】設(shè)，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解逐項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】設(shè)，①若，解得，則，故正確；

②若，即，解得，即，則，故正確；③若，則，即則，故正確；

④若，則，而，故錯(cuò)誤；故選：C15．某大學(xué)校園內(nèi)有一個(gè)“少年湖”，湖的兩側(cè)有一個(gè)健身房和一個(gè)圖書館，如圖，若設(shè)音樂(lè)教室在處，圖書館在處，為測(cè)量?兩地之間的距離，甲同學(xué)選定了與?不共線的處，構(gòu)成，以下是測(cè)量的數(shù)據(jù)的不同方案：①測(cè)量；②測(cè)量；③測(cè)量；④測(cè)量.其中要求能唯一確定?兩地之間距離，甲同學(xué)應(yīng)選擇的方案的序號(hào)為（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】由題意結(jié)合所給的條件確定三角形解的個(gè)數(shù)即可確定是否能夠唯一確定A，B兩地之間的距離.【詳解】①測(cè)量∠A，∠C，∠B，知道三個(gè)角度值，三角形有無(wú)數(shù)多組解，不能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離；②測(cè)量∠A，∠B，BC，已知兩角及一邊，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離；③測(cè)量∠A，AC，BC，已知兩邊及其一邊的對(duì)角，由正弦定理可知，三角形可能有2個(gè)解，不能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離；④測(cè)量∠C，AC，BC，已知兩邊及夾角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一確定點(diǎn)A，B兩地之間的距離.綜上可得，一定能唯一確定A，B兩地之間的距離的所有方案的序號(hào)是②④.故選：C16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，向量，，，且，則用??表示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為關(guān)于的一次函數(shù)可知三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線向量表達(dá)式可得解.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故為關(guān)于的一次函數(shù)，所以，，在同一條直線上，即三點(diǎn)共線，所以由可得，且，所以，解得．故選：B三、解答題17．已知.(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若與夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)2(2)且【分析】（1）根據(jù)向量共線的性質(zhì)，列式計(jì)算即可；（2）設(shè)夾角為，則，得到，計(jì)算可得的范圍，注意與不同向共線.【詳解】（1）若，則，解得.（2）若與夾角為銳角，設(shè)該夾角為，則，故只需，解得且與不同向共線，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為且.18．已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)虛根，為虛數(shù)單位.(1)當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值.(2)當(dāng)，且，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程的根互為共軛復(fù)數(shù)及根與系數(shù)的關(guān)系求解；（2）由實(shí)系數(shù)的一元二次方程的求根公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的兩個(gè)虛根，所以當(dāng)時(shí)，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，由求根公式可知，兩根分別為，所以，所以，解得.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間的值域；(3)已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先化簡(jiǎn)，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性列出不等式即可；（2）根據(jù)范圍求出范圍，即可得到其值域；（3）分離參數(shù)得，利用誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式得，再結(jié)合范圍，即可求出右邊最小值，即得到答案.【詳解】（1），令，,得，,故嚴(yán)格單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，故值域?yàn)?（3）由題意得設(shè)當(dāng)時(shí)，則，則所以.20．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)0..0..比數(shù)列，且公比大于0..(1)分別求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)令，判斷有無(wú)最大項(xiàng)，若有指出第幾項(xiàng)最大，求最大項(xiàng)的值.【答案】(1)，(2)(3)有，第四項(xiàng)，【分析】（1）直接根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求出公差公比，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（2）利用等差等比數(shù)列的求和公式分組求和即可；（3）利用的正負(fù)值的確定可得最大項(xiàng).【詳解】（1）設(shè)的公比為，因?yàn)槭醉?xiàng)為2，且，所以，所以，因?yàn)榈氖醉?xiàng)為1，，所以，設(shè)的公差為，則，所以；（2），所以前項(xiàng)和；（3），所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以的最大項(xiàng)是.21．借助復(fù)數(shù)?三角及向量的知識(shí)，可以研究平面上點(diǎn)及圖像的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題．請(qǐng)嘗試解答下列問(wèn)題：(1)在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至．求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)向量，把向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(3)設(shè)為不重合的兩個(gè)定點(diǎn)，將點(diǎn)繞點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)，判斷點(diǎn)是否能夠落在直線上，若能，試用表示相應(yīng)的值，若不能，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)能，答案見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，以為終邊的角為，則，利用兩角和的正弦和余弦公式求得和，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先把平移到起點(diǎn)在原點(diǎn)得到，與（1）同理求得即得；（3）與（1）同理求得點(diǎn)，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線，分情況討論求解即可．【詳解】（1）設(shè)以為終邊的角為，，則，，所以；（2）把向量的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)O，得到向量，繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到向量，，設(shè)以為終邊的角為，則以為終邊的角為，記，則，且，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為；（3）欲求點(diǎn)坐標(biāo)，只需要求位置向量坐標(biāo)，顯然．因?yàn)橄蛄?，由?）